解直角三角形一对一讲义

个性化辅导讲义学无止境，精益求精朗才教育科技有限公司1学员姓名学校年级及科目九年级数学教师课题解直角三角形授课时间：18：30--20:30教学目标1．掌握并灵活应用各种关系解直角三角形．2．了解测量中的概念，并能灵活应用相关知识解决某些实际问题．教学内容【基础知识梳理】一．直角三角形的边角关系：在Rt△ABC中，∠C=90°，a，b，c分别是△ABC中∠A，∠B，∠C的对边．（1）三边之间的关系：a2+b2=_____；（2）两锐角之间的关系：∠A+∠B=______；（3）直角三角形斜边上的中线等于_______；（4）在直角三角形中，30°角所对的边等于_______．二．解直角三角形的四种类型：已知条件解法两条直角边a、c=______,tanA=______,∠B=_______.一条直角边a和斜边cb=______,sinA=_____,∠B=______.一条直角边a和锐角Ac=_______,b=_______,∠B=_______斜边c和锐角Aa=_______,b=_______,∠B=______三、30°，45°，60°的三角函数值a30°45°60°sina个性化辅导讲义学无止境，精益求精朗才教育科技有限公司2视线铅垂线bACa┌cB水平线仰角俯角lhα视线cosatanacota四、在解直角三角形及应用时经常接触到的一些概念（1）仰角和俯角（2）坡度：tana=____α为坡角（3）方位角五、解直角三角形：(如图)只有下面两种情况：（1）已知两条边；（2）已知一条边和一个锐角1.已知a,b.解直角三角形(即求：∠A，∠B及C边)2.已知∠A，a.解直角三角形：______________________________________.3.已知∠A，b.解直角三角形:________________________________________.4.已知∠A，c.解直角三角形:_____________________________________【基础自测】1.在△EFG中，∠G=90°，EG=6，EF=10，则cotE=（）A.43B.34C.53D.352.在△ABC中，∠A=105°，∠B=45°，tanC的值是（）A.21B.33C.1D.33.在△ABC中，若22cosA，3tanB，则这个三角形一定是（）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形4.如图18，在△EFG中，∠EFG=90°，FH⊥EG，下面等式中，错误的是（）A.EGEFGsinB.EFEHGsinC.FGGHGsinD.FGFHGsin5.sin65°与cos26°之间的关系为（）A.sin65°cos26°B.sin65°cos26°C.sin65°=cos26°D.sin65°+cos26°=16.已知30°α60°，下列各式正确的是（）个性化辅导讲义学无止境，精益求精朗才教育科技有限公司3A.B.C.D.7.已知0°α90°，当α=__________时，21sin，当α=__________时，Cota=3.8.若，则锐角α=__________。9.若地面上的甲看到高山上乙的仰角为200，则乙看到甲的俯角为度。10.已知一斜坡的坡度为1：4，水平距离为20米，则该斜坡的垂直高度为。【考点解析】题型1三角函数例1.在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=4，则sinA的值为_______．2.在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4，AC=3，则cosA的值为______．3.如图1，在△ABC中，∠C=90°，BC=5，AC=12，则cosA等于（）1312.,512.,135.,122.DCBA4.如图2，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，已知AC=5，BC=2，那么sin∠ABC=（）A．52255...3352BCD5．计算：12+8cos60tan30（）题型2解直角三角形一、已知一条直角边和斜边例1如图，在△ABC中、D、F分别在AC、BC上，且AB⊥AC，AF⊥BC，BD＝DC＝FC＝1，求AC。分析：由数形结合易知，△ABC是直角三角形，AF为斜边上的高线，CF是直角边AC在斜边上的射影，AC为所求，已知的另外两边都在△BDC中，且BD＝DC＝1，即△BDC是等腰三角形。