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1例5.函数()fx对一切实数x,y均有()()(21)fxyfyxyx成立,且(1)0f,(1)求(0)f的值;(2)对任意的11(0,)2x,21(0,)2x,都有12()2logafxx成立时,求a的取值范围.解:(1)由已知等式()()(21)fxyfyxyx,令1x,0y得(1)(0)2ff,又∵(1)0f,∴(0)2f.(2)由()()(21)fxyfyxyx,令0y得()(0)(1)fxfxx,由(1)知(0)2f,∴2()2fxxx.∵11(0,)2x,∴22111111()2()24fxxxx在11(0,)2x上单调递增,∴13()2(0,)4fx.要使任意11(0,)2x,21(0,)2x都有12()2logafxx成立,当1a时,21loglog2aax,显然不成立.当01a时,21loglog2aax,∴0113log24aa,解得3414a∴a的取值范围是34[,1)4.例2.(1)已知3311()fxxxx,求()fx;(2)已知2(1)lgfxx,求()fx;(3)已知()fx是一次函数,且满足3(1)2(1)217fxfxx,求()fx;(4)已知()fx满足12()()3fxfxx,求()fx.2解:(1)∵3331111()()3()fxxxxxxxx,∴3()3fxxx(2x或2x).(2)令21tx(1t),则21xt,∴2()lg1ftt,∴2()lg(1)1fxxx.(3)设()(0)fxaxba,则3(1)2(1)3332225217fxfxaxabaxabaxbax,∴2a,7b,∴()27fxx.(4)12()()3fxfxx①,把①中的x换成1x,得132()()ffxxx②,①2②得33()6fxxx,∴1()2fxxx.注:第(1)题用配凑法;第(2)题用换元法;第(3)题已知一次函数,可用待定系数法;第(4)题用方程组法.例4.已知函数()yfx是定义在R上的周期函数,周期5T,函数()(11)yfxx是奇函数.又知()yfx在[0,1]上是一次函数,在[1,4]上是二次函数,且在2x时函数取得最小值5.①证明:(1)(4)0ff;②求(),[1,4]yfxx的解析式;③求()yfx在[4,9]上的解析式.解:∵()fx是以5为周期的周期函数,∴(4)(45)(1)fff,又∵()(11)yfxx是奇函数,∴(1)(1)(4)fff,∴(1)(4)0ff.②当[1,4]x时,由题意可设2()(2)5(0)fxaxa,由(1)(4)0ff得22(12)5(42)50aa,∴2a,∴2()2(2)5(14)fxxx.③∵()(11)yfxx是奇函数,∴(0)0f,又知()yfx在[0,1]上是一次函数,∴可设()(01)fxkxx,而32(1)2(12)53f,∴3k,∴当01x时,()3fxx,从而当10x时,()()3fxfxx,故11x时,()3fxx.∴当46x时,有151x,∴()(5)3(5)315fxfxxx.当69x时,154x,∴22()(5)2[(5)2]52(7)5fxfxxx∴2315,46()2(7)5,69xxfxxx.例1.求下列函数的值域:(1)232yxx;(2)265yxx;(3)312xyx;(4)41yxx;(5)21yxx;(6)|1||4|yxx;(7)22221xxyxx;(8)2211()212xxyxx;(9)1sin2cosxyx解:(1)(一)公式法(略)(二)(配方法)2212323323()61212yxxx,∴232yxx的值域为23[,)12.改题:求函数232yxx,[1,3]x的值域.解:(利用函数的单调性)函数232yxx在[1,3]x上单调增,∴当1x时,原函数有最小值为4;当3x时,原函数有最大值为26.∴函数232yxx,[1,3]x的值域为[4,26].(2)求复合函数的值域:设265xx(0),则原函数可化为y.又∵2265(3)44xxx,∴04,故[0,2],∴265yxx的值域为[0,2].(3)(法一)反函数法:312xyx的反函数为213xyx,其定义域为{|3}xRx,∴原函数312xyx的值域为{|3}yRy.4(法二)分离变量法:313(2)773222xxyxxx,∵702x,∴7332x,∴函数312xyx的值域为{|3}yRy.(4)换元法(代数换元法):设10tx,则21xt,∴原函数可化为2214(2)5(0)ytttt,∴5y,∴原函数值域为(,5].说明:总结yaxbcxd型值域,变形:22yaxbcxd或2yaxbcxd(5)三角换元法:∵21011xx,∴设cos,[0,]x,则cossin2sin()4y∵[0,],∴5[,]444,∴2sin()[,1]42,∴2sin()[1,2]4,∴原函数的值域为[1,2].(6)数形结合法:23(4)|1||4|5(41)23(1)xxyxxxxx,∴5y,∴函数值域为[5,).