2016年全国卷3文科数学文科综合试题和答案解析

WORD格式整理分享专业资料绝密★启用前2016年普通高等学校招生全国统一考试全国卷3文科数学注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页.2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置.3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效.4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）设集合{0,2,4,6,8,10},{4,8}AB，则ABð=（A）{48}，（B）{026}，，（C）{02610}，，，（D）{0246810}，，，，，（2）若43iz，则||zz=（A）1（B）1（C）43+i55（D）43i55（3）已知向量BA=（12，32），BC=（32，12），则∠ABC=（A）30°（B）45°（C）60°（D）120°（4）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图.图中A点表示十月的平均最高气温约为15℃，B点表示四月的平均最低气温约为5℃.下面叙述不正确的是WORD格式整理分享专业资料（A）各月的平均最低气温都在0℃以上（B）七月的平均温差比一月的平均温差大（C）三月和十一月的平均最高气温基本相同（D）平均最高气温高于20℃的月份有5个（5）小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是M，I,N中的一个字母，第二位是1,2,3,4,5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是（A）815（B）18（C）115（D）130（6）若tanθ=13，则cos2θ=（A）45（B）15（C）15（D）45（7）已知4213332,3,25abc，则(A)bac(B)abc(C)bca(D)cab（8）执行右面的程序框图，如果输入的a=4，b=6，那么输出的n=（A）3（B）4（C）5（D）6（9）在ABC中，B=1,,sin43BCBCA边上的高等于则(A)310(B)1010(C)55(D)31010WORD格式整理分享专业资料（10）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实现画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（A）18365（B）54185（C）90（D）81（11）在封闭的直三棱柱ABC－A1B1C1内有一个体积为V的球.若AB⊥BC，AB=6，BC=8，AA1=3，则V的最大值是（A）4π（B）9π2（C）6π（D）32π3（12）已知O为坐标原点，F是椭圆C：22221(0)xyabab的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点.P为C上一点，且PF⊥x轴.过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为（A）13（B）12（C）23（D）34第II卷本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)题~第(24)题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共3小题，每小题5分（13）设x，y满足约束条件210,210,1,xyxyx则z=2x+3y–5的最小值为______.（14）函数y=sinx–cosx的图像可由函数y=2sinx的图像至少向右平移______个单位长度得到.（15）已知直线l：360xy与圆x2+y2=12交于A、B两点，过A、B分别作l的垂线与x轴交于C、D两点，则|CD|=.（16）已知f(x)为偶函数，当0x时，1()xfxex，则曲线y=f(x)在点(1,2)处的切线方程式_____________________________.WORD格式整理分享专业资料三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（17）（本小题满分12分）已知各项都为正数的数列na满足11a，211(21)20nnnnaaaa.（I）求23,aa；（II）求na的通项公式.（18）（本小题满分12分）下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图.注：年份代码1–7分别对应年份2008–2014.（Ⅰ）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以说明；（Ⅱ）建立y关于t的回归方程（系数精确到0.01），预测2016年我国生活垃圾无害化处理量.附注：参考数据：719.32iiy，7140.17iiity，721()0.55iiyy，≈2.646.参考公式：12211()()()(yy)niiinniiiittyyrtt，回归方程yabt中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：121()()()niiiniittyybtt，=.aybt（19）（本小题满分12分）如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥地面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点.（I）证明MN∥平面PAB;WORD格式整理分享专业资料（II）求四面体N-BCM的体积.（20）（本小题满分12分）已知抛物线C：y2=2x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l1，l2分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点.（Ⅰ）若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明AR∥FQ；（Ⅱ）若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程.（21）（本小题满分12分）设函数()ln1fxxx.（I）讨论()fx的单调性；（II）证明当(1,)x时，11lnxxx；（III）设1c，证明当(0,1)x时，1(1)xcxc.