10华东师大数学分析答案

第四章函数的连续性第一节连续性概念1．按定义证明下列函数在其定义域内连续：（1）xxf1)(；（2）xxf)(。证：（1）xxf1)(的定义域为),0()0,(D，当Dxx0,时，有00011xxxxxx由三角不等式可得：00xxxx，故当00xxx时，有00200011xxxxxxxx对任意给的正数，取,01020xx则0x，当Dx且0xx时，有0011)()(xxxfxf可见)(xf在0x连续，由0x的任意性知：)(xf在其定义域内连续。(2)xxf)(的定义域为),,(对任何的),(0x，由于00xxxx，从而对任给正数，取，当0xx时，有)()(0xfxf00xxxx故)(xf在0x连续，由0x的任意性知，)(xf在),(连续。2．指出函数的间断点及类型：（1）)(xfxx1；（2）)(xfxxsin；（3）)(xf]cos[x；（4）)(xfxsgn；（5）)(xf)sgn(cosx；（6）)(xf为无理数为有理数xxxx,,；（7）)(xfxxxxxxx1,11sin)1(17,7,71解：（1）)(xf在0x间断，由于)1(limxxx不存在，故0x是)(xf的第二类间断点。（2）)(xf在0x间断，由于1sinlim)(lim00xxxfxx，1sinlim)(lim00xxxfxx故0x是)(xf的跳跃间断点。（3）)(xf在nx间断，),2,1,0(n由于0]cos[lim)(limxxfnxnx，0]cos[lim)(limxxfnxnx故nx是)(xf的可去间断点),2,1,0(n。（4）)(xf在0x间断，由于1sgnlim)(lim00xxfxx，1sgnlim)(lim00xxfxx，故0x是)(xf的可去间断点。（5）)(xf在22kx),2,1,0(k间断，由于1)(lim214xfkx，1)(lim214xfkx，1)(lim214xfkx，1)(lim214xfkx故22kx),2,1,0(k是)(xf的跳跃间断点。（6）)(xf在0x的点间断且若00x，则)(lim0xfxx不存在，故0x是)(xf的第二类间断点。（7）)(xf在7x及1x间断，且7)(lim7xfx，)(lim7xfx不存在，故7x是)(xf的第二类间断点。又因011sin)1(lim)(lim11xxxfxx，1)(lim1xfx，故1x是)(xf的跳跃间断点。3．延拓下列函数，使在),(上连续：（1）)(xf283xx；（2）)(xf2cos3xx；（3）)(xfxx1cos。解：（1）当2x时，)(xf没有定义，而2limx283xx=2limx)42(2xx=12于是函数2,122,28)(3xxxxxF是)(xf的延拓，且在),(上连续。（2）当0x时，)(xf没有定义，而0limx)(xf=0limx21cos12xx，于是函数0,210,cos1)(2xxxxxF是)(xf的延拓，且在),(上连续。（3）当0x时，)(xf没有定义，而0limx)(xf=0limx01cosxx，于是函数0,00,1cos)(xxxxxF是)(xf的延拓，且在),(上连续。4．若f在0x点连续，则f，2f是否也在0x连续？又若f或2f在I上连续，那么f在I上是否连续？解：（1）若f在0x点连续，则f与2f在0x连续。（i）f在0x点连续。事实上，由于f在0x点连续，从而对任给正数，存在正数，当0xx时，有)()(0xfxf，而)()(0xfxf)()(0xfxf故当0xx时，有)()(0xfxf，因此f在0x点连续。（ii）2f在0x点连续。事实上，由于f在0x点连续，从而由局部有界性知：存在0M及01使当10xx时，有2)(Mxf，（1）有连续性定义知：对任给正数，存在正数2，当20xx有Mxfxf)()(0（2）先取},min{21，则当0xx，上（1）与（2）式同时成立，因此)()(022xfxf)()(0xfxf)()(0xfxf)()(0xfxf))()((0xfxf故2f在0x点连续。（2）逆命题不成立。例如设为无理数为有理数xxxf,1,1)(，则f，2f均为常数，故是连续函数，但)(xf在),(任一点都不连续。5．设当0x时，)()(xgxf，而)0()0(gf，试证f与g这两个函数中至多有一个在0x连续。证明：（反证）假设)(xf与)(xg均在0x连续，则)0()(lim0fxfx，)0()(lim0gxgx，又因0x时，)()(xgxf，于是)(lim0xfx)(lim0xgx，从而)0()0(gf这与)0()0(gf相矛盾。故f与g这两个函数中至多有一个在0x连续。6．证明：设f为区间I上的单调函数，且Ix0为f的间断点，则0x必是f的第一类间断点。证：不妨设f为区间I上的递增函数，于是当Ix，且0xx时，)()(0xfxf，从而由函数极限的单调有界定理可知：)0(0xf存在，且)0(0xf=)(lim0xfxx)(0xf同理可证)0(0xf存在，且)0(0xf=)(lim0xfxx)(0xf因此，0x是f的第一类间断点。7．设函数f只有可去间断点，定义)(lim)(yfxgxy，证明g为连续函数。证：设f的定义域为区间I，则)(xg在I上处处有定义（因f只有可去间断点，从而极限处处存在），任取Ix0，下证)(xg在0x连续。由于)(lim)(00yfxgxy且)(lim)(yfxgxy（Ix），从而对任给正数，存在正数，当00xy时有2)()(2)(00xgyfxg，任取),(00xUx，则必存在),(),(00xUxU。于是当),(xUy时，由不等式性质知2)()(lim)(2)(00xgyfxgxgxy因此当),(00xUx时，有)()(0xgxg，故)(xg在0x处连续。8．设f为R上的单调函数，定义)0()(xfxg，证明函数g在R上每点都连续。证：由于f为),(上的单调函数，故f只有第一类间断点，故右极限处处存在。于是)(xg处处有定义，任取0x),(，下证g在0x右连续。由于)0()(00xfxg=)(lim0yfxy且)(xg=)(limyfxy，（x）从而对任给正数，存在正数，当00xy时，有2)()(2)(00xgyfxg，任取),(00xUx，则必存在),(),(000xUxU。于是当),(0xUy时，上不等式成立。由极限不等式性质知2)()(lim)(2)(00xgyfxgxgxy因此当),(00xUx时，有)()(0xgxg，故)(xg在0x处右连续。9．举出定义在]1,0[上符合下列要求的函数：（1）在31,21和41三点连续的函数；（2）只在31,21和41三点连续的函数；（3）只在),2,1(1nn上间断的函数；（4）仅在0x右连续，其它点均不连续的函数。解：（1）141131121)(xxxxf；（2）是无理数。是有理数；xxxxxxf),41)(31)(21(,0)(（3）]1[)(xxf；（4）中的有理数。是中的无理数；是]1,0[,]1,0[,)(xxxxxf