高中数学选修1-1(文)第三章 导数及其应用 例题与练习

@188.com第1页共50页平均速度：物理学中，运动物体的位移与所用时间的比称为平均速度，即一段时间或一段位移内的速度；若物体的运动方程为),(tfs则物体从t到tt这段时间内的平均速度ttfttfttv)()(),(；一般的，函数)(xf在区间],[21xx上的平均变化率为2121()()fxfxxx。2.瞬时速度：是某一时刻或位置物体的速度，方向与物体运动方向相同。我们测量的瞬时速度是用很短时间内的平均速度来代替的，是对物体速度的一种粗略的估算。当平均速度ttfttfttv)()(),(中的t无限趋近于0时，平均速度ttfttfttv)()(),(的极限称为在时刻t的瞬时速度)(tv，记作v=ts=()()(0)fttfttt。求瞬时速度的步骤为：(1)设物体的运动方程为)(tfs；(2)先求时间改变量t和位置改变量);()(tfttfs(3)再求平均速度ttfttftsttv)()(),((4)后求瞬时速度：瞬时速度v=ts=()()(0)fttfttt.3.求函数)(xfy的导数的一般方法：（1）求函数的改变量)()(xfxxfy．（2）求平均变化率xxfxxfxy)()(．导数概念平均变化率瞬时变化率导数的几何意义几个初等函数的导数导数在研究函数中的应用函数的单调性函数的极值和最值生活中的优化问题导数导数的运算法则@188.com第2页共50页（3）取极限，得导数/y＝()fx(0)yxx．4.)(xfy上点（)(,00xfx）处的切线方程为))(()(00/0xxxfxfy;3.1.1问题探索求自由落体的瞬时速度典例剖析题型一平均速度例1．已知自由落体运动的位移s(m)与时间t(s)的关系为s=221gt，计算t从3秒到3.1秒、3.001秒、3.0001秒….各段内平均速度（8.9g）。分析：先求出s，再求出tsv，即为各段时间内的平均速度。解：设tdtt)(指时间改变量；s=)()(tfdtf指路程改变量。则s=2222121)(21)()(gdgtdgtdtgtfdtf；gdgttgdgtdtsv21212所以t从3秒到3.1秒平均速度989.2v；t从3秒到3.001秒平均速度4049.29v；t从3秒到3.0001秒平均速度40049.29v；评析：通过对各段时间内的平均速度计算，可以思考在各段时间内的平均速度的变化情况；可见某段时间内的平均速度tsv随tdtt)(d变化而变化。题型二瞬时速度例2.以初速度为)0(oovv做竖直上抛运动的物体，t秒时的高度为,21)(2gttvtso求物体在时刻t=m处的瞬时速度。分析：先求出平均速度ts,求瞬时速度。解：)21()t(21)t(22gmmvmgmvsoogdgmvtmstmsto21)()(syt()()1()(0)2oosmtsmvgmgttvgmt所以物体在时刻m处的瞬时速度gmvo。评析：求瞬时速度，也就转化为求极限，瞬时速度我们是通过在一段时间内的平均速度的极限来定义的，只要知道了物体的运动方程，代入公式就可以求出瞬时速度了.备选题例3：设函数1)(2xxf，求：（1）当自变量x由1变到1.1时，自变量的增量x；（2）当自变量x由1变到1.1时，函数的增量y；（3）当自变量x由1变到1.1时，函数的平均变化率；解：（1）x1.011.1@188.com第3页共50页（2）y21.0)11()11.1(22（3）xy211.021.0评析：本题也可以由xxfxxfxy)()(直接求解。点击双基1.在求平均变化率中，自变量的增量x（）Ａ．0xＢ．0xＣ．0xＤ．0x解：故选D2.一质点的运动方程是，则在一段时间t1,1内相应得平均速度为：（）Ａ．63tＢ．63tＣ．63tＤ．63t解：平均速度=1)1()1()1(tsts=tt2)1(352=63t，故选D3、在曲线y=x2+1的图象上取一点（1,2）及邻近一点（1+Δx,2+Δy）,则yx为（）A.Δx+x1+2B.Δx－x1－2C.Δx+2D.2+Δx－x1解:yx=xx)11(1)1(2=Δx+2，故选C4.一物体位移s和时间t的关系是s=2t-32t,则物体的初速度是解：平均速度=tsts)0()(=2-3t,当t趋向0时，平均速度趋向2.5.一个物体的运动方程为21tts其中s的单位是米，t的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是解：(3)(3)5(0)5ststtt课外作业：一．选择题1、若质点M按规律3st运动，则3t秒时的瞬时速度为（）A．2B．9C．27D．