2018年北京市合格性考试数学模拟试题1

1/72018北京市合格性考练习题（一）数学第一部分选择题（每小题3分，共75分）在每个小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的1.设全集I{0,1,2,3}，集合{0,1,2}M，{0,2,3}N，则IMNIð（）.A{1}.B{2,3}.C{0,1,2}.D2.函数5cos(2)6yx的最小正周期是（）.A2.B.C2.D43.下列四个函数中，在区间(0,)上是减函数的是（）.A3logyx.B3xy.C12yx.D1yx4.若54sin，且为锐角，则sin2的值等于（）.A1225.B1225.C2425.D24255.不等式2xx的解集是（）.A(0)，.B(01)，.C(1)，.D(,0)(1,)6.在ABC中，2a,2b,4A,则B（）.A3.B6.C6或56.D3或237.如果函数2xyc的图象经过点(2,5)，则c=（）.A1.B0.C1.D28.已知过点(2,)Am，(,4)Bm的直线与直线210xy平行，则m的值为（）.A0.B2.C8.D109.已知二次函数2()(2)1fxx，那么（）.A(2)(3)(0)fff.B(0)(2)(3)fff.C(0)(3)(2)fff.D(2)(0)(3)fff10.实数5lg24lg)21(0的值为（）.A1.B2.C3.D42/711.已知向量(3,1)a,(2,5)b，则32ab（）.A(2,7).B(13,13).C(2,7).D(13,7)12.若函数35191xxfxxx„，则fx的最大值为（）.A6.B7.C8.D913.直线a,b是不同的直线，平面,是不同的平面，下列命题正确的是（）.A直线a∥平面，直线b平面，则直线a∥直线b.B直线a∥平面，直线b∥平面，则直线a∥直线b.C直线a∥直线b,直线a平面，直线b平面,则平面∥.D直线a∥直线b,直线a平面，直线b平面,则直线a∥平面14．过点(0,1)并且与直线23yx垂直的直线方程是（）.A210xy.B220xy.C210xy.D220xy15.某单位有职工750人，其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人，为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本.若样本中的青年职工为7人，则样本容量为（）.A35.B25.C15.D716.从1,2,3,4这4个数中，不放回地任意取两个数，两个数都是奇数的概率是（）.A12.B13.C14.D1617.已知(1,0)A，(3,4)B，M是线段AB的中点，那么向量AMuuur的坐标是（）.A(1,2).B(1,2).C(2,1).D(2,1)18.在ABC中，222abcbc，则角A为（）.A30.B45.C120.D15019.如图,一个空间几何体的正视图(或称主视图)与侧视图（或称左视图）为全等的等边三角形，俯视图为一个半径为1的圆，那么这个几何体的全面积为().A.B3.C2.D320．点(,)Pxy在直线40xy上，则22xy的最小值是（）.A22.B4.C8.D16俯视图侧（左）视图正（主）视图3/721.如图，在ABC中，ADAB,3BCBDuuuruuur,1ADuuur,则ACADuuuruuur().A1.B3.C2.D022．一天，某人要去公安局办理护照，已知公安局的工作时间为9：00至17：00，设此人在当天13：00至18：00之间任何时间去公安局的可能性相同，那么此人去公安局恰好能办理护照的概率是（）.A13.B34.C58.D4523.已知函数()fx是定义在(0,)上的增函数，当*nN时，*()fnN．若[()]3ffnn，其中*nN，则(1)f（）.A4.B3.C2.D124.某同学为研究函数22()11(1)fxxx=+++-（01x剟）的性质，构造了如图所示的两个边长为1的正方形ABCD和BEFC，点P是边BC上的一个动点，设CPx=，则()APPFfx+=.则参考上述信息，得到函数()4()9gxfx=-的零点的个数是（）.A0.B1.C2.D325.某航空公司经营A、B、C、D这四个城市之间的客运业务.它的部分机票价格如下：A—B为2000元；A—C为1600元；A—D为2500元；B—C为1200元；C—D为900元.若这家公司规定的机票价格与往返城市间的直线距离成正比，则B—D的机票价格为()（注：计算时视A、B、C、D四城市位于同一平面内）.A1000元.B1200元.C1400元.D1500元第二部分解答题（共25分）26.（本小题满分6分）如图，在正四棱柱1111ABCDABCD中，AC为底面ABCD的对角线，E为DD1的中点.