高考数学(人教A版,理)一轮复习配套讲义第2篇第4讲幂函数与二次函数

宜宾市优学堂培训学校-1-第4讲幂函数与二次函数[最新考纲]1．了解幂函数的概念．2．结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝1x，y＝的图象，了解它们的变化情况．3．理解并掌握二次函数的定义、图象及性质．4．能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题.知识梳理1．幂函数(1)幂函数的定义一般地，形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数．(2)常见的5种幂函数的图象(3)常见的5种幂函数的性质函数特征性质y＝xy＝x2y＝x3y＝x21y＝x－1定义域RRR[0，＋∞){x|x∈R，且x≠0}值域R[0，＋∞)R[0，＋∞){y|y∈R，且y≠0}奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增(－∞，0]减，[0，＋∞)增增增(－∞，0)减，(0，＋∞)减定点(0,0)，(1,1)(1,1)宜宾市优学堂培训学校-2-2.二次函数(1)二次函数的定义形如f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的函数叫做二次函数．(2)二次函数的三种常见解析式①一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)；②顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，(m，n)为顶点坐标；③两根式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)其中x1，x2分别是f(x)＝0的两实根．(3)二次函数的图象和性质函数二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)图象a0a0定义域RR值域y∈4ac－b24a，＋∞y∈－∞，4ac－b24a对称轴x＝－b2a顶点坐标－b2a，4ac－b24a奇偶性b＝0⇔y＝ax2＋bx＋c(a≠0)是偶函数递增区间－b2a，＋∞－∞，－b2a递减区间－∞，－b2a－b2a，＋∞最值当x＝－b2a时，y有最小值ymin＝4ac－b24a当x＝－b2a时，y有最大值ymax＝4ac－b24a宜宾市优学堂培训学校-3-辨析感悟1．对幂函数的认识(1)函数f(x)＝x2与函数f(x)＝2x2都是幂函数．()(2)幂函数的图象都经过点(1,1)和(0,0)．()(3)幂函数的图象不经过第四象限．()2．对二次函数的理解(4)二次函数y＝ax2＋bx＋c，x∈R，不可能是偶函数．()(5)(教材习题改编)函数f(x)＝12x2＋4x＋6，x∈[0,2]的最大值为16，最小值为－2.()(6)(2011·陕西卷改编)设n∈N*，一元二次方程x2－4x＋n＝0有整数根的充要条件是n≤4.()[感悟·提升]三个防范一是幂函数的图象最多出现在两个象限内，一定会经过第一象限，一定不经过第四象限，若与坐标轴相交，则交点一定是原点，但并不是都经过(0,0)点，如(2)、(3)．二是二次函数的最值一定要注意区间的限制，不要盲目配方求得结论，如(5)中的最小值就忽略了函数的定义域．三是一元二次方程有实根的充要条件为Δ≥0，但还要注意n∈N*，如(6)．考点一幂函数的图象与性质的应用宜宾市优学堂培训学校-4-【例1】(1)(2014·济南模拟)已知幂函数y＝f(x)的图象过点12，22，则log4f(2)的值为()．A.14B．－14C．2D．－2(2)函数y＝13x的图象是()．规律方法(1)幂函数解析式一定要设为y＝xα(α为常数)的形式；(2)可以借助幂函数的图象理解函数的对称性、单调性；(3)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键．【训练1】比较下列各组数的大小：⑴121.1，120.9，1；⑵2322，23107，431.1.考点二二次函数的图象与性质【例2】(2013·浙江七校模拟)宜宾市优学堂培训学校-5-如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，图象过点A(－3,0)，对称轴为x＝－1.给出下面四个结论：①b2＞4ac；②2a－b＝1；③a－b＋c＝0；④5a＜b.其中正确的是()．A．②④B．①④C．②③D．①③规律方法解决二次函数的图象问题有以下两种方法：(1)排除法，抓住函数的特殊性质或特殊点；(2)讨论函数图象，依据图象特征，得到参数间的关系．【训练2】(2014·广东六校教研协作体联考)已知函数f(x)＝x2－2x，g(x)＝ax＋2(a＞0)，对任意的x1∈[－1,2]都存在x0∈[－1,2]，使得g(x1)＝f(x0)，则实数a的取值范围是________．考点三二次函数的综合运用【例3】若二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)满足f(x＋1)－f(x)＝2x，且f(0)＝1.(1)求f(x)的解析式；宜宾市优学堂培训学校-6-(2)若在区间[－1,1]上，不等式f(x)2x＋m恒成立，求实数m的取值范围．