极坐标与参数方程ppt

参数方程与极坐标迁安一中西校区周荣荣知识脉络1了解坐标系的作用，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.2了解极坐标的基本概念，会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化.3能在极坐标系中给出简单图形（如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆）表示的极坐标方程.4了解参数方程，了解参数的意义.5能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程.考纲要求1．直角坐标与极坐标的互化把直角坐标系的原点作为极点，x轴正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位.设M是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x，y)和(ρ，θ)，则x＝ρcosθy＝ρsinθ，ρ2＝x2＋y2tanθ＝yx(x≠0).知识点回顾：ρ2.圆的参数方程圆心在点M(x0，y0)，半径为r的圆的参数方程为x＝x0＋rcosθ，y＝y0＋rsinθ(θ为参数，0≤θ≤2π)．3.椭圆的参数方程x2a2＋y2b2＝1的参数方程为x＝acosθy＝bsinθ(θ为参数)．知识点回顾：例1在极坐标系中，已知圆C的圆心坐标为C(2，3π)，半径R=5，求圆C的极坐标方程.xOCP思路1：化为直角坐标研究.题型一极坐标、参数方程、直角坐标互化xOC法一：将圆心π(2)3C，化成直角坐标为13（，）.(x－1)2＋(y－3)2=5.化简，得ρ2－4ρcos(θ－3π)－1=0，此即为所求的圆C的方程.再将C化成极坐标方程，得(ρcosθ－1)2+(ρsinθ－3)2=5.y半径R=5,故圆C的直角坐标方程为题型一极坐标、参数方程、直角坐标互化例1在极坐标系中，已知圆C的圆心坐标为C(2，3π)，半径R=5，求圆C的极坐标方程.xOCP题型一极坐标、参数方程、直角坐标互化思路2：运用直接法，寻求点P的极径与极角的关系，即是圆的极坐标方程.xOC法二：解设P(ρ，θ)是圆C上的任意一点，则PC=R=5.在△POC中，由余弦定理，得ρ2+22－2×2×ρcos(θ－3)=5.化简，得ρ2－4ρcos(θ－3)－1=0，此即为所求的圆C的方程.P设点列式化简检验题型一极坐标、参数方程、直角坐标互化5θρ52（2）思想方法：化归转化思想．回顾反思（1）基本思路：(求曲线的极坐标方程)②直接法；①转化为直角坐标．直接法求曲线的极坐标方程的一般步骤：①（建系）建立适当的极坐标系；②（设点）在曲线上任取一点P(，)；③（列式）根据曲线上的点所满足的条件写出等式；④（化简）用极坐标，表示上述等式，并化简；⑤（检验）证明所得的方程是曲线的极坐标方程．例2(2011·陕西)在直角坐标系xOy中，以原点为极点，x的正半轴为极轴建立极坐标系，设点A，B分别在曲线C1：x＝3＋cosθ，y＝4＋sinθ(θ为参数)和曲线C2：ρ＝1上，则AB的最小值为________．3解析∵C1：(x－3)2＋(y－4)2＝1，C2：x2＋y2＝1，∴两圆心之间的距离为d＝32＋42＝5.∵A∈曲线C1，B∈曲线C2，∴ABmin＝5－2＝3.题型一极坐标、参数方程、直角坐标互化例3（1）在曲线C：22149xy上找一点M，使其到直线l：260xy的距离最小，并求最小距离。（2）动点P(x,y)在曲线上变化，求3x+2y的最大值和最小值变式：（2014全国卷Ⅰ）23.（2）过曲线C上任一点P作与l夹角为o30的直线，交l于点A，求||PA的最大值与最小值.题型二参数方程的应用反思：（1）思维策略：涉及圆、椭圆的最值问题，常利用圆或椭圆的参数方程，转化为三角函数的有界性问题．（2）思想方法：参数思想、化归转化思想000已知直线过点M(x,y)，倾斜角，M0(x0,y0)M(x,y)(cos,sin)xOy解:在直线上任取一点M(x,y),则000(,)MMxxyyel设是直线的单位方向向量，则(cos,sin)e00//,,,MMetRMMte因为所以存在实数使即00(,)(cos,sin)xxyyt00cos,sinxxtyyt知识点回顾：4．