微分中值定理经典题型

洛必达法则Rolle定理Lagrange中值定理常用的泰勒公式型00,1,0型型0型00型Cauchy中值定理Taylor中值定理xxF)()()(bfaf0ngfgf1fgfggf1111取对数令gfyFermat定理1.()()()().fxRfxfxfx设在上可微，证明的两个零点之间一定有的零点分析:设1212()()0,,fxfxxx欲证:12(,),xx使()()0ff只要证()()0ffe亦即[()]0xxefx证明作辅助函数()(),xFxefx验证)(xF在],[21xx上满足罗尔定理条件.e1'.()()()0,().fxRfxfxfx设在上可微，且证明至多只有一个零点证明反证法,由第1题!1''.()()()().fxRfxfxfx设在上可微，证明的两个零点之间一定有的零点若将第1题改为:()()xFxefx提示：求证存在,)1,0(使2.设]1,0[可导，且,0)1(f在连续，)1,0()(xf证明：)()(xfxxn,)1,0(因此至少存在显然)(x在上满足罗尔定理条件,]1,0[)(即设辅助函数使得)()(1ffnnn0在内可导,且证明至少存在一点使上连续,在证明第2题的特殊情况:n=2!证明210xx)()()(1221xfxfxxf1112)()(xfxf0))((121fx)()()(2121xfxfxxf,(2122xxx不妨设)0()()()(1221fxfxfxxf)(21)011x0)0(,0)(fxf设证明对任意0,021xx有)()()(2121xfxfxxf3.4.设函数f(x)在[0,3]上连续,在(0,3)内可导,且,1)3(,3)2()1()0(ffff使,)3,0(.0)(f试证必存在分析:所给条件可写为1)3(,13)2()1()0(ffff想到找一点c,使3)2()1()0()(fffcf证明:因f(x)在[0,3]上连续,所以在[0,2]上连续,且在[0,2]上有最大值M与最小值m,故Mfffm)2(),1(),0(Mmfff3)2()1()0(由介值定理,至少存在一点使,]2,0[c3)2()1()0()(fffcf1,1)3()(fcf,)3,(,]3,[)(内可导在上连续在且ccxf由罗尔定理知,必存在.0)(,)3,0()3,(fc使()[0,1],()0,1)(0)0,(1)1(1)(0,1),()1(2),(0,1),'()'()1.fxCfxfffff5.已知在(内可导，且，证明：使并且使证明:1()()-1()[0,1],(0)(1)((0)1)(1)1001()0()1.FxfxxFxCFFffFf（）令又零点定理，（，）＝，即1()()-1()[0,1],(0)(1)((0)1)(1)1001()0()1.FxfxxFxCFFffFf（）令又零点定理，（，）＝，即(2)(1)()'()(1)(,1)()(0)'()(0,)ffffff(1)()1()fff又1'()'()01ff，（，）()(0)()1fff6.试证至少存在一点使法1令()sinlnfxx则f(x)在[1,e]上满足罗尔中值定理条件,使coslnx()fxsin11x因此存在1xsin1lnx()(1)(),(1,)()(1)()feffeFeFF7试证至少存在一点使证:法2用柯西中值定理.()sinln,()lnfxxFxx则f(x),F(x)在[1,e]上满足柯西中值定理条件,令因此11cosln即分析:8.且试证存在证明:欲证()(),2ffab因f(x)在[a,b]上满足L-中值定理条件,故有()()()(),(,)fbfafbaab2()[,],fxxab又因及在上满足柯西定理条件将①代入②,化简得故有①②()(),2abff,(,)ab即要证22()()().2fbafba证有展成一阶泰勒公式处把在,)(0xfx20000))((21))(()()(xxfxxxfxfxf则有令,1,0xx201000)(21)()()0(xfxxfxff202000)1)((21)1)(()()1(xfxxfxff],1,0[0x设])1,0[(21)(:,1)(),1()0(,]1,0[)(xxfxfffxf证明且上二阶可微在若函数例12022010)1)((21)(21)(xfxfxf两式相减,),1()0(ff注意到则有,1)(xf20200)1(2121)(xxxf41)21(20x,]1,0[0知又由x,21210x21)(0xf于是有.,0可知命题成立的任意性由x()[0,1],(),(),,:(0,1),()2.2fxfxafxbabbxfxa，若函数在上二阶可微且其中是非负数.