规律方法二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”，它们常结合在一起，有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析．【训练3】(2014·江西九校联考)已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(c＞0且为常数)的导函数的图象如图所示．(1)求函数f(x)的解析式(用含c的式子表示)；(2)令g(x)＝fxx，求y＝g(x)在[1,2]上的最大值．1．对于幂函数的图象的掌握只要抓住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即x＝1，y＝1，y＝x分区域．根据α＜0,0＜α＜1，α＝1，α＞1的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定．宜宾市优学堂培训学校-7-2．二次函数的综合应用多涉及单调性与最值或二次方程根的分布问题，解决的主要思路是等价转化，多用到数形结合思想与分类讨论思想．3．对于与二次函数有关的不等式恒成立或存在问题注意等价转化思想的运用．营养餐二次函数在闭区间上的最值问题【典例】(12分)(经典题)求函数f(x)＝－x(x－a)在x∈[－1,1]上的最大值．[反思感悟](1)二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解题的关键是对称轴与区间的关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论．(2)部分学生易出现两点错误：①找不到分类的标准，无从入手；②书写格式不规范，漏掉结论f(x)max＝宜宾市优学堂培训学校-8-－a－1，a＜－2，a24，－2≤a≤2，a－1，a＞2.答题模板第一步：配方，求对称轴．第二步：分类，将对称轴是否在给定区间上分类讨论．第三步：求最值．第四步：下结论．【自主体验】已知函数f(x)＝－4x2＋4ax－4a－a2在区间[0,1]内有一个最大值－5，求a的值．自助餐基础巩固题组一、选择题1．幂函数的图象过点2，14，则它的单调递增区间是()．A．(0，＋∞)B．[0，＋∞)C．(－∞，0)D．(－∞，＋∞)宜宾市优学堂培训学校-9-2．如果函数f(x)＝x2＋bx＋c对任意的实数x，都有f(1＋x)＝f(－x)，那么()．A．f(－2)＜f(0)＜f(2)B．f(0)＜f(－2)＜f(2)C．f(2)＜f(0)＜f(－2)D．f(0)＜f(2)＜f(－2)3．(2014·北京八十中模拟)已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2＋2x，若f(2－a2)＞f(a)，则实数a的取值范围是()．A．(－∞，－1)∪(2，＋∞)B．(－1,2)C．(－2,1)D．(－∞，－2)∪(1，＋∞)4．若a＜0，则0.5a,5a,5－a的大小关系是()．A．5－a＜5a＜0.5aB．5a＜0.5a＜5－aC．0.5a＜5－a＜5aD．5a＜5－a＜0.5a5．设abc＞0，二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象可能是()．二、填空题6．(2014·上海中学一检)方程x2－2ax＋4＝0的一根大于1，一根小于1，则实数a的取值范围是________．7．(2013·南昌检测)已知函数y＝－x2＋4ax在区间[1,3]上单调递减，则实数a的取值范围是________．8．已知函数f(x)＝2x，x≥2，x－13，x2.若关于x的方程f(x)＝k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是________．三、解答题9．已知二次函数f(x)的二次项系数为a，且f(x)＞－2x的解集为{x|1＜x＜3}，方程f(x)＋6a＝0有两相等实根，求f(x)的解析式．宜宾市优学堂培训学校-10-10．设函数y＝x2－2x，x∈[－2，a]，求函数的最小值g(a)．能力提升题组一、选择题1．(2014·江门、佛山模拟)已知幂函数f(x)＝xα，当x＞1时，恒有f(x)＜x，则α的取值范围是()．A．(0,1)B．(－∞，1)C．(0，＋∞)D．(－∞，0)2．设函数f(x)＝－2x2＋4x在区间[m，n]上的值域是[－6,2]，则m＋n的取值所组成的集合为()．A．[0,3]B．[0,4]C．[－1,3]D．[1,4]二、填空题3．已知函数f(x)＝12x，给出下列四个命题：①若x＞1，则f(x)＞1；②若0＜x1＜x2，则f(x2)－f(x1)＞x2－x1；③若0＜x1＜x2，则x2f(x1)＜x1f(x2)；宜宾市优学堂培训学校-11-④若0＜x1＜x2，则fx1＋fx22＜fx1＋x22.其中，所有正确命题的序号是________．三、解答题4．(2014·辽宁五校联考)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f(x)＝x2＋2x.现已画出函数f(x)在y轴左侧的图象，如图所示，请根据图象：(1)写出函数f(x)(x∈R)的增区间；(2)写出函数f(x)(x∈R)的解析式；(3)若函数g(x)＝f(x)－2ax＋2(x∈[1,2])，求函数g(x)的最小值．