82中科院量子力学超详细笔记 第二章 Schro&&dinger方程

25第二章dingeroSchr&&方程§2.1dingeroSchr&&方程dingeroSchr&&方程是非相对论量子力学的基本方程，是公设，其正确性只能由它导出的结论和实验是否符合来检验。下面只是去理解它。无外场的自由粒子波函数为()()EtrpiCetr−⋅=rrhr,ψ由于22pEm=v，这个()tr,rψ表达式显然满足下面形式的波动方程()()trmpttri,2ˆ,2rrrhψψ=∂∂这就是自由微观粒子的dingeroSchr&&方程。我们可以用一种简明的公设性程式，即“一次量子化”的方法直接“得到”这个方程：将经典物理学关于自由粒子能量的等式mpE22r=，按以下对应替换为量子算符pptiEˆ,rrh→∂∂→（2.1a）并将所得的量子算符方程作用到系统的状态波函数()tr,rψ上即可。对于有外场()rVr的情况，按经典物理学，系统的总能量为()rVmpErr+=22。为了转换到对应的量子系统，仍采用上述“一次量子化”的程式：26()()ˆˆˆ,,EippVrVrt∂→→→∂rrrrh（2.1b）再将所得到的算符方程作用到波函数()tr,rψ上，就得到与此经典系统对应的量子系统的dingeroSchr&&方程：()()()trrVmpttri,2ˆ,2rrrrhψψ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+=∂∂(2.2)这里用了方程()()()()trrVtrrV,,ˆˆrrrrψψ=。通常记()()HrVmrVmpˆ2222=+Δ−=+rhrr，称为这个量子系统的哈密顿量算符，简称为系统的哈密顿量。于是非相对论量子系统dingeroSchr&&方程可写为()()()()⎪⎩⎪⎨⎧==∂∂=rftrtrHttvvvvh0,,t,riψψψ(2.3)其中()()rfrvv=0,ψ为给定的初始条件，如果需要再配以适当的边界条件，便是一个完整的非相对论量子力学问题。这里应当指出三点：第一，这里“一次量子化”程式只是一种理解，不是严肃的逻辑论证。虽然在理解方程中用到了第一、第二公设，实质上方程仍然是一个独立公设1，它们共同代表着由经典力学向量子力学的逻辑飞跃。第二，对复杂的经典系统，比如势V中还含有动量pr时，在一次量子化过程中，一个经典力学量表达式可能对应几个量子算符表达式。它们之间差别仅在于其中rˆr和pˆr的排列顺序不同。例如22222222ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ,,,,,xxxxxxxxxxxpxpxpxpxpxpxpxppxpx⎯⎯⎯⎯→一次量子化这在前章的流密度算符中已经出现过。对于这个从经典向量子过渡中算符顺序的问题，存在一些普遍的对应规则2。但归根结底，对应办1除了测量公设和全同性原理公设。全同性原理公设在两体或多体问题以及“二次量子化”方法中才用到。2比如可见：C.J.Isham，“LecturesonQuantumTheory——MathematicalandStructuralFoundations”。27法是否正确要由实践来检验。第三，若()trVV,r=，便是经典的含时系统。对应成为量子系统时，由于V中含有时间参数，量子系统的哈密顿量()tHHˆˆ=含时，成为含时量子系统，表明粒子在时变势场的运动中与外界有能量交换，粒子机械能一般不守恒，相应问题称为非定态问题。§2.2dingeroSchr&&方程基本性质讨论这里分几点讨论一下dingeroSchr&&方程的一般性质。1,量子态叠加原理与方程的线性性质“量子态叠加原理”主张：如果1ψ和2ψ是系统的两个状态，则它们的任意复系数的线性组合2211ψαψαψ+=，也必定是系统的一个可能状态。后继量子理论表明，dingeroSchr&&方程是一个已经作了“低能近似”和“外场近似”的近似方程。前者排除了反粒子的影响，后者排除了粒子间相互作用中相互反馈、相互影响。