数学竞赛与自主招生讲座——复数

1复数I．复数的四种表示形式代数形式：(,)zabiabR.几何形式：复平面上的点(,)Zab或由原点出发的向量OZ.三角形式：(cossin),0,0zrirR.指数形式：irez.复数的以上几种形式，沟通了代数、三角、几何等学科间的联系，使人们应用复数解决相关问题成为现实.II．复数的几何意义（1）复数模的几何意义：||||OZZ，即Z点到原点O的距离，一般地||21ZZ即1Z点到2Z点的距离．（2）复数加、减法的几何意义：图中给出的平方四边形，可以直观地反映出复数加、减法的几何意义．即21ZZZ，1221ZZZZZ．（3）复数乘、除法的几何意义：设)sin(cos1111irZ，则1ZZ的几何意义是把Z的对应向量OZ按逆时针方向旋转一个角1（如果01，就要把OZ按顺时针方向旋转一个角||1，再把它的模变为原来的1r倍，所得向量OP即表示积1ZZ，如图，01Z，1ZZ的几何意义是把Z的对应向量OZ按顺时针方向旋转一个角1（如果01，就要把OZ按逆时针方向旋转一个角||1，再把它的模变为原来的11r倍，所得的向量即表示商1ZZ．2III．复数的运算法则加、减法：;)()()()(idbcadicbia乘法：;)()())((iadbcbdacdicbia)];sin()[cos()sin(cos)sin(cos212121222111irririr除法：).0(2222dicidcadbcdcbdacbicbia)].sin()[cos()sin(cos)sin(cos212121222111irririr乘方：nninrirnn)(sin(cos)]sin(cos[N）；开方：复数nir的)sin(cos次方根是).1,,1,0)(2sin2(cosnknkinkrnⅣ．复数的模与共轭复数复数的模的性质①|;)Im(|||,)Re(|||zzzz②|;|||||||2121nnzzzzzz③);0(||||||22121zzzzz④12121|,|||||||zzzzz与复数、2z对应的向量1OZ、2OZ反向时取等号；⑤||||||||2121nnzzzzzz，与复数nzzz,,,21对应的向量nOZOZOZ,,21同时取等号.共轭复数的性质①22||||zzzz；②)Im(2),Re(2zzzzzz；③zz3④2121zzzz；⑤1121zzzz；⑥);0()(22121zzzzz⑦z是实数的充要条件是zzz,是纯虚的充要条件是).0(zzzⅤ．复数解题的常用方法与思想（1）两个复数相等的充要条件是它们的实部、虚部对应相等，或者它们的模与辐角主值相等（辐角相差2的整数倍）.利用复数相等的充要条件，可以把复数问题转化为实数问题，从而获得解决问题的一种途径.（2）复数的模也是将复数问题实数化的有效方法之一.善于利用模的性质，是模运算中的一个突出方面.复数的模可以帮助我们表示出一些常用曲线方程．如圆：rZZ||0；线段中垂线：||||21ZZZZ；椭圆：|)|2(2||||2121ZZaaZZZZ；双曲线：|)|2(2||||||2121ZZaaZZZZ．(1985,联赛)设ZW、、为复数，1，关于Z的方程ZZW有下面四个结论：Ⅰ．21||WWZ是这个方程的解；Ⅱ．这个方程只有一解；Ⅲ．这个方程有两解；Ⅳ．这个方程有无穷多解．则()A．只有Ⅰ、Ⅱ正确B．只有Ⅰ、Ⅲ正确C．只有Ⅰ、Ⅳ正确D．以上A、B、C都不正确解：原式两端取共轭：ZZW，乘以再取共轭：2||ZZW，相加，由1，得方程有唯一解21||WWZ．选A．4（1986，联赛）设x为复数，22{|()|11|}Mzzz，那么()A．M={纯虚数}B．M={实数}C．{实数}M{复数}D．M={复数}解：选B.即2(1)(1)(1)0zzz,(1)()0zzz，1zzz或，即z为实数．(1987,联赛)如图，ABC和△ADE是两个不全等的等腰直角三角形，现固定ABC，而将ADE绕A点在平面上旋转，试证：不论ADE旋转到什么位置，线段EC上必存在点M，使BMD为等腰直角三角形．证明：以A为原点，AC为x轴正方向建立复平面．设C表示复数c，点E表示复数()eceR、．则点B表示复数1122bci，点D表示复数1122deei.把ADE绕点A旋转角得到//ADE，则点/E表示复数/eecosisin．点/D表示复数/ddcosisin.表示/EC中点M的复数/1()2mce.∴表示向量MB的复数：/11111111()()2222222zbceccicecosisinecoscesini．表示向量/MD的复数：/2111111()(cossin)(sin)cos.222222zdmeeicosisinceiecie显然：21zzi．于是/||||MBMD，且/90BMD．即△/BMD为等腰直角三角形．故证．(1988，联赛)复平面上动点1Z的轨迹方程为101||ZZZ－，0Z为定点，00Z，另一个动点Z满足11ZZ-，求点Z的轨迹，指出它在复平面上的形状和位置．解：11ZZ，故得011||||ZZZ，即011ZZ．0011|Z+|=||ZZ．即以01Z为圆MD'E'EBCDA5心01||Z为半径的圆．