数列求和的8种常用方法(最全)

1求数列前n项和的8种常用方法一.公式法（定义法）：1.等差数列求和公式：11()(1)22nnnaannSnad特别地，当前n项的个数为奇数时，211(21)kkSka，即前n项和为中间项乘以项数。这个公式在很多时候可以简化运算；2.等比数列求和公式：（1）1q，1nSna；（2）1q，111nnaqSq，特别要注意对公比的讨论；3.可转化为等差、等比数列的数列；4.常用公式:（1）1nkk12123(1)nnnL；（2）21nkk222211631123(1)(21)()(1)2nnnnnnnL；（3）31nkk33332(1)2123[]nnnL；（4）1(21)nkk2135(21)nnL.例1已知3log1log23x，求23nxxxx的前n项和.解：由212loglog3log1log3323xxx由等比数列求和公式得23nnSxxxxL＝xxxn1)1(＝211)211(21n＝1－n21例2设123nSn，*nN,求1)32()(nnSnSnf的最大值.解：易知)1(21nnSn，)2)(1(211nnSn∴1)32()(nnSnSnf＝64342nnn＝nn64341＝50)8(12nn501∴当88n，即8n时，501)(maxnf.二.倒序相加法:如果一个数列na，与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法。如：等差数列的前n项和即是用此法推导的，就是2将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个)(1naa.例3求89sin88sin3sin2sin1sin22222的值解：设89sin88sin3sin2sin1sin22222S…………①将①式右边反序得1sin2sin3sin88sin89sin22222S…………②（反序）又因为1cossin),90cos(sin22xxxx①+②得（反序相加）)89cos89(sin)2cos2(sin)1cos1(sin2222222S＝89∴S＝44.5例4函数1xfxx，求1111220121201220112fffffff的值.三.错位相减法：适用于差比数列（如果na等差，nb等比，那么nnab叫做差比数列）即把每一项都乘以nb的公比q，向后错一项，再对应同次项相减，即可转化为等比数列求和.如：等比数列的前n项和就是用此法推导的.例5求和：132)12(7531nnxnxxxS…………①解：由题可知，{1)12(nxn}的通项是等差数列21n的通项与等比数列{1nx}的通项之积设nnxnxxxxxS)12(7531432………………②（设制错位）①－②得nnnxnxxxxxSx)12(222221)1(1432（错位相减）即：nnnxnxxxSx)12(1121)1(1∴21)1()1()12()12(xxxnxnSnnn变式求数列,22,,26,24,2232nn前n项的和.解：由题可知，22nn的通项是等差数列2n的通项与等比数列{n21}的通项之积设nnnS2226242232…………………………①14322226242221nnnS………………………②（设制错位）①－②得，1432222222222222)211(nnnnS（错位相减）1122212nnn∴1242nnnS四.裂项相消法:即把每一项都拆成正负两项，使其正负抵消，只余有限几项，可求和。这是分解3与组合思想（分是为了更好地合）在数列求和中的具体应用.裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的.适用于1nncaa，其中na是各项不为0的等差数列，c为常数；部分无理数列、含阶乘的数列等。其基本方法是1nafnfn.常见裂项公式：（1）111(1)1nnnn，1111()()nnkknnk；111111()nnnnaadaa（na的公差为d）；（2）1111()nnnnaadaa.（根式在分母上时可考虑利用分母有理化，因式相消求和）；（3）1111(1)(1)2(1)(1)(2)[]nnnnnnn；（4）1111()(21)(21)22121nannnn；)121121(211)12)(12()2(2nnnnnan；（5）nnnnnnnnSnnnnnnnnna2)1(11,2)1(12121)1()1(221)1(21则；（6）nnnntan)1tan()1cos(cos1sin；（7）11(1)!!(1)!nnnn；（8）常见放缩公式：21211112()2()nnnnnnnnn.例6求数列,11,,321,211nn的前n项和.解：设nnnnan111（裂项）则11321211nnSn（裂项求和）＝)1()23()12(nn＝11n例7求和1111133557(21)(21)nSnn.