（Ⅰ）求证：1DBAC；（Ⅱ）求证：1DBAEC平面∥.FDCBAEPEC1D1B1CABDA1CBDA4/727．（本小题满分6分）已知函数()sinfxx，xR，点(1,3)P是角终边上一点，[0,2]（Ⅰ）求()f的值；（Ⅱ）设()()()gxfxfx，求)(xg在[0,]2上的最大值和最小值.28.（本小题满分6分）已知点(2,0)P及圆C：226440xyxy.（Ⅰ）求圆心C的坐标及半径r的大小；（Ⅱ）设过点P的直线1l与圆C交于M．N两点，当4MN时，求以线段MN为直径的圆Q的方程；（Ⅲ）设直线10axy与圆C交于A，B两点，是否存在实数a，使得过点(2,0)P的直线2l垂直平分弦AB？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．29.（本小题满分7分）某地今年上半年空气污染较为严重，该地环保监测机构对近期每天的空气污染情况进行调查研究后发现，每一天中空气污染指数()fx与时刻x（时）的函数关系为：25()log(1)21fxxaa，[0,24]x.其中a为空气治理调节参数，且(0,1)a.（Ⅰ）若12a，求一天中哪个时刻该市的空气污染指数最低；（Ⅱ）规定每天中()fx的最大值作为当天的空气污染指数，要使该市每天的空气污染指数不超过3，则调节参数a应控制在什么范围内？5/7数学试题答案26.证明：（Ⅰ）连接BD交AC于O,在正四棱柱1111ABCDABCD中底面ABCD是正方形.所以ACBD.又因为1111ABCDABCD为正四棱柱，所以1DD底面ABCD.又AC底面ABCD，所以1DDAC.因为ACBD，1BDDDD，1,BDDD平面1BDD，所以AC平面1BDD.又因为1BD平面1BDD，所以1ACBD.…………………3分（Ⅱ）因为底面ABCD是正方形，所以O为BD中点.又因为E为1DD中点，所以EO为1BDD的中位线.所以1EOBD∥.又EO平面EAC，1BD平面EAC，所以1//DB平面AEC.…………………6分27.解：（Ⅰ）因为点(1,3)P是角终边上一点，所以22(1)(3)2r，所以3sin2yr，所以3()sin2f.…………………2分（Ⅱ）由（Ⅰ）知3sin2,1cos2,[0,2].所以23.题号12345678910答案ABDCDBACAC题号11121314151617181920答案DCDBCDACBC题号2122232425答案BDCCDOEC1D1B1CABDA16/7所以()()()gxfxfx2sin()sin3xx13sincossin22xxx13sincos22xxsin()3x因为[0,]2x,所以336x剟.所以，当32x，即6x时，()gx的最大值为1；当36x，即2x时，()gx的最小值为12.…………………6分28.解：（Ⅰ）因为226440xyxy，所以22(3)(2)9xy，所以圆C的圆心坐标为(3,2),半径为3.…………………2分（Ⅱ）设圆心C到直线1l的距离为d.由圆C圆心是(3,2)，半径为3，及垂径定理得2294d，解得5d.注意到圆心(3,2)到点(2,0)P的距离为5，所以P为MN中点.所以，以MN为直径的圆Q，即为以(2,0)P为圆心半径为2的圆.所以圆Q的方程为22(2)4xy.…………………4分（Ⅲ）若过点(2,0)P的直线2l垂直平分弦AB，则直线2l必过圆心(3,2)，所以220232lk，所以直线10axy的斜率为12，所以12a.所以直线10axy方程为1102xy,即220xy.计算圆心(3,2)到直线220xy的距离134235d，所以，不存在实数a使得过点(2,0)P的直线2l垂直平分弦AB.……………6分29.解：（Ⅰ）当12a时，则251()log(1)222fxx…，当该地的空气污染指数最低时，即()2fx时，251log(1)02x.7/7所以121255x，解得4x.所以一天中，4点时该地区的空气污染指数最低.…………………2分（Ⅱ）设25log(1)tx,()21gttaa，[0,1]t，则当024x剟时，01t剟，即310,()11,tatagttaat剟„显然()gt在[0,]a上是减函数，在(,1]a上是增函数，则max()max{(0),(1)}fxgg.因为(0)31ga，(1)2ga，若(0)(1)21gga，解得12a，若(1)(0)210gga…，解得12a„.所以max120,2()1311,2aafxaa„又因为要使该地区每天的空气污染指数不超过3，即()3fx„.②当102a„时，5222a„，符合要求；②当112a时，由313a≤,得23a„，故1223a„.综上所述，调节参数a应控制在2(0,]3内.…………………7分