函数奇偶性知识点与经典题型归纳

1函数奇偶性知识梳理1.奇函数、偶函数的定义（1）奇函数：设函数()yfx的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有()()fxfx，则这个函数叫奇函数.（2）偶函数：设函数()yfx的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有()()fxfx，则这个函数叫做偶函数.（3）奇偶性：如果函数()fx是奇函数或偶函数，那么我们就说函数()fx具有奇偶性.（4）非奇非偶函数：无奇偶性的函数是非奇非偶函数.注意：（1）奇函数若在0x时有定义，则(0)0f．（2）若()0fx且()fx的定义域关于原点对称，则()fx既是奇函数又是偶函数．2．奇(偶)函数的基本性质(1)对称性：奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称．(2)单调性：奇函数在其对称区间上的单调性相同，偶函数在其对称区间上的单调性相反．3.判断函数奇偶性的方法（1）图像法（2）定义法○1首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；○2确定f(－x)与f(x)的关系；○3作出相应结论：若f(－x)=f(x)或f(－x)－f(x)=0，则f(x)是偶函数；若f(－x)=－f(x)或f(－x)＋f(x)=0，则f(x)是奇函数．例题精讲【例1】若函数2()fxaxbx是偶函数，求b的值.解：∵函数f(x)＝ax2＋bx是偶函数，∴f(－x)＝f(x)．∴ax2＋bx=ax2-bx.∴2bx=0.∴b＝0.【例3】已知函数21()fxx在y轴左边的图象如下图所示，画出它右边的图象.题型一判断函数的奇偶性【例4】判断下列函数的奇偶性.（1）2()||(1)fxxx；2（2）1()fxxx；（3）()|1||1|fxxx；（4）()22fxxx；（5）22()11fxxx（6）22,0(),0xxxfxxxx解：（1）2()||(1)fxxx的定义域为R，关于原点对称．∵22()||[()1]||(1)()fxxxxxfx∴()()fxfx，即()fx是偶函数．（2）1()fxxx的定义域为{|0}xx由于定义域关于原点不对称故()fx既不是奇函数也不是偶函数．（3）()|1||1|fxxx的定义域为R，关于原点对称．∵f(－x)＝|－x＋1|－|－x－1|＝|x－1|－|x＋1|＝－(|x＋1|－|x－1|)＝－f(x)，∴f(x)＝|x＋1|－|x－1|是奇函数．（4）()22fxxx的定义域为{2}，由于定义域关于原点不对称，故()fx既不是奇函数也不是偶函数．（5）22()11fxxx的定义域为{1，－1}，由(1)0f且(1)0f，所以()0fx所以()fx图象既关于原点对称，又关于y轴对称故()fx既是奇函数又是偶函数．（6）显然定义域关于原点对称．当x0时，－x0，f(－x)＝x2－x＝－(x－x2)；当x0时，－x0，f(－x)＝－x－x2＝－(x2＋x)．即22(),0()(),0xxxfxxxx即()()fxfx∴()fx为奇函数．题型二利用函数的奇偶性求函数值【例2】若f(x)是定义在R上的奇函数，f(3)＝2，求f(－3)和f(0)的值.解：∵f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(－3)＝－f(3)＝－2，f(0)＝0.3【例5】已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(－1)＋g(1)＝2，f(1)＋g(－1)＝4，求g(1).解：由f(x)是奇函数，g(x)是偶函数得()()fxfx，()()gxgx所以－f(1)＋g(1)＝2①f(1)＋g(1)＝4②由①②消掉f(1)，得g(1)＝3.题型三利用函数的奇偶性求函数解析式【例6】已知函数()fx是定义在R上的偶函数，当x≤0时，f(x)＝x3－x2，当x0时，求f(x)的解析式.解：当0x时，有0x所以3232()()()fxxxxx又因为()fx在R上为偶函数所以32()()fxfxxx所以当0x时，32()fxxx.【例7】若定义在R上的偶函数()fx和奇函数()gx满足()()xfxgxe，求()gx.解：因为()fx为偶函数，()gx为奇函数所以()()fxfx，()()gxgx因为()()xfxgxe①所以()()xfxgxe所以()()xfxgxe②由①②式消去()fx，得()2xxeegx.课堂练习仔细读题，一定要选择最佳答案哟！1.函数()11fxxx是（）A.奇函数B.偶函数C.既是奇函数又是偶函数D.非奇非偶函数2.已知函数()fx为奇函数，且当0x时，21()fxxx，则(1)f（）A.2B.1C.0D.-23.f(x)为偶函数，且当x≥0时，f(x)≥2，则当x≤0时，有（）A．f(x)≤2B．f(x)≥2C．f(x)≤－2D.f(x)∈R4.已知函数y=f（x）是偶函数，y=f（x－2）在［0，2］上是单调减函数，则（）A.f（0）＜f（－1）＜f（2）B.f（－1）＜f（0）＜f（2）C.f（－1）＜f（2）＜f（0）D.f（2）＜f（－1）＜f（0）5.已知函数f（x）=ax2＋bx＋c（a≠0）是偶函数，那么g（x）=ax3＋bx2＋cx是（）A.奇函数B.偶函数C.既奇且偶函数D.非奇非偶函数6.定义在R上的奇函数f（x）在（0，+∞）上是增函数，又f（－3）=0，则不等式xf（x）＜0的4解集为（）A.（－3，0）∪（0，3）B.（－∞，－3）∪（3，+∞）C.（－3，0）∪（3，+∞）D.（－∞，－3）∪（0，3）7.若f(x)在[－5,5]上是奇函数，且f(3)f(1)，则下列各式中一定成立的是()A．f(－1)f(－3)B．f(0)f(1)C．f(2)f(3)D．f(－3)f(5)8.设f(x)在[－2，－1]上为减函数，最小值为3，且f(x)为偶函数，则f(x)在[1,2]上()A．为减函数，最大值为3B．为减函数，最小值为－3C．为增函数，最大值为－3D．为增函数，最小值为39.下列四个函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上为增函数的是()A．y＝x^3B．y＝－x^2＋1C．y＝|x|＋1D．y＝2－|x|10.若函数f(x)＝(x＋1)(x＋a)为偶函数，则a＝()A．1B．－1C．0D．不存在11.偶函数y＝f(x)的图象与x轴有三个交点，则方程f(x)＝0的所有根之和为________．12.如图，给出了偶函数y=f(x)的局部图象，试比较f(1)与f(3)的大小.13.已知函数()(0)pfxxmpx是奇函数，求m的值.14.已知f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝x2＋x－2，求f(x)，g(x)的表达式．xyO–32–1515.定义在(－1,1)上的奇函数f(x)是减函数，且f(1－a)＋f(1－a2)0，求实数a的取值范围．16.函数f(x)＝ax＋b1＋x2是定义在(－1,1)上的奇函数，且f12＝25，求函数f(x)的解析式17.判断函数1()(1)1xfxxx的奇偶性.