(1990,联赛)设非零复数xy、满足220xxyy，则代数式19901990+xyxyxy的值是()A．19892B．－1C．1D．以上答案都不对解：=xy，其中120120cosisin．210．且31．若=xy，则得199019901+111．若2=xy，则得199019902221+111．选B．(1991,联赛)设abc、、均为非零复数，且==abcbca，则abcabc的值为()A．1B．C．21，，D．21，-，-解：令==abctbca，则3aat．由0a得21t，，．且210．故2211==1abcttabcttt．选C．（1991，全国联赛）设复数1z，2z满足3||||211zzz，33||21zz，则|)()(|log2000212000213zzzz．解法1：4000。由)|||(|2||||2221221221zzzzzz，得3||2z。由3||||211zzz，故021120argargzz。4000040002000212000213|)2000120cos(|32|)()(|zzzz。4000|)()(|log2000212000213zzzz。解法2：由提设知21212221221||||||9zzzzzzzz6)(||||||2721212221221zzzzzzzz因为3||1z，故3||2z，92121zzzz，且9||||2121zzzz。设)sin(cos921izz，则)sin(cos921izz，从而cos1892121zzzz，故21cos。于是921zz或2219zz，这里i2321。当921zz时，20002000212000219)()(zzzz，从而4000|)()(|log2000212000213zzzz。当2219zz时，可得同样结果。解法3：考虑复数的几何意义。设复数1z，2z在复平面上对应的点分别是BA,，设C为AB的中点。由条件3||||1zOA，23||21||21zzOC，323||21||21zzAC。因此容易知道OAB为等边三角形，不妨设312iezz，代入得4000|)()(|log2000212000213zzzz。(1992,联赛)设复数12zz，在复平面上对应的点分别为AB，，且14z，221122420zzzz，O为坐标原点，则OAB的面积为()(A)83(B)43(C)63(D)123解：选A．122=cosisin33zz．∴2 8z，12zz、的夹角为60。13S=48=8322．(1992,联赛)设12zz，都是复数，且121235,7zzzz，，则321arg()zz的值是______．解：1222335712352cosOZZ．即13120OZZ，Z2Z3Z1xOy7∴215arg()=33zz或．∴321arg()zz．(1993,联赛)设mn，为非零实数，i为虚数单位，zC，则方程||znizmin与||znizmim在同一复平面内的图形(12FF，为焦点)是()解：方程①为椭圆，②为双曲线的一支．二者的焦点均为()nimi-，，由①0n，故否定A．由于n为椭圆的长轴，而C中两个焦点与原点距离(分别表示nm、)均小于椭圆长轴，故否定C．由B与D知，椭圆的两个个焦点都在y轴负半轴上，由n为长轴，知1OFn，于是0m，2OFm-．曲线上一点到ni-距离大，否定D，故选B．(1993,联赛)二次方程2()()10()1ixixi(i为虚数单位，R)有两个虚根的充分必要条件是的取值范围为________．解：即此方程无实根的条件．当R时，此方程有两个复数根，若其有实根，则210xx，且20xx--．相减得110x．当1-时，此二方程相同，且有两个虚根．故1-在取值范围内．当1-时，1x-，代入得2．即2时，原方程有实根1x-．故所求范围是2．(1993,联赛)若zC，254(6)argz，243()argz，则z的值是________.解：如图，可知2z表示复数4120120cosisin．∴ 260601(3)zcosisini．(1994,联赛)给出下列两个命题：(1)设abc，，都是复数，如果222abc，则z2-44xOy82220abc-．(2)设abc，，都是复数，如果2220abc-，则222abc．那么下述说法正确的是()(A)命题(1)正确，命题(2)也正确(B)命题(1)正确，命题(2)错误(C)命题(1)错误，命题(2)也错误(D)命题(1)错误，命题(2)正确解：命题(1)是真命题。由222cba可知22ba、2c均是实数，根据移项法则0222cba。命题(2)是假命题。举反例，icibia22,2,，则有02)22()2()(222222iiicba。但由iba4222，ic42，可知222cba不成立。故选B．(1994,联赛)x的二次方程1212,0zmzxzx中、2z、m均是复数，且izz20164221.设这个方程的两个根为、，且满足72||.求||m的最大值和最小值.解法一.根据韦达定理有.,21mzz,444)()(22122mzz.7|)54(|,7|)4(41|.28|)4(4|||2212212