于是dingeroSchr&&方程就成了对ψ的线性形式。这里需要强调指出两点：1）量子态叠加原理是量子力学状态公设的一部分，它主张：整个量子系统的状态空间都必须是线性空间。这与量子系统的动力学演化方程是否线性并无关联；2）量子态叠加原理和经典波叠加概念有着本质上的不同。这里ImperialCollegePress，1998。28是deBroglie波——一种特殊的概率幅波的叠加原理。因此，在诸如：测量突变（波包塌缩），单次测量结果原则上的不确定性，每次测量所得力学量数值均是本征值等问题上均明显不同于经典理论的波叠加概念。此外，这一原理还有着更深刻的内涵。第十二章中将表明，它会导致多粒子体系中的量子纠缠现象，以及任意未知量子态的不可克隆定理。2,概率流密度与概率的定域守恒对dingeroSchr&&方程取复数共轭，于是得两个方程()()()()()()22,,,2,,,2rtirtVrttmrtirtVrttmψψψψψψ∗∗∗∂⎧=−Δ+⎪⎪∂⎨∂⎪−=−Δ+⎪∂⎩rhrrhrhrrh将dingeroSchr&&方程左乘以∗ψ，将复数共轭方程左乘以ψ，得()()()()()()()()()()()()22,,,,,,2,,,,,,2rtirtrtrtVrtrttmrtirtrtrtVrtrttmψψψψψψψψψψψψ∗∗∗∗∗∗∂⎧=−Δ+⎪⎪∂⎨∂⎪−=−Δ+⎪∂⎩rhrrrrrhrhrrrrrh前者减去后者，就得到微观粒子的概率流的“连续性方程”：()()()()()()()(),,,,,,,,2rtjrttrtrtrtrtrtrttmiρψψψψψψ∗∗∗∂⎧=−∇⋅⎪∂⎪⎨∂⎧⎫⎪⎡⎤=−∇⋅∇−∇⎨⎬⎣⎦⎪∂⎩⎭⎩vvvrrhrrrr(2.4)这里方程左右分别是前面两个算符在态()tr,rψ中的平均值1：()()()()()()()()()ˆ,,1ˆˆˆ,,,,22rrrtrtjrrpprrrtrtrtrtmmiρδψψδδψψψψ∗∗∗′⎧=−→⎪⎨⎧⎫⎡⎤′′⎡⎤=−+−→∇−∇⎨⎬⎪⎣⎦⎣⎦⎩⎭⎩rrrrrhrrrrrrrrrr1T.F.Meister,et.al.,J.Phys.A:Math.Gen.,13,129-139(1980)。29后者见下面（2..21）式计算。概率流密度的昀简单例子是自由粒子平面波的概率流密度。设rkiAevv⋅=ψ，得vmpmkAjvvvhv222ρψ===(2.4)式表明，rr处dv体积内概率密度的变化（比如增加）是由此处dv体积内外之间的粒子交流造成的（有净流进入）。这正是非相对论量子力学中粒子数定域守恒的数学表示。如果粒子被局域在有限空间范围内，则对上面连续性方程进行全空间积分，利用高斯公式将第二项体积积分化为在无穷远处表面通量积分。接着利用局域条件，即假定此量子系统为局域的，在无穷远处不存在粒子的注入或流出（或更普遍些说，不存在净粒子流），于是这项为零。昀后得到，粒子在全空间的总概率守恒()0,=∂∂∫全空间rdtrtrrρ这些分析表明，dingeroSchr&&方程内蕴含一个与位势无关的性质：就任意局部空间而言，粒子数目定域守恒；就全空间而言，总粒子数目守恒。于是，波函数的变化仅仅表明粒子在时空中的运动。整个非相对论量子力学并不考虑粒子如何产生和湮灭，不考虑粒子之间的相互转化。这正是非相对论量子力学的基本范畴，也正是传统意义上“力学”的范畴。这种情况和所考虑的能量范围（非相对论的）正好相匹配，说明非相对论量子力学的全部前提假设在逻辑上是相互自洽的。303,稳定势场dingeroSchr&&方程的一般解问题：对于任给的初始波函数()(),0rfrψ=rv，后来任意时刻的()tr,rψ如何计算？这就是时间演化问题，简称为初值问题，即方程（2.3）问题。先研究势场()rVr不显含t的情况。在相应的经典情况下，这时经典粒子在势场()rVr中运动时将有机械能守恒。在量子情况下（后面将会阐明）依然有总能量守恒。