请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号（22）（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图，⊙O中的中点为P，弦PC，PD分别交AB于E，F两点。（Ⅰ）若∠PFB=2∠PCD，求∠PCD的大小；（Ⅱ）若EC的垂直平分线与FD的垂直平分线交于点G，证明OG⊥CD。（23）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在直线坐标系xoy中，曲线C1的参数方程为（为参数）。以坐标原点为极点，x轴正半轴为WORD格式整理分享专业资料极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin（）=.（I）写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；（II）设点P在C1上，点Q在C2上，求∣PQ∣的最小值及此时P的直角坐标.（24）（本小题满分10分），选修4—5：不等式选讲已知函数f(x)=∣2x-a∣+a.（I）当a=2时，求不等式f(x)≤6的解集；（II）设函数g(x)=∣2x-1∣.当x∈R时，f(x)+g(x)≥3，求a的取值范围。2016年普通高等学校招生全国统一考试全国卷3文科数学答案第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（1）C（2）D（3）A（4）D（5）C（6）D（7）A（8）B（9）D（10）B（11）B（12）A第II卷二、填空题：本大题共3小题，每小题5分。（13）10（14）3（15）4（16）2yx三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（17）（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由题意得41,2132aa..........5分（Ⅱ）由02)12(112nnnnaaaa得)1()1(21nnnnaaaa.WORD格式整理分享专业资料因为na的各项都为正数，所以211nnaa.故na是首项为1，公比为21学.科网的等比数列，因此121nna.......12分（18）（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由折线图中数据和附注中参考数据得4t，28)(712iitt，55.0)(712iiyy，89.232.9417.40))((717171iiiiiiiiytytyytt，99.0646.2255.089.2r.........4分因为y与t的相关系数近似为0.99，说明y与t的线性相关程度相当高，从而可以用线性回归模型拟合y与t的关系.............6分（Ⅱ）由331.1732.9y及（Ⅰ）得103.02889.2)())((ˆ71271iiiiittyyttb，92.04103.0331.1ˆˆtbya.所以，y学.科网关于t的回归方程为：ty10.092.0ˆ...........10分将2016年对应的9t代入回归方程得：82.1910.092.0ˆy.所以预测2016年我国生活垃圾无害化处理量将约1.82亿吨..........12分（19）（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由已知得232ADAM，学.科网取BP的中点T，连接TNAT,，由N为PC中点知BCTN//，221BCTN.......3分又BCAD//，故TN平行且等于AM，四边形AMNT为平行四边形，于是ATMN//.因为AT平面PAB，MN平面PAB，所以//MN平面PAB.........6分WORD格式整理分享专业资料（Ⅱ）因为PA平面ABCD，N为PC的中点，所以N到平面ABCD的距离为PA21.....9分取BC的中点E，连结AE.由3ACAB得BCAE，522BEABAE.由BCAM∥得M到BC的距离为5，故525421BCMS.所以四面体BCMN的体积354231PASVBCMBCMN......12分（20）（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由题设)0,21(F.设bylayl:,:21，则0ab，且)2,21(),,21(),,21(),,2(),0,2(22baRbQaPbbBaA.记过BA,学科&网两点的直线为l，则l的方程为0)(2abybax......3分（Ⅰ）由于F在线段AB上，故01ab.记AR的斜率为1k，FQ的斜率为2k，则222111kbaabaababaabak.所以FQAR∥.......5分（Ⅱ）设l与x轴的交点为)0,(1xD，则2,2121211baSxabFDabSPQFABF.由题设可得221211baxab，所以01x（舍去），11x.WORD格式整理分享专业资料设满足条件的AB的中点为),(yxE.当AB与x轴不垂直时，由DEABkk可得)1(12xxyba.而yba2，学科&网所以)1(12xxy.当AB与x轴垂直时，E与D重合.所以，所求轨迹方程为12xy.....12分（21）（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由题设，()fx的定义域为(0,)，'1()1fxx，令'()0fx，解得1x.当01x时，'()0fx，()fx单调递增；当1x时，'()0fx，()fx单调递减.………4分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，()fx在1x处取得最大值，最大值为(1)0f.所以当1x时，ln1xx.故当(1,)x时，ln1xx，11ln1xx，即11lnxxx.………………7分（Ⅲ）由题设1c，设()1(1)xgxcxc，则'()1lnxgxccc，令'()0gx，解得01lnlnlnccxc.当0xx时，'()0gx，()gx单调递增；当0xx时，'()0gx，()gx单调递减.……………9分由（Ⅱ）知，11lnccc，故001x，又(0)(1)0gg，故当01x时，()0gx.所以当(0,1)x时，1(1)xcxc.………………12分22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲解：（Ⅰ）连结BCPB,，则BCDPCB