直线的参数方程144．直线的参数方程过定点M(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程为x＝x0＋tcosα，y＝y0＋tsinα(t为参数)．M0(x0,y0)M(x,y)xOy注意：直线参数方程中参数t的绝对值等于直线上动点M到定点M0的距离|t|=|M0M|知识点回顾：0MMteM0（x0，y0）·xyO是参数）ttyytxx(sincos00设A,B为直线上任意两点，它们所对应的参数值分别为t1,t2.（1）|AB|＝（2）若M是AB的中点，M对应的参数值为21tt221tt·M（x，y）··AB（3）若M0是AB的中点，则知识点回顾：t1+t2=0例4在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为x＝－2＋35t，y＝2＋45t(t为参数)，它与曲线C：(y－2)2－x2＝1交于A，B两点．(1)求|AB|的长；(2)在以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点P的极坐标为(22，3π4)，①求点P到线段AB中点M的距离．②求PAPB的值。题型二参数方程的应用【解析】(1)将直线l的参数方程x＝－2＋35t，y＝2＋45t(t为参数)，代入(y－2)2－x2＝1，得725t2＋125t－5＝0.∴t1＋t2＝－607，t1t2＝－1257.∴|AB|＝|t1－t2|＝（t1＋t2）2－4t1t2＝10771.(2)P点直角坐标为(－2，2)，线段AB中点对应的参数值为t1＋t22，∴点P到线段AB中点M的距离为|t1＋t22|＝307.121257PAPBtt题型二参数方程的应用变式：若l的参数方程为2324xttyt为参数，它与曲线C：(y－2)2－x2＝1交于A，B两点．则（1）（2）的结果变为什么？题型二参数方程的应用【解析】(1)将直线l的参数方程2324xttyt为参数，代入(y－2)2－x2＝1，得7t2＋12t－5＝0.∴t1＋t2＝－127，t1t2＝－57.∴|AB|＝|t1－t2|＝（t1＋t2）2－4t1t2＝2771.(2)P点直角坐标为(－2，2)，线段AB中点对应的参数值为t1＋t22，∴点P到线段AB中点M的距离为|t1＋t22|＝67.1257PAPBtt题型二参数方程的应用为什么结果不同？220221(0)1abbttMMabt当时，有明确的几何意义，即当时，没有明确的几何意义。00(xxattyybt为参数）||||tbaMM220||||212221ttbaMM直线的参数方程一般式:知识点回顾：反思：（1）思维策略：涉及直线与圆锥曲线相交求弦长或定点到弦端点距离之积问题，要充分运用直线参数t的几何意义（2）思想方法：参数思想、化归转化思想总结提炼1一、聚焦重点：曲线的极坐标方程．三、廓清疑点：参数方程的应用．二、破解难点：参数方程与普通方程的互化．知识与内容2（1）曲线的参数方程与普通方程的互化、极坐标方程与直角坐标方程互化需注意等价性．（2）参数思想、转化思想．（3）类比已有知识，注重新旧知识的整合与循环上升．1.（2011.湖南）极坐标方程ρ＝sinθ＋cosθ表示的曲线是()A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线2.已知点P(x，y)是圆x2＋y2＝2y上的动点，若x＋y＋a≥0恒成立，求实数a的取值范围．当堂检测：A21,题型三极坐标、参数方程的综合应用3.已知极坐标系下曲线C的方程为sin4cos2，直线l经过点)4,2(P，倾斜角3.（Ⅰ）求直线l在相应直角坐标系下的参数方程;（Ⅱ）设l与曲线C相交于两点BA、，①求点P到BA、两点的距离之积；②BA、之间的距离。11,1112Pxtltt的直角坐标的参数方程为参数3y=1+22222212121221212122240125340344419CxyxyxylttttttPAPBttABtttttt的直角坐标方程即将直线的参数方程代入C,并整理得，