此时解决问题的一般方法是：第一，通过分离变量变换（其中E为一常数参量，实际即为此量子系统的能量）()(),iEtErtreψψ−=⋅hrr(2.5a)代入dingeroSchr&&方程中()()//ririEtEiEtEeHetψψ−−⎡⎤∂⋅⎣⎦⎡⎤=⋅⎣⎦∂hhvvh分离掉时间变量，化简为()rErψ的不含时方程，()()rErHEErrψψ=ˆ(2.5b)此方程称为对应能量E的“定态dingeroSchr&&方程”。一般而言，定态dingeroSchr&&方程问题是一个求本征值和本征函数的问题。就是说，对一个给定的哈密顿量Hˆ，通常不是对任意E值都存在对应的解()nErψr。有对应解()rErψ存在的E值集合称为该定态dingeroSchr&&方程的能谱。一般说来，一个系统的能谱既有分立部分也有连续部分（但有些形式的势只存在分立谱或只存在连续谱）。全部对应解的集合(){}rErψ称为这一问题的(能量)本征函数族。第二，将给定初始波函数()0,rrψ按本征函数族()(){},Enrrnψψ=∀rr31展开，求得展开系数nc，()()()(),0nnnnnnrcrHrErψψψψ⎧=⎪⎨=⎪⎩∑rvrr(2.6a)第三，将求和式中每一项乘以相应的时间因子htiEne−，即得任意t时刻的波函数，()(),niEtnnnrtcreψψ−=∑hrr(2.6b)可以将这个结果直接代入方程（2.3）来验证。根据量子力学的基本公设，在这个叠加态中，测量时出现态nEψ的几率为2nc。从而，在()tr,rψ态中测得的能量平均值就等于∑∑=nnnnnccEE22(2.7)对于能谱为连续的本征函数族(){}rnrψ的情况，如自由的正能量的deBroglie平面波族情况，可类比这里的程式进行计算，具体可见第三章第三节高斯波包时间演化计算。4,势场界面和奇点处波函数的性质()tr,rψ的概率诠释要求：“()tr,rψ在其分布区域内应当处处连续、模为单值而且在任一有限区域内平方可积”。另外，根据可以用动量算符作用得知，除位势的奇点、突变点之外，应当处处可微。在位势发生突变的界面或界点上，如突变是有限的，则由边界两边几率流相等可得ψ的微商连续（不仅要求ψ本身连续）。只在势场无限大跃变的地方ψ微商才有可能不连续。在势为无穷大的区域中，方程中ψV项必须为有限值以保持方程32在此区域内依然成立，由此推知，此区域内的ψ必须为零1。在势场的奇点处，ψ有时（并非一定）会出现奇点，此时仍必须保持在奇点附近区域内平方可积；而在势场有限处，ψ必须连续、有限。总之，关于ψ的各种要求或是由dingeroSchr&&方程导出，或是从物理的考虑得出。例如，在0=x处有一个强度为γ−的吸引δ函数位势()()Vxxγδ=−，dingeroSchr&&方程为()()()22mxExxψγδψ′′=−+⎡⎤⎣⎦h在0=x附近[],εε−+小区间内积分，即得0=x处波函数一阶导数跃变所满足的条件：()()()02002ψγψψhm−=′−′−+(2.8)5,能量平均值下限问题动能算子mpT2ˆˆ2r=的全部本征值集合为非负的。从而不论对任何态，动能的平均值总是非负的0≥T（事实上，可以论证这个平均值总是正的）。另一方面，假如()rVr有昀小值minV，即minminVrdrdVrdrdVV=≥=∫∫∫∫∗∗∗∗rrrrψψψψψψψψ于是就得到minminVVTVTE≥+≥+=（2。9）这一不等式对任何态均成立，当然也包括对任意的（第n个）能量本1在后面第三章的一维无限深方势阱模型求解中，对阱外部分也必须如此考虑，将dingeroSchr&&方程理解为定义在全实轴上，相应的动量算符pˆ也定义在全实轴上。33征态。于是有）（对任何nVEn,min≥(2.10)6,能谱分界点问题设外场在无穷远处消失，即假定()∞→→rV0。这时，对应能量为负值（0E）的所有定态都是束缚态，即它们的波函数只分布在局限区域内。这是因为，粒子的动能是非负的，若粒子在无穷远处有存在的几率，它在那部分空间里的方程将为∞→⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=rEmprψψ22然而这个等式是不能成立的，因为已设定0E，除非0=∞→rrψ。这里