双曲线的第二定义

双曲线的第二定义例1.求一渐近线为3x+4y=0,一个焦点为(4,0)的双曲线的标准方程.解：:由已知可设双曲线12222byax)00(ba，，，焦点为，双曲线一渐近线为)04(43xy.443cab，222bac222)43(4aa，252562a.251442b.1251442525622yx故双曲线方程为)0(,)43)(43(yxyx：令解：设双曲线方程为161692591616116922yx即的双曲线标准方程。点过有相同的渐进线，且经：求与双曲线练习)2,5(11625122Pyx)0(,162522yx解：设双曲线方程为：代入双曲线方程得：将)2,5(P16425254311275422yx双曲线方程为：1、定义：平面内到一个定点F和一条定直线l的距离的比为常数e(0e1)的点M的轨迹，叫椭圆。定点F叫焦点，定直线l叫准线。一、椭圆的第二定义：（一）知识回顾：椭圆有两个焦点F1，F2，两条准线l1,l2F1F2Ml1l2d1d2F2(c,0)OxF1oyPN••F2F1oxyP•MNy=a2/cy=-a2/cMF2焦点在X轴上时,设P(x0，y0)是椭圆上的点，则:焦半径公式为:|PF1|=a+ex0,|PF2|=a-ex0焦点在y轴上时,设P(x0，y0)是椭圆上的点，则:焦半径公式为:|PF1|=a+ey0，|PF2|=a-ey0椭圆+=1上的点P与其两焦点F1、F2的连线段分别叫做椭圆的左焦半径和右焦半径,统称“焦半径”。ax22by22左加右减，下加上减2、定义式：　　　　　edMFedMF2211||||3、焦半径公式：焦点在X轴上：｜MF1|=a+ex,|MF2|=a-ex焦点在Y轴上：｜MF1|=a+ey,|MF2|=a-ey左加右减，下加上减例2、.45516:)05()(的轨迹，求点的距离的比是常数的距离和它到定直线，到定点，点MxlFyxM解：xy516xl：..F(5,0)OM（x,y）的距离，则到直线是点设lMd45||dMFd.45|516|)5(22xyx即化简得.14416922yx191622yx即.68的双曲线、分别为的轨迹是实轴、虚轴长点M..)0(:)0()(2的轨迹，求点距离的比是常数的的距离和它到定直线，与定点，点MacaccaxlcFyxM解：xyl'l..FF’OM的距离，则到直线是点设lMd由题意知acdMF||d.||)(222accaxycx即化简.)()(22222222acayaxac，则设222bac12222byax方程化为)0,0(ba.22的双曲线、分别为的轨迹是实轴、虚轴长点baM.双曲线的第二定义：(1).MFlceea动点与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数，则这个点的轨迹是双曲线2222221:(0);xyabaFcxc双曲线中右焦点，，对应的右准线方程是.)0(21caxcF对应的左准线方程是，左焦点yl'l..FF’OMd.x“三定”：定点是焦点；定直线是准线；定值是离心率.(定点不在定直线上)F1F2xy2axc2axcaaac两条准线比双曲线的顶点更接近中心A1A2OF22axc准线方程：2axc，求证：是双曲线右支上任意点）（的焦点－已知双曲线),(),0,(0,)0,0(100212222yxPcFcFbabyax例2、证明：，01||exaPFP说明：|PF1|,|PF2|称为双曲线的焦半径.cax2双曲线的左准线为：由双曲线的第二定义得accaxPF201||01|:|exaPF整理得：由双曲线的第一定义得0122||||exaaPFPF)|(|min2acPFe其中为双曲线的离心率.yl'l..F2F1O.02||exaPFx)|(|min1caPF|||,|),(),0,(0,)0,0(12100212222PFPFyxPcFcFbabyax，求是双曲线左支上任意点）（的焦点－已知双曲线练习证明：Pcax2双曲线的左准线为：由双曲线的第二定义得acxcaPF021||01|:|exaPF整理得：由双曲线的第一定义得0122||||exaaPFPFyl'l..F2F1O.xF1F2xy（二）M2位于双曲线左支),(111yxM222(,)Mxy（一）M1位于双曲线右支212||MFexa焦半径公式：O思考：焦点在y轴上呢？(x,y互换)２.两准线间的距离：１.准线方程：cacax22y或c2ad2３.焦准距：焦点到对应准线的距离cbd24.双曲线的焦半径公式：点M(x,y)在左支上时：|MF1|＝－a－ex，|MF2|=a－ex点M(x,y)在右支上时：|MF1|＝a＋ex，|MF2|=－a＋ex常用结论:).0,(),0,(21cFcF设双曲线的焦点为：0)b1(abyax2222,05、通经：过焦点垂直与实轴的弦课堂练习的两准线间的距离等于()2、双曲线13422xy的焦点坐标、准线方程1、求双曲线191622yx和离心率，并用第二定义描述该双曲线。516x准线方程)0,5(F焦点坐标45e离心率（A）（B）（C）（D）77677858516B3、若改为求P到左准线的距离，答案如何？有几种解法？F1F2xycax2cax2OD5328108dd用椭圆的第二定义求解的一个问题，请仿照此题，设计一个用双曲线的第二定义求解的问题，并给出解答。)2,1(A1121622yx一个问题：已知点在椭圆4．在学习椭圆的知识时，曾解决过这样)0,2(F内部，是椭圆的一个焦点，在椭圆上||2||PFPA求一点P，求的最小值，这是21dPF||2PFdAFPdPd:2122结合图形得即，则比值定义得：的距离为到右准线，设点解：由题意得dPAPFPAdPFdPFdPe值。的值最小，并求出最小，使得上求一点在双曲线），（）、，（例如：已知点PFPAPyxFA2113,021322d转化。中的二定义将用双曲线的第分析：本题的关键是利PFPFPA2121Pp），为：（这时最小值为：1332,2532Pcaxyo.F.A.的最小值求右支上一点，定点是双曲线的右焦点为：已知双曲线方程为练||53||),2,9(,116912222MFMAAMFyxMy..F2F1O.xA得：解：由双曲线第二定义)(,||2到右准线的距离为MdedMFdMF35||2即dMAMFMA||||53||2536599)|(|2mincaxdMAA的最小值。求曲线右支上一点，定点是双的右焦点为：已知双曲线方程为练习||||),2,9(,116922222MFMAAMFyxMy..F2F1O.xA得：解：由双曲线第一定义62||||21aMFMF6||||12MFMF即6||||||||12MFMAMFMA621062146||)6||(|221min1AFMFMAxyo2,()axacc（二）准线方程：（三）焦半径公式的推导及其应用小结F2F1F1F2xy（二）M2位于双曲线左支),(111yxM222(,)Mxy（一）M1位于双曲线右支212||MFexa焦半径公式：O思考：焦点在y轴上呢？(x,y互换)