二阶常系数非齐次线性微分方程解法及例题-新

一、f(x)Pm(x)ex型二、f(x)ex[Pl(x)coswx+Pn(x)sinwx]型二阶常系数非齐次线性微分方程方程y+py+qyf(x)称为二阶常系数非齐次线性微分方程其中p、q是常数二阶常系数非齐次线性微分方程的通解是对应的齐次方程的通解yY(x)与非齐次方程本身的一个特解yy*(x)之和yY(x)+y*(x)提示[Q(x)+(2+p)Q(x)+(2+p+q)Q(x)]ex[Q(x)+2Q(x)+2Q(x)]ex+p[Q(x)+Q(x)]ex+qQ(x)ex一、f(x)Pm(x)ex型y*Q(x)ex设方程y+py+qyPm(x)ex特解形式为Q(x)+(2+p)Q(x)+(2+p+q)Q(x)Pm(x)——(＊)则得[Q(x)ex]+p[Q(x)ex]+q[Q(x)ex]y*+py*+qy*提示此时2+p+q0要使(＊)式成立Q(x)应设为m次多项式Qm(x)b0xm+b1xm1++bm1x+bm(1)如果不是特征方程r2+pr+q0的根则y*Qm(x)ex一、f(x)Pm(x)ex型y*Q(x)ex设方程y+py+qyPm(x)ex特解形式为Q(x)+(2+p)Q(x)+(2+p+q)Q(x)Pm(x)——(＊)则得提示此时2+p+q0但2+p0要使(＊)式成立Q(x)应设为m+1次多项式Q(x)xQm(x)其中Qm(x)b0xm+b1xm1++bm1x+bm(2)如果是特征方程r2+pr+q0的单根则y*xQm(x)ex(1)如果不是特征方程r2+pr+q0的根则y*Qm(x)ex一、f(x)Pm(x)ex型y*Q(x)ex设方程y+py+qyPm(x)ex特解形式为Q(x)+(2+p)Q(x)+(2+p+q)Q(x)Pm(x)——(＊)则得提示此时2+p+q02+p0要使(＊)式成立Q(x)应设为m+2次多项式Q(x)x2Qm(x)其中Qm(x)b0xm+b1xm1++bm1x+bm(3)如果是特征方程r2+pr+q0的重根则y*x2Qm(x)ex(2)如果是特征方程r2+pr+q0的单根则y*xQm(x)ex(1)如果不是特征方程r2+pr+q0的根则y*Qm(x)ex一、f(x)Pm(x)ex型y*Q(x)ex设方程y+py+qyPm(x)ex特解形式为Q(x)+(2+p)Q(x)+(2+p+q)Q(x)Pm(x)——(＊)则得结论二阶常系数非齐次线性微分方程y+py+qyPm(x)ex有形如y*xkQm(x)ex的特解其中Qm(x)是与Pm(x)同次的多项式而k按不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的的重根依次取为0、1或2提示因为f(x)Pm(x)ex3x+10不是特征方程的根所以非齐次方程的特解应设为y*b0x+b1把它代入所给方程得例1求微分方程y2y3y3x+1的一个特解解齐次方程y2y3y0的特征方程为r22r30比较两端x同次幂的系数得b01311b因此所给方程的特解为31*+xy[b0x+b1]2[b0x+b1]3[b0x+b1]3b0x2b03b12b03b0x3b13b0x2b03b13x+1提示3b032b03b11比较两端x同次幂的系数得b01311b特解形式例2求微分方程y5y+6yxe2x的通解解齐次方程y5y+6y0的特征方程为r25r+60其根为r12r23提示齐次方程y5y+6y0的通解为YC1e2x+C2e3x因为f(x)Pm(x)exxe2x2是特征方程的单根所以非齐次方程的特解应设为y*x(b0x+b1)e2x把它代入所给方程得2b0x+2b0b1x比较系数得210bb11故xexxy2)121(*比较系数得210bb11故xexxy2)121(*比较系数得210bb11故xexxy2)121(*提示2b012b0b10特解形式首页例2求微分方程y5y+6yxe2x的通解解齐次方程y5y+6y0的特征方程为r25r+60其根为r12r232b0x+2b0b1x比较系数得210bb11故xexxy2)121(*比较系数得210bb11故xexxy2)121(*因此所给方程的通解为xxxexxeCeCy223221)2(21++因为f(x)Pm(x)exxe2x2是特征方程的单根所以非齐次方程的特解应设为y*x(b0x+b1)e2x把它代入所给方程得特解形式二阶常系数非齐次线性微分方程y+py+qyex[Pl(x)coswx+Pn(x)sinwx]有形如y*xkex[R(1)m(x)coswx+R(2)m(x)sinwx]的特解其中R(1)m(x)、R(2)m(x)是m次多项式mmax{ln}而k按+iw(或iw)不是特征方程的根或是特征方程的单根依次取0或1二、f(x)ex[Pl(x)coswx+Pn(x)sinwx]型下页结论解结束特解形式例3求微分方程y+yxcos2x的一个特解因为f(x)ex[Pl(x)coswx+Pn(x)sinwx]xcos2x+iw2i不是特征方程的根所以所给方程的特解应设为齐次方程y+y0的特征方程为r2+10把它代入所给方程得y*(ax+b)cos2x+(cx+d)sin2x(3ax3b+4c)cos2x(3cx+4a+3d)sin2xxcos2x比较两端同类项的系数得31ab0c094d因此所给方程的特解为xxxy2sin942cos31*+比较两端同类项的系数得31ab0c094d