因此，可以过D作DE⊥BC，拓开思路。由于DE，AF同垂直于BC，又可以利用比例线段的性质，逐步等价转化求得AC。个性化辅导讲义学无止境，精益求精朗才教育科技有限公司4说明：本题体现了基本图形基本性质的综合应用。还应该注意，作垂线构造直角三角形是解直角三角形时常用的方法。二、已知一条直角边和一个锐角例2如图，若图中所有的三角形都是直角三角形，且∠A＝α，AE＝1，求AB的长。分析一：所求AB是Rt△ABC的斜边，但在Rt△ABC中只知一个锐角A＝α，暂不可解。而在Rt△ADE中，已知一直角边及一锐角是可解的，所以就从解Rt△ADE入手。点评：本题是由几个直角三角形组合而成的图形。这样的问题，总是先解出已经具备条件的直角三角形，从而逐步创造条件，使得要求解的直角三角形最终可解。值得注意的是，由于射影定理揭示了直角三角形中有关线段的数量关系，因而在解直角三角形时经常要用到。变式训练：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是BC边上的中线。（1）若BD＝2，∠B＝30°，求AD的长；（2）若∠ABC＝α，∠ADC＝β，求证：tanβ＝2tanα。题型3解斜三角形1.如图6所示，已知：在△ABC中，∠A=60°，∠B=45°，AB=8，求△ABC的面积（结果可保留根号）．个性化辅导讲义学无止境，精益求精朗才教育科技有限公司52.如图，海上有一灯塔P，在它周围3海里处有暗礁，一艘客轮以9海里/时的速度由西向东航行，行至A点处测得P在它的北偏东60°的方向，继续行驶20分钟后，到达B处又测得灯塔P在它的北偏东45°方向，问客轮不改变方向继续前进有无触礁的危险？变式训练：3．已知锐角△ABC中，AD⊥BC于D，∠B=450，DC=1，且ABCS=3，则AB=。4．已知△ABC中，AD是高，AD=2，DB=2，CD=23，则∠BAC=（）(A)1050(B)150(C)1050或150(D)600题型4仰角和俯角1．如图，河对岸有铁塔AB，在C处测得塔顶A的仰角为30°，向塔前进14米到达D，在D处测得A的仰角为45°，求铁塔AB的高。2．下图为住宅区内的两幢楼，它们的高mCDAB30，现需了解甲楼对乙楼的采光的影响情况。当太阳光与水平线的夹角为30°时。试求：1）若两楼间的距离mAC24时，甲楼的影子，落在乙楼上有多高？2）若甲楼的影子，刚好不影响乙楼，那么两楼的距离应当有多远？ACDB甲乙AC300BD个性化辅导讲义学无止境，精益求精朗才教育科技有限公司6变式训练3.若地面上的甲看到高山上乙的仰角为200，则乙看到甲的俯角为度。4.在高出海平面100米的山岩上一点A，看到一艘船B的俯角为300，则船与山脚的水平距离为（）（A）50米（B）200米（C）1003米（D）33100米课后作业1.在△ABC中，∠C=90°，52sinA，则sinB的值是（）A.32B.52C.54D.5212.若平行四边形相邻两边的长分别为10和15，它们的夹角为60°，则平行四边形的面积是（）米2A.150B.375C.9D.73.如图19，铁路路基横断面为一个等腰梯形，若腰的坡度为i=2∶3，顶宽是3米，路基高是4米，则路基的下底宽是（）A.7米B.9米C.12米D.15米4.如图20，两条宽度都为1的纸条，交叉重叠放在一起，且它们的交角为α，则它们重叠部分（图中阻影部分）的面积为（）A.sin1B.cos1C.sinD.1二.填空题：1.已知0°α90°，当α=__________时，21sin，当α=__________时，Cota=3.2.若，则锐角α=__________。3.在Rt△ABC中，∠C=90°，53sinA，36cba，则a=__________，b=__________，c=__________，cotA=__________。4.若一个等腰三角形的两边长分别为2cm和6cm，则底边上的高为__________cm，底角的余弦值为__________。个性化辅导讲义学无止境，精益求精朗才教育科技有限公司75.酒店在装修时，在大厅的主楼梯上铺设某种红色地毯，已知这种地毯每平方米售价30元，主楼梯宽2米，其侧面如图21所示，则购买地毯至少需要__________元。三.解答题：1.计算)30cos30cot1)(60sin60tan1(2.如图22，在△ABC中，∠C=90°，∠BAC=30°，AD=AB，求tanD。3.已知直角三角形中两条直角边的差是7cm，斜边的长是13cm，求较小锐角α的各三角函数值。