数列测试题及答案

数列基础题：1．{an}是首项a1＝1，公差为d＝3的等差数列，如果an＝2005，则序号n等于()．A．667B．668C．669D．6702．在各项都为正数的等比数列{an}中，首项a1＝3，前三项和为21，则a3＋a4＋a5＝A．33B．72C．84D．1893．如果a1，a2，…，a8为各项都大于零的等差数列，公差d≠0，则()．A．a1a8＞a4a5B．a1a8＜a4a5C．a1＋a8＜a4＋a5D．a1a8＝a4a54．已知方程(x2－2x＋m)(x2－2x＋n)＝0的四个根组成一个首项为41的等差数列，则｜m－n｜等于()．A．1B．43C．21D．835．等比数列{an}中，a2＝9，a5＝243，则{an}的前4项和为().A．81B．120C．168D．1926．若数列{an}是等差数列，首项a1＞0，a2003＋a2004＞0，a2003·a2004＜0，则使前n项和Sn＞0成立的最大自然数n是()．A．4005B．4006C．4007D．40087．已知等差数列{an}的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列,则a2＝()．A．－4B．－6C．－8D．－108．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若35aa＝95，则59SS＝()．A．1B．－1C．2D．219．已知数列－1，a1，a2，－4成等差数列，－1，b1，b2，b3，－4成等比数列，则212baa的值是()．A．21B．－21C．－21或21D．4110．在等差数列{an}中，an≠0，an－1－2na＋an＋1＝0(n≥2)，若S2n－1＝38，则n＝()．A．38B．20C．10D．9提高题：一、选择题1、（2010全国卷2理数）如果等差数列na中，34512aaa，那么127...aaa（A）14（B）21（C）28（D）35【答案】C【解析】173454412747()312,4,7282aaaaaaaaaaa2、（2010辽宁文数）设nS为等比数列na的前n项和，已知3432Sa，2332Sa，则公比q（A）3（B）4（C）5（D）6解析：选B.两式相减得，3433aaa，44334,4aaaqa.3、（2010安徽文数）设数列{}na的前n项和2nSn，则8a的值为（A）15(B)16(C)49（D）64答案：A【解析】887644915aSS.4、（2010浙江文数）设ns为等比数列{}na的前n项和，2580aa则52SS(A)-11(B)-8(C)5(D)115、(2009年广东卷文)已知等比数列}{na的公比为正数，且3a·9a=225a，2a=1，则1a=A.21B.22C.2D.2【答案】B【解析】设公比为q,由已知得22841112aqaqaq,即22q,又因为等比数列}{na的公比为正数，所以2q,故211222aaq,选B6、（2009广东卷理）已知等比数列{}na满足0,1,2,nan，且25252(3)nnaan，则当1n时，2123221logloglognaaaA.(21)nnB.2(1)nC.2nD.2(1)n【解析】由25252(3)nnaan得nna222，0na，则nna2，3212loglogaa2122)12(31lognnan，选C.7、（2009江西卷文）公差不为零的等差数列{}na的前n项和为nS.若4a是37aa与的等比中项,832S,则10S等于A.18B.24C.60D.90.答案：C【解析】由2437aaa得2111(3)(2)(6)adadad得1230ad,再由81568322Sad得1278ad则12,3da,所以1019010602Sad,.故选C8、（2009辽宁卷理）设等比数列{na}的前n项和为nS，若63SS=3，则69SS=（A）2（B）73（C）83（D）3【解析】设公比为q,则36333(1)SqSSS＝1＋q3＝3q3＝2于是63693112471123SqqSq.【答案】B9、（2009安徽卷理）已知na为等差数列，1a+3a+5a=105，246aaa=99，以nS表示na的前n项和，则使得nS达到最大值的n是（A）21（B）20（C）19（D）18[解析]：由1a+3a+5a=105得33105,a即335a，由246aaa=99得4399a即433a，∴2d，4(4)(2)412naann，由100nnaa得20n，选B10、2009上海十四校联考）无穷等比数列,42,21,22,1…各项的和等于（）A．22B．22C．12D．12答案B二、填空题13、(2010辽宁文数）（14）设nS为等差数列{}na的前n项和，若36324SS，，则9a。解析：填15.316132332656242SadSad,解得112ad，91815.aad14、（2010福建理数）11．在等比数列na中,若公比q=4,且前3项之和等于21,则该数列的通项公式na．【答案】n-14【解析】由题意知11141621aaa，解得11a，所以通项nan-14。15、（2009浙江理）设等比数列{}na的公比12q，前n项和为nS，则44Sa．答案：15【解析】对于4431444134(1)1,,151(1)aqsqsaaqqaqq16、（2009北京理）已知数列{}na满足：434121,0,,N,nnnnaaaan则2009a________；2014a=_________.