§2.4.2-抛物线的简单几何性质(2)

§2.4.2抛物线的简单几何性质（2）X一、直线与抛物线位置关系种类xyO1、相离；2、相切；3、相交（一个交点，两个交点）与双曲线的情况一样xyO二、判断方法探讨1、直线与抛物线相离，无交点。例：判断直线y=x+2与抛物线y2=4x的位置关系计算结果：得到一元二次方程，需计算判别式。相离。xyO2、直线与抛物线相切，交与一点。例：判断直线y=x+1与抛物线y2=4x的位置关系计算结果：得到一元二次方程，需计算判别式。相切。二、判断方法探讨xyO3、直线与抛物线的对称轴平行，相交与一点。例：判断直线y=6与抛物线y2=4x的位置关系计算结果：得到一元一次方程，容易解出交点坐标二、判断方法探讨xyO例：判断直线y=x-1与抛物线y2=4x的位置关系计算结果：得到一元二次方程，需计算判别式。相交。4、直线与抛物线的对称轴不平行，相交与两点。二、判断方法探讨三、判断直线与抛物线位置关系的操作程序（一）把直线方程代入抛物线方程得到一元一次方程得到一元二次方程直线与抛物线的对称轴平行（重合）相交（一个交点）计算判别式0=00相交相切相离判断直线是否与抛物线的对称轴平行不平行直线与抛物线相交(一个交点)平行三、判断直线与抛物线位置关系的操作程序（二）计算判别式0=00相交相切相离数形结合分析:用坐标法解决这个问题,只要讨论直线的方程与抛物线的方程组成的方程组的解的情况,由方程组的解的个数判断直线与抛物线的公共点个数.思考1:(课本第71页例6)已知抛物线的方程为24yx,直线l过定点(2,1)P,斜率为k,k为何值时,直线l与抛物线24yx:⑴只有一个公共点;⑵有两个公共点;⑶没有公共点?思考1:(课本第71页例6)已知抛物线的方程为24yx,直线l过定点(2,1)P,斜率为k,k为何值时,直线l与抛物线24yx:⑴只有一个公共点;⑵有两个公共点;⑶没有公共点?几何画板演示.,21xkyl的方程为设直线由题意解由方程组,,xyxky4212244210kyyk可得①.,41412xxyy得代入把,,101yk得由方程时当①.,,141点与抛物线只有一个公共直线这时l.,1216022kkk的判别式为方程时当①.,,,2110120120kkkk或解得即由.,.,,,,有一个公共点与抛物线只直线这时只有一个解而方程组从只有一个解方程时或当于是lkk211①.,,2110120220kkk解得即由.,.,,,有两个公共点与抛物线直线这时只有两个解从而方程组只有两个解方程时且当于是lkk0211①.,,,2110120320kkkk或解得即由;,,,一个公共点与抛物线只有直线时或或当lkkk02111102,,;kkl当且时直线与抛物线有两个公共点.,,,与抛物线没有公共点直线时或当lkk211我们可得综上,.,.,,,,与抛物线没有公共点直线这时没有解方程组从而没有实数解方程时或当于是lkk211①思考2：过抛物线y2=2x的焦点做倾斜角为450的弦AB,则AB的长度是多少?答:4变1已知抛物线截直线y=x+b所得弦长为4,求b的值.xy22变2已知抛物线截直线y=kx-1/2所得弦长为4,求k的值.xy22答:b=-1/2答:k=1或-2/3xyoFDBlA532.图.:,,,平行于抛物线的对称轴直线证求于点线线的准物线顶点的直线交抛物抛和通过点两点交抛物线于的直线过抛物线焦点例DBDABAF5.,,称轴之间的位置关系与抛物线对助方程研究直线借方程过建立抛物线及直线的即通我们用坐标法证明分析DB.,.的纵坐标相等即可的纵坐标与点点只要证明所示的直角坐标系建立如图BD532xyoFDBlA532.图.,,,.建立直角坐标系点它的顶点为原轴对称轴为以抛物线如图证明x532122,pxy设抛物线方程为2220020,,,xypyOAypyA的方程为线则直的坐标为点32.px抛物线的准线方程为43202.,ypyD点的纵坐标为可得、联立xyoFDBlA532.图.,,22202200ppypxyyAFpF的方程为直线所以的坐标是因为点52022.,ypyBpxy坐标为点的纵可得联立与.,//,平行于抛物线的对称轴故轴得、由DBxDB54?你还有其他证明方法吗判断直线与抛物线位置关系的操作程序（一）把直线方程代入抛物线方程得到一元一次方程得到一元二次方程直线与抛物线的对称轴平行（重合）相交（一个交点）计算判别式0=00相交相切相离【课堂小结】课堂练习:1.过点(0,1)M且和抛物线C:24yx仅有一个公共点的直线的方程是__________________________.k联立214ykxyx消去x得2440kyy101yxyx或或点评：本题用了分类讨论的方法.若先用数形结合，找出符合条件的直线的条数，就不会造成漏解。学习小结:无论是弦长问题,还是中点问题,以及对称问题,其方法的核心都是设而不求,联立方程组,韦达定理,大胆计算分析的实践.课外思考:1.求抛物线22yx的一组斜率为2的平行弦的中点的轨迹方程.2.若抛物线22yx上两点1122(,),(,)AxyBxy关于直线yxm对称,且1212xx,则_____.m2x（22y≥）（即在抛物线的内部）32思考2:若抛物线2yx存在关于直线:1(1)lykx对称的两点,求实数k的取值范围.分析：假设存在关于直线:1(1)lykx对称的两点A、B,看k应满足什么条件.显然0k不合题意,∴0k∴直线AB的方程为1yxbk继续尝试估计主要也是设而不求,联立方程组,韦达定理找条件.这里有两个东西可以运用:一是中点条件,二是根的判别式.答案:20k解：设AB的方程为y=x+b,课堂练习:2.已知正方形ABCD的一边CD在直线4yx上,顶点AB、在抛物线2yx上,求正方形的边长.由2yxbyx消去x得y2-y+b=0，设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=1,y1y2=b,∴211ABk21112()4yyyy=28b，又AB与CD的距离d=42b,由ABCD为正方形有28b=42b,解得b=-2或b=-6.∴正方形的边长为32或52.例5.已知抛物线y=x2,动弦AB的长为2，求AB中点纵坐标的最小值。xoyFABMCND解：),(),(),,(2211yxMAByxByxA中点设,2BCADMN,412yypMNBFBCAFAD,)41(2yBFAF2,ABBFAFABF中43,2)41(2yy即)41(2yBCAD