数学认识实验-四川工程职业技术学院

课题一、函数作图问题：对幂、指、对函数及多项式、分式函数等常见函数作图。目的：对常见函数的直观认识与熟悉。一、幂函数主页下页132,,xyxyxy-2-112X-6-4-2246Y课题一、函数作图二、指数函数与对数函数上页下页xyeyxln,-3-2-1123X-224Y课题一、函数作图二、多项式函数三、分式函数上页下页1223xxxy-2-1120.80.91.11.21.3xy11-6-4-2246-7.5-5-2.52.557.5课题二、函数增长性比较问题：①对指数增长的认识，“一张纸对折50次，其厚度大约是多少？”②作图像，作增长性比较：谁的增长更快，谁占支配地位？目的：对各类函数的变化有直观的认识。图形比较上页下页xyyxyxyx22log,2,,2-3-2-1123X-4-22468Y课题三、参数对图形的影响问题：我们常常选择了一个函数族来代表一种已知理论的基本情形，再用数据确定出参数的具体值。那些具有共同主要特性的函数族对于数学建模特别有用。目的：重视参数问题，学习由函数族求函数的方法。一、线性函数簇：直线上页下页),(为参数bmbmxy32,12,12xyxyxy-2-1123X-4-22468Y-2-112X-224Y1,12,1xyxyxy课题三、参数对图形的影响二、幂函数簇：(1)幂函数(2)幂函数上页下页axy21,,xyxyxy222,2,xyxyxy-2-112X-10-5510Y-2-112X-112Y课题三、参数对图形的影响三、指数函数簇：(1)指数函数(2)指数函数上页下页为增长因子）为初值，apapyx00(xxxyyy4,3,2-2-112X2468Yxxxeyeyey,3,-2-112X-5510Y课题三、参数对图形的影响四、三角函数簇：(1)正弦曲线(2)正弦曲线上页下页)sin(bkxAyxyxyxysin3,sin2,sinxyxy2sin,sin-6-4-2246X-3-2-1123Y-6-4-2246X-1-0.50.51Y课题三、参数对图形的影响(3)正弦曲线上页下页）（）（6sin,2sinxyxy-6-4-2246X-1-0.50.51Y课题四、重要极限数值计算问题：数值计算：目的：通过数值计算来观察图像变化趋势。一、重要结论：上页下页exxxxxx)11(lim,1sinlim01sinlim0xxx-1-0.50.51X0.850.8750.90.9250.950.975Y课题四、重要极限数值计算二、重要结论：上页下页exxx)11(lim2004006008001000X2.452.52.552.62.652.7Y课题五、对导数的认识问题：导数究竟是什么？其发明者牛顿在其巨著《自然哲学的数学原理》一书中写道：“消失量的最终化，严格地说，不是最后量之比，而是这些量无限减小时，它们之比所趋近的极限。”（这里消失量的最终化指的就是导数）目的：加深对导数的认识。一、y=sinx在x=0处可导吗？(作函数与导函数图像)上页下页-6-4-2246X-1-0.50.51Y课题五、对导数的认识二、函数在x=0处可导吗？(作图分析)（直观可见，不可导的点常常为“尖点”，可导的点叫“驻点”.）上页下页32)1()(xxxf-1.5-1-0.50.511.52-0.5-0.250.250.50.751课题六、图形的关系问题：从图像上，导数告诉了我们什么？对幂、指、对等基本初等函数，作出其图像，分析这些图像，能得出一些什么结论。目的：分析研究一个函数的之间的关系一、函数图像上页下页fff,,fff,,fff,,xxfxxfxxf6)(,3)(,)(23-2-112X-2246Y课题六、图形的关系二、函数的图像三、函数上页下页fff,,xxfxxf1)(,ln)(-1.5-1-0.50.511.52X-40-2020Y2ln2)(,2)(xxxfxf-2-112X1234Y课题七、函数及其导函数的奇偶性问题：作图直观分析奇偶函数的导函数的奇偶性。目的：函数及其导函数的奇偶性可以一般证明，这里是作直观分析一、函数上页下页344)(,)(xxfxxf-1.5-1-0.50.511.5X-0.2-0.10.10.20.30.4Y课题七、函数及其导函数的奇偶性二、函数三、函数上页下页233)(,)(xxfxxf-1.5-1-0.50.511.5X-1-0.50.511.5Yxxexfexf)(,)(-1123X-4-224Y课题八、函数的极值问题：以函数为例，画出函数的草图，观察其极值的大概位置，寻找求一元函数极值的方法。目的：对极限问题以直观体会，并熟悉用导数求函数极值。一、作图像上页下页xexxxfx)23()(25xexxxfx)23)(25（-2-112-112345课题八、函数的极值二、作图像：上页下页xxxf26012500)(-1.5-1-0.50.511.5-40000-200002000040000课题九、对定积分定义的认识问题：以为例，从图形上来观察随着分割点的增多，积分和是否越来越接近定积分的值。目的：直观上加深对定积分的认识。一、步长为0.2的分割图像上页下页20sinxdx0.20.40.60.811.21.4X0.20.40.60.81Y课题九、对定积分定义的认识二、步长为0.1的分割图像上页下页20sinxdx0.250.50.7511.251.5X0.20.40.60.81Y课题九、对定积分定义的认识三、步长为0.05的分割图像上页下页20sinxdx0.250.50.7511.251.5X0.20.40.60.81Y课题十、数据拟合问题：在做数据处理时人们常想的一件事就是希望用一个函数反映客观的数据，这叫做数据拟合。做这种拟合一般是企图发现数据中的某种规律性，找出这种规律性的一种表达式表示。或者为了从实测数据得到有关数学模型的参数。若有如下一组实测数据：试用某种函数（例如一元二次函数）对之进行拟合。目的：学会用Mathematica对数据进行拟合处理，并能针对拟合结果的图形显示分析拟合函数的优劣。上页下页x00.20.30.520.640.711.0y0.30.450.470.500.380.330.24课题十、数据拟合预备知识：本实验可能用到Mathematica函数提示如下：(1)拟合函数Fit[数据表，基函数表，变量表](2)画数据点图ListPlot[数据表](3)一维作图函数Plot[表达式，{变量，上限，下限}，可选项](4)图形输出结果查看函数Show[%输出序号]实验内容及要求：要求对给定的数据用Fit函数对其进行拟合，并利用Mathematica的图形处理功能观察拟合的效果。上页下页课题十、数据拟合画数据点：数据连线：上页下页0.20.40.60.810.250.350.40.450.50.20.40.60.810.250.350.40.450.5课题十、数据拟合拟合作曲线：比较图形：上页主页-0.50.511.5-0.4-0.20.20.4-0.50.511.5-0.4-0.20.20.40.3306330.603655x0.725443x2