例8在数列na中，11211nnnnan，又12nnnaab，求数列nb的前n项的和.解：∵211211nnnnnan4∴)111(82122nnnnbn（裂项）∴数列nb的前n项和)]111()4131()3121()211[(8nnSn（裂项求和）＝)111(8n＝18nn例9求证：1sin1cos89cos88cos12cos1cos11cos0cos12解：设89cos88cos12cos1cos11cos0cos1S∵nnnntan)1tan()1cos(cos1sin（裂项）∴89cos88cos12cos1cos11cos0cos1S（裂项求和）＝]}88tan89[tan)2tan3(tan)1tan2(tan)0tan1{(tan1sin1＝)0tan89(tan1sin1＝1cot1sin1＝1sin1cos2∴原等式成立变式求11113153563nS.解：1111315356311111335577911111111111(1)()()()2323525727911111111(1)()()()2335577911(1)2949五.分段求和法：例10在等差数列na中102523,22aa，求：（1）数列na前多少项和最大；（2）数列na前n项和.六.分组求和法:有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，可把数列的每一项分成多个项或把数列的项重新组合，使其转化成常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.例11求数列的前n项和：231,,71,41,1112naaan，…5解：设)231()71()41()11(12naaaSnn将其每一项拆开再重新组合得)23741()1111(12naaaSnn（分组）当1aa＝1时，2)13(nnnSn＝2)13(nn（分组求和）当1a时，2)13(1111nnaaSnn＝2)13(11nnaaan.例12求数列121nnn的前n项和.解：设kkkkkkak2332)12)(1(∴nknkkkS1)12)(1(＝)32(231kkknk将其每一项拆开再重新组合得3211123nnnnkkkSkkk（分组）＝)21()21(3)21(2222333nnn＝2)1(2)12)(1(2)1(22nnnnnnn（分组求和）＝2)2()1(2nnn变式求数列11111,2,3,,,2482nn的前n项和.解：231111123()24821111(123)()222211(1)122nnnnSnnnn七.并项求和法：在数列求和过程中，将某些项分组合并后即可转化为具有某种特殊的性质的特殊数列，可将这些项放在一起先求和，最后再将它们求和，则称之为并项求和.形如1nnafn类型，可采用两项合并求.利用该法时要特别注意有时要对所分项数是奇数还是偶数进行讨论.例13求cos1°+cos2°+cos3°+…+cos178°+cos179°的值.解：设Sn＝cos1°+cos2°+cos3°+…..+cos178°+cos179°∵)180cos(cosnn（找特殊性质项）∴Sn＝（cos1°+cos179°）+（cos2°+cos178°）+（cos3°+cos177°）+L+（cos89°+cos91°）+cos90°（合并求和）＝06例14数列na：nnnaaaaaa12321,2,3,1，求2002S.解：设2002S＝2002321aaaa由nnnaaaaaa12321,2,3,1可得,2,3,1654aaa,2,3,1,2,3,1121110987aaaaaa……2,3,1,2,3,1665646362616kkkkkkaaaaaa∵0665646362616kkkkkkaaaaaa（找特殊性质项）∴2002S＝2002321aaaa（合并求和）＝)()()(66261612876321kkkaaaaaaaaaa2002200120001999199819941993)(aaaaaaa＝2002200120001999aaaa＝46362616kkkkaaaa＝5例15在各项均为正数的等比数列中，若103231365logloglog,9aaaaa求的值.解：设1032313logloglogaaaSn由等比数列的性质qpnmaaaaqpnm（找特殊性质项）和对数的运算性质NMNMaaalogloglog得)log(log)log(log)log(log6353932310313aaaaaaSn（合并求和）＝)(log)(log)(log6539231013aaaaaa＝9log9log9log333＝10变式求和2222222212345699100nS.八.利用数列的通项求和先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的