(7)判别式法:∵210xx恒成立,∴函数的定义域为R.由22221xxyxx得:2(2)(1)20yxyxy①①当20y即2y时,①即300x,∴0xR②当20y即2y时,∵xR时方程2(2)(1)20yxyxy恒有实根,∴22(1)4(2)0yy,∴15y且2y,5∴原函数的值域为[1,5].(8)2121(21)111121212121222xxxxyxxxxxx,∵12x,∴102x,∴1111222()21122()22xxxx,当且仅当112122xx时,即122x时等号成立.∴122y,∴原函数的值域为1[2,)2.(9)(法一)方程法:原函数可化为:sincos12xyxy,∴21sin()12yxy(其中221cos,sin11yyy),∴212sin()[1,1]1yxy,∴2|12|1yy,∴2340yy,∴403y,∴原函数的值域为4[0,]3.(法二)数形结合法:可看作求点(2,1)与圆221xy上的点的连线的斜率的范围,解略.例2.若关于x的方程|3|2(22)3xa有实数根,求实数a的取值范围.解:原方程可化为|3|2(22)3xa,令|3|2xt,则01t,2()(2)3aftt,又∵()aft在区间(0,1]上是减函数,∴(1)()(0)fftf,即2()1ft,故实数a的取值范围为:21a.例3.某化妆品生产企业为了占有更多的市场份额,拟在2003年度进行一系列的促销活动.经过市场调查和测算,化妆品的年销量x万件与年促销费用t万元(0)t之间满足:3x与1t成反比例;如果不搞促销活动,化妆品的年销量只能是1万件.已知2003年,生产化妆品的固定投入为3万元,每生产1万件化妆品需再投入32万元.当将每件化妆品的售价定为“年平均每件成本的150%”与“年平均每件所占促销费的一半”之和,则当年产销量相等.6(1)将2003年的年利润y万元表示为年促销费t万元的函数;(2)该企业2003年的促销费投入多少万元时,企业的年利润最大?(注:利润=收入-生产成本-促销费)解:(1)由题设知:31kxt,且0t时,1x,∴2k,即231xt,∴年生产成本为2[32(3)3]1t万元,年收入为21150%[32(3)3]12tt.∴年利润212{150%[32(3)3]}[32(3)3](0)121yttttt,∴29835(0)2(1)ttytt.(2)由(1)得2(1)100(1)6413213250()502422(1)2121ttttyttt,当且仅当13221tt,即7t时,y有最大值42.∴当促销费定为7万元时,2003年该化妆品企业获得最大利润.例1.判断下列各函数的奇偶性:(1)1()(1)1xfxxx;(2)22lg(1)()|2|2xfxx;(3)22(0)()(0)xxxfxxxx.解:(1)由101xx,得定义域为[1,1),关于原点不对称,∴()fx为非奇非偶函数.(2)由2210|2|20xx得定义域为(1,0)(0,1),∴22lg(1)()(2)2xfxx22lg(1)xx,∵2222lg[1()]lg(1)()()xxfxxx()fx∴()fx为偶函数(3)当0x时,0x,则22()()()()fxxxxxfx,当0x时,0x,则22()()()()fxxxxxfx,综上所述,对任意的(,)x,都有()()fxfx,∴()fx为奇函数.7例2.已知函数()fx对一切,xyR,都有()()()fxyfxfy,(1)求证:()fx是奇函数;(2)若(3)fa,用a表示(12)f.解:(1)显然()fx的定义域是R,它关于原点对称.在()()()fxyfxfy中,令yx,得(0)()()ffxfx,令0xy,得(0)(0)(0)fff,∴(0)0f,∴()()0fxfx,即()()fxfx,∴()fx是奇函数.(2)由(3)fa,()()()fxyfxfy及()fx是奇函数,得(12)2(6)4(3)4(3)4ffffa.例3.(1)已知()fx是R上的奇函数,且当(0,)x时,3()(1)fxxx,则()fx的解析式为33(1),0()(1),0xxxfxxxx.例4.设a为实数,函数2()||1fxxxa,xR.(1)讨论()fx的奇偶性;(2)求()fx的最小值.解:(1)当0a时,2()()||1()fxxxfx,此时()fx为偶函数;当0a时,2()1faa,2()2||1faaa,∴()(),()(),fafafafa此时函数()fx既不是奇函数也不是偶函数.(2)①当xa时,函数2213()1()24fxxxaxa,若12a,则函数()fx在(,]a上单调递减,∴函数()fx在(,]a上的最小值为2()1faa;若12a,函数()fx在(,]a上的最小值为13()24fa,且1()()2ffa.②当xa时,函数2213()1()24fxxxaxa,若12a,则函数()fx在[,)a上的最小值为13()
本文标题:函数大题精选
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