证类明有似地例20()(,),()0,(,),()()()(01),lim1/2.hfxUafaahUafahfahfah设在内具有二阶连续导数且证明：2221()()()()(01),2fahfahfafahh又11()()()[](()01),()()fahfafahhfahfahfah证明:两式相减,得12001lim''()lim()2hhfahfxh令h→0,两边取极限,利用f〃(a)的连续性得0011lim()(),()0lim.22hhfafafa又，得22121''()()2hfahhfah有关中值问题的解题方法小结利用逆向思维,设辅助函数.一般解题方法:(1)证明含一个中值的等式或根的存在,(2)若结论中涉及到含中值的两个不同函数,(3)若结论中含两个或两个以上的中值,可用原函数法找辅助函数.多用罗尔定理,可考虑用柯西中值定理.必须多次应用中值定理.(4)若已知条件中含高阶导数,多考虑用泰勒公式,(5)若结论为不等式,多半用Taylor和lagrange公式,要注意适当放大或缩小的技巧.有时也可考虑对导数用中值定理.单调性,极值与最值,凹凸性,拐点,函数图形的描绘.导数的应用1.研究函数的性态:增减,极值,凹凸,拐点,渐近线.2.解决最值问题•目标函数的建立与简化•最值的判别问题3.其他应用:证明不等式;研究方程实根等.,,(单调性极值凹凸等方法)1.可导函数单调性判别Ixxf,0)(在I上严格单调递增Ixxf,0)(在I上严格单调递减()0,fxxI在I上单调递增()0,fxxI在I上单调递减2.连续函数的极值(1)极值可疑点:使导数为0或不存在的点(2)第一充分条件过由正变负为极大值过由负变正为极小值(3)第二充分条件为极大值为极小值3.在[a,b]上连续的函数f(x)的最大（小）值求法求函数最值的方法:(1)求在内的极值可疑点(2)最大值maxM,)(af)(bf最小值注意:如果区间内只有一个极值,则这个极值就是最值.(最大值或最小值)4.连续曲线凹凸与拐点（1）凸（凹）函数的定义2:R,[0,1]fIxxI1设，若，有1212(1)()(1)()fxxfxfxfI则称为上的凸函数；2(0,1)xxI1若，有1212(1)()(1)()fxxfxfxfI则称为上的严格凸函数；严格凹凹（2）凸函数的判定判定法则1'()()fIfI若在上严格单调增单调增是上的严格凸凸函数.()0,fxxI()();fx在上的图形是严格凸的I的凸（）判定法则2判定法则3'(),,fxxI设21121()()'()()fxfxfxxx();fx在上的图形是严格凸的I1212,()xxIxx若有()的凸（）(3)拐点的定义及判定法拐点—连续曲线上有切线的凹凸分界点设0()fx，点)(,00xfx是曲线()yfx的拐点的必要条件是0)(0xf.过由正变负或过由负变正点)(,00xfx是曲线()yfx的拐点.判定法则1例1).,0,0(,2ln)(lnlnyxyxyxyxyyxx证明不等式证),0(ln)(ttttf令,1ln)(ttf则,01)(ttf()ln(,)(,),0,0.ftttxyyxxy在或是严格凸的)2()]()([21yxfyfxf于是,2ln2]lnln[21yxyxyyxx即.2ln)(lnlnyxyxyyxx即.])(,[0)(,0)(',,0)(),[)(有且仅有一个实根上在求证时当上连续且在设kafaaxfkxfaxafaxf0))((,,0)()(,0)(',0)(,kafafxfxfxfaf以下只须证必有唯一的根若有根故方程由题设知例2证明()()[,],fafxaaLk将在上用中值定理得方法1：()()()()'()()fafafafafaakk()()'()()()fafafaakk.])(,[0)(上有且仅有一个实根在kafaaxf()()()'()()()'()()()(1)0fafaffafaffakkk()1)1(21,1101xxx证明不等式设上的最大值与最小值在求令]1,0[)()1()(xfxxxf,)(2111MxfmmM)1(1)0(21)21(21)1()('111fffxxxxf1)1(21.,.1xxei例3证明11(1)(0,)xyx证明：内单调递增2.1(1)1(2)()1xbaxeabbaex证明不等式当)11ln(lnxxy11(1)(0,)xyx证明：内单调递增单调递增yxxyy011)11ln('0)1(1)1(1)1(1111'22xxxxxxg0lim11)11ln(gxxgx令xxyy11)11ln('0limgggx单调递减证明2.1(1)1(2)().1xbaxeabbaex证明不等式当；1)1(,11011)1(xexexxxx即故要证证法一：0)0(1)1()(FxexFx令0)1()('令xxxxexeexF)(0)('0)(0)('0,0xFxFxxFxFxx0)(1)0()(xFxFxF故xex11即baabaabbeabafbfxfxfexexxxxfxxxflnln))(()()(,0)(',)(0ln1)('ln)(2即则令baabaabbbaabaabbthLbaxfexxxxfxxxf即（〈得：上在将则令lnln)0)(ln1lnln.],[)()(0ln1)('ln)(22)()2(eabbaab