【答案】1，0【解析】本题主要考查周期数列等基础知识.属于创新题型.依题意，得2009450331aa，三、解答题17、2009全国卷Ⅱ文）已知等差数列{na}中，,0,166473aaaa求{na}前n项和ns..解：设na的公差为d，则.11112616350adadadad即22111812164adadad解得118,82,2aadd或因此819819nnSnnnnnSnnnnn，或18、（2010重庆文数）已知na是首项为19，公差为-2的等差数列，nS为na的前n项和.（Ⅰ）求通项na及nS；（Ⅱ）设nnba是首项为1，公比为3的等比数列，求数列nb的通项公式及其前n项和nT.19、（2010山东理数）（18）（本小题满分12分）已知等差数列na满足：37a，5726aa，na的前n项和为nS．（Ⅰ）求na及nS；（Ⅱ）令bn=211na(nN*)，求数列nb的前n项和nT．【解析】（Ⅰ）设等差数列na的公差为d，因为37a，5726aa，所以有112721026adad，解得13,2ad，所以321)=2n+1nan（；nS=n(n-1)3n+22=2n+2n。（Ⅱ）由（Ⅰ）知2n+1na，所以bn=211na=21=2n+1)1（114n(n+1)=111(-)4nn+1，所以nT=111111(1-+++-)4223nn+1=11(1-)=4n+1n4(n+1)，即数列nb的前n项和nT=n4(n+1)。20、2009全国卷Ⅱ理）设数列{}na的前n项和为,nS已知11,a142nnSa（I）设12nnnbaa，证明数列{}nb是等比数列（II）求数列{}na的通项公式。解：（I）由11,a及142nnSa，有12142,aaa21121325,23aabaa由142nnSa，．．．①则当2n时，有142nnSa．．．．．②②－①得111144,22(2)nnnnnnnaaaaaaa又12nnnbaa，12nnbb{}nb是首项13b，公比为２的等比数列．（II）由（I）可得11232nnnnbaa，113224nnnnaa数列{}2nna是首项为12，公差为34的等比数列．1331(1)22444nnann，2(31)2nnan一、选择题1．C解析：由题设，代入通项公式an＝a1＋(n－1)d，即2005＝1＋3(n－1)，∴n＝699．2．C解析：本题考查等比数列的相关概念，及其有关计算能力．设等比数列{an}的公比为q(q＞0)，由题意得a1＋a2＋a3＝21，即a1(1＋q＋q2)＝21，又a1＝3，∴1＋q＋q2＝7．解得q＝2或q＝－3(不合题意，舍去)，∴a3＋a4＋a5＝a1q2(1＋q＋q2)＝3×22×7＝84．3．B．解析：由a1＋a8＝a4＋a5，∴排除C．又a1·a8＝a1(a1＋7d)＝a12＋7a1d，∴a4·a5＝(a1＋3d)(a1＋4d)＝a12＋7a1d＋12d2＞a1·a8．4．C解析：解法1：设a1＝41，a2＝41＋d，a3＝41＋2d，a4＝41＋3d，而方程x2－2x＋m＝0中两根之和为2，x2－2x＋n＝0中两根之和也为2，∴a1＋a2＋a3＋a4＝1＋6d＝4，∴d＝21，a1＝41，a4＝47是一个方程的两个根，a1＝43，a3＝45是另一个方程的两个根．∴167，1615分别为m或n，∴｜m－n｜＝21，故选C．解法2：设方程的四个根为x1，x2，x3，x4，且x1＋x2＝x3＋x4＝2，x1·x2＝m，x3·x4＝n．由等差数列的性质：若＋s＝p＋q，则a＋as＝ap＋aq，若设x1为第一项，x2必为第四项，则x2＝47，于是可得等差数列为41，43，45，47，∴m＝167，n＝1615，∴｜m－n｜＝21．5．B解析：∵a2＝9，a5＝243，25aa＝q3＝9243＝27，∴q＝3，a1q＝9，a1＝3，∴S4＝3－13－35＝2240＝120．6．B解析：解法1：由a2003＋a2004＞0，a2003·a2004＜0，知a2003和a2004两项中有一正数一负数，又a1＞0，则公差为负数，否则各项总为正数，故a2003＞a2004，即a2003＞0，a2004＜0.∴S4006＝2＋006400641)(aa＝2＋006400420032)(aa＞0，∴S4007＝20074·(a1＋a4007)＝20074·2a2004＜0，故4006为Sn＞0的最大自然数.选B．解法2：由a1＞0，a2003＋a2004＞0，a2003·a2004＜0，同解法1的分析得a2003＞0，a2004＜0，∴S2003为Sn中的最大值．∵Sn是关于n的二次函数，如草图所示，∴2003到对称轴的距离比2004到对称轴的距离小，∴20074在对称轴的右侧．根据已知条件及图象的对称性可得4006在图象中右侧零点B的左侧，4007，4008都在其右侧，Sn＞0的最大自然数是4006．7．B解析：∵{an}是等差数列，∴a3＝a1＋4，a4＝a1＋6，又由a1，a3，a4成等比数列，∴(a1＋4)2＝a1(a1＋6)，解得a1＝－8，∴a2＝－8＋2＝－6．8．A解析：∵59SS＝2)(52)(95191aaaa＝3559aa＝59·95＝1，∴选A．9．A解析：设d和q分别为公差和公比，则－4＝－1＋3d且－4＝(－1)q4，∴d＝－1，q2＝2，∴212baa＝2qd＝21．10．C解析：∵{an}为等差数列，∴2na＝an－1＋an＋1，∴2na＝2an，又an≠0，∴an＝2，{an}为常数数列，而an＝1212nSn，即2n－1