81解：2(3)(3)927(0)27ststttt，故选C2、任一做直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是23tts，则物体的初速度是（）A0B3C－2Dt23解：(0)(0)3(0)3ststtt，故选B3、设函数xfy，当自变量x由0x改变到xx0时，函数的改变量y为（）Axxf0Bxxf0Cxxf0D00xfxxf解：y=00xfxxf，故选D4、物体的运动方程是stt1642，在某一时刻的速度为零，则相应时刻为()@188.com第4页共50页．t1B．t2C．t3D．t4解：()()4816(0)8160,2sttsttttttt，故选B5、一个物体的运动方程为21tts其中s的单位是米，t的单位是秒，那么物体在1秒末的瞬时速度是（）A．3米/秒B．2米/秒C．1米/秒D．4米/秒解：(1)(1)1(0)1ststtt，故选C6、在曲线223xy的图象上取一点（1,23）及附近一点yx23,1，则xy为（）Axx1323Bxx1323C323xDxx1323解：xy=323x，故选C7.．物体的运动规律是)(tss，物体在ttt,时间内的平均速度是（）Ａ．ttstsv)(Ｂ．ttsttsv)()(Ｃ．ttsv)(Ｄ．当0t时，0)()(ttsttsv解：由平均变化率知故选B8.将边长为8的正方形的边长增加a,则面积的增量S为（）A．16a2B.64C.2a+8D.16a+a2解：S=S（8+a）-S（8）=（8+a2)-28=16a+a2故选D二．填空题：9、已知一物体的运动方程是s7562tt，则其在t________时刻的速度为7。解：()()6125(0)1257,1sttsttttttt10.物体运动方程y=2x+3x，则物体在时间段4,2上的平均速度为＿＿＿＿＿＿解：平均速度=24)232()434(22=911、当球半径r变化时，体积V关于r的瞬时变化率是＿＿＿＿＿＿解：rv=rrrr3334)(34=422344rrrr;所以瞬时变化率是24r。三解答题：12、环城自行车比赛运动员的位移s与比赛时间t满足2510tts（的单位：米，s的单位：秒）t求tsstt与时1.0,20。解05.21)20()20(stss5.2101.005.21[e-mail]第5页共50页米，并且3242tts，试求物体在运动第5秒末的速度。解：224(5)2(5)4(55)(5)(0)(424)(0)42ttsxtxt14、求函数y=-2x+4x+6在x=2时的瞬时变化率解：平均变化率=xxxxxxx)64()6)(4)((22=-2x+4-x当x趋于0时,瞬时变化率为-2x+4,x=2,瞬时变化率为0.思悟小结求瞬时速度的步骤：1．设物体的运动方程为)(tfs；2.先求时间改变量d和位置改变量);()(tfdtfs3.再求平均速度()()sftdftdd4.后求瞬时速度：当d无限趋近于0，()()sftdftdd无限趋近于常数v，即为瞬时速度。3.1.2问题探索求作抛物线的切线典例剖析题型一平均变化率例1：在曲线12xy的图象上取一点(1,2)及邻近一点（1＋Δx，2＋Δy）求xΔyΔ解：Δy=1)1(2x-(21+1)=2x+2x，xΔyΔ=x+2评析：平均变化率yx0000()()()fxxfxxxx题型二抛物线的切线例2.求抛物线y=f(x)=22x-x在（1，1）点处的切线斜率解：xfxf)1()1(=3+2x，令x趋于0，则3+2x趋于3.切线的斜率k=3,评析：以上三种类型的问题中例1是平均变化率，而例2与例3都是瞬时变化率。瞬时变化率就是平均变化率在改变量x趋于0时的极限值。备选题例3：曲线12xy在点P）（00,xy的切线斜率为2,求点P）（00,xy的坐标.解：设1)(2xxf则02200211)()()t(xttxtxtxfxf0000(t)()(t0)(2)(t0)22fxfxtxxt1x0312200xy）。，的坐标为（点31P点评：直线与抛物线相切,一般的解题方法是将直线方程代入抛物线方程消元,,利用0求@188.com第6页共50页(x)=x2－3x+1在点（1，－1）处的切线方程为（）A．y=-x－1B．y=xC．y=－xD．y=x+1解：xxx)131(1)1(3)1(2=-1+x,当x趋于0时,得切线斜率k=-1，切线方程为y+1=-1(x-1)，故选C2.若抛物线y=2x+1的一条切线与直线y=2x-1平行，则切点坐标为（）A．（1，1）B（1，2）C（2，5）D（3，10）解：平均变化率=xxxx)1(1)(22=2x+x,所以斜率k=2x=2,得x=1,Y=1.故选A3过点M（－1，0）作抛物线21yxx的切线，则切线方程为（）（A）3x+y+3=0或10xy（B）330xy或10xy（C）10xy（D）330xy解：设切点N（a,b）,则切线斜率k=2a+1=MNk=1ab=112aaa,得a=0或a