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当前位置:首页 > 中学教育 > 初中教育 > 高考数学(理科)二轮复习【专题2】三角变换与解三角形(含答案)
第2讲三角变换与解三角形考情解读(1)高考中常考查三角恒等变换有关公式的变形使用,常和同角三角函数的关系或诱导公式结合.(2)利用正弦定理或余弦定理解三角形或判断三角形的形状、求值等,经常和三角恒等变换结合进行综合考查.1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)sin(α±β)=sinαcosβ±cosαsinβ.(2)cos(α±β)=cosαcosβ∓sinαsinβ.(3)tan(α±β)=tanα±tanβ1∓tanαtanβ.2.二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin2α=2sinαcosα.(2)cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α.(3)tan2α=2tanα1-tan2α.3.三角恒等式的证明方法(1)从等式的一边推导变形到另一边,一般是化繁为简.(2)等式的两边同时变形为同一个式子.(3)将式子变形后再证明.4.正弦定理asinA=bsinB=csinC=2R(2R为△ABC外接圆的直径).变形:a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC.sinA=a2R,sinB=b2R,sinC=c2R.a∶b∶c=sinA∶sinB∶sinC.5.余弦定理a2=b2+c2-2bccosA,b2=a2+c2-2accosB,c2=a2+b2-2abcosC.推论:cosA=b2+c2-a22bc,cosB=a2+c2-b22ac,cosC=a2+b2-c22ab.变形:b2+c2-a2=2bccosA,a2+c2-b2=2accosB,a2+b2-c2=2abcosC.6.面积公式S△ABC=12bcsinA=12acsinB=12absinC.7.解三角形(1)已知两角及一边,利用正弦定理求解.(2)已知两边及一边的对角,利用正弦定理或余弦定理求解,解的情况可能不唯一.(3)已知两边及其夹角,利用余弦定理求解.(4)已知三边,利用余弦定理求解.热点一三角变换例1(1)已知sin(α+π3)+sinα=-435,-π2α0,则cos(α+2π3)等于()A.-45B.-35C.45D.35(2)(2014·课标全国Ⅰ)设α∈(0,π2),β∈(0,π2),且tanα=1+sinβcosβ,则()A.3α-β=π2B.2α-β=π2C.3α+β=π2D.2α+β=π2思维启迪(1)利用和角公式化简已知式子,和cos(α+23π)进行比较.(2)先对已知式子进行变形,得三角函数值的式子,再利用范围探求角的关系.答案(1)C(2)B解析(1)∵sin(α+π3)+sinα=-435,-π2α0,∴32sinα+32cosα=-435,∴32sinα+12cosα=-45,∴cos(α+2π3)=cosαcos2π3-sinαsin2π3=-12cosα-32sinα=45.(2)由tanα=1+sinβcosβ得sinαcosα=1+sinβcosβ,即sinαcosβ=cosα+cosαsinβ,∴sin(α-β)=cosα=sin(π2-α).∵α∈(0,π2),β∈(0,π2),∴α-β∈(-π2,π2),π2-α∈(0,π2),∴由sin(α-β)=sin(π2-α),得α-β=π2-α,∴2α-β=π2.思维升华(1)三角变换的关键在于对两角和与差的正弦、余弦、正切公式,二倍角公式,三角恒等变换公式的熟记和灵活应用,要善于观察各个角之间的联系,发现题目所给条件与恒等变换公式的联系,公式的使用过程要注意正确性,要特别注意公式中的符号和函数名的变换,防止出现张冠李戴的情况.(2)求角问题要注意角的范围,要根据已知条件将所求角的范围尽量缩小,避免产生增解.设函数f(x)=cos(2x+π3)+sin2x.(1)求函数f(x)的最小正周期和最大值;(2)若θ是第二象限角,且f(θ2)=0,求cos2θ1+cos2θ-sin2θ的值.解(1)f(x)=cos(2x+π3)+sin2x=cos2xcosπ3-sin2xsinπ3+1-cos2x2=12-32sin2x.所以f(x)的最小正周期为T=2π2=π,最大值为1+32.(2)因为f(θ2)=0,所以12-32sinθ=0,即sinθ=33,又θ是第二象限角,所以cosθ=-1-sin2θ=-63.所以cos2θ1+cos2θ-sin2θ=cos2θ-sin2θ2cos2θ-2sinθcosθ=cosθ+sinθcosθ-sinθ2cosθcosθ-sinθ=cosθ+sinθ2cosθ=-63+332×-63=6-326=2-24.热点二解三角形例2在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,满足a=2sinA,cosBcosC+2ac+bc=0.(1)求边c的大小;(2)求△ABC面积的最大值.思维启迪(1)将cosBcosC+2ac+bc=0中的边化成角,然后利用和差公式求cosC,进而求c.(2)只需求ab的最大值,可利用cosC=a2+b2-c22ab和基本不等式求解.解(1)∵cosBcosC+2ac+bc=0,∴ccosB+2acosC+bcosC=0,∴sinCcosB+sinBcosC+2sinAcosC=0,∴sinA+2sinAcosC=0,∵sinA≠0,∴cosC=-12,∵C∈(0,π)∴C=2π3,∴c=asinA·sinC=3.(2)∵cosC=-12=a2+b2-32ab,∴a2+b2+ab=3,∴3ab≤3,即ab≤1.∴S△ABC=12absinC≤34.∴△ABC面积最大值为34.思维升华三角形问题的求解一般是从两个角度,即从“角”或从“边”进行转化突破,实现“边”或“角”的统一,问题便可突破.几种常见变形:(1)a∶b∶c=sinA∶sinB∶sinC;(2)a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC,其中R为△ABC外接圆的半径;(3)sin(A+B)=sinC,cos(A+B)=-cosC.(1)△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,asinAsinB+bcos2A=2a,则ba等于()A.2B.22C.3D.23(2)(2014·江西)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.若c2=(a-b)2+6,C=π3,则△ABC的面积是()A.3B.932C.332D.33答案(1)A(2)C解析(1)因为asinAsinB+bcos2A=2a,由正弦定理得sin2AsinB+sinBcos2A=2sinA,即sinB=2sinA,即sinBsinA=2,ba=sinBsinA=2.(2)∵c2=(a-b)2+6,∴c2=a2+b2-2ab+6.①∵C=π3,∴c2=a2+b2-2abcosπ3=a2+b2-ab.②由①②得ab=6.∴S△ABC=12absinC=12×6×32=332.热点三正、余弦定理的实际应用例3(2013·江苏)如图,游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径.一种是从A沿直线步行到C,另一种是先从A沿索道乘缆车到B,然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处下山,甲沿AC匀速步行,速度为50m/min.在甲出发2min后,乙从A乘缆车到B,在B处停留1min后,再从B匀速步行到C.假设缆车匀速直线运动的速度为130m/min,山路AC长为1260m,经测量cosA=1213,cosC=35.(1)求索道AB的长;(2)问:乙出发多少分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短?(3)为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟,乙步行的速度应控制在什么范围内?思维启迪(1)直接求sinB,利用正弦定理求AB.(2)利用余弦定理和函数思想,将甲乙距离表示为乙出发后时间t的函数.解(1)在△ABC中,因为cosA=1213,cosC=35,所以sinA=513,sinC=45.从而sinB=sin[π-(A+C)]=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=513×35+1213×45=6365.由正弦定理ABsinC=ACsinB,得AB=ACsinB×sinC=12606365×45=1040(m).所以索道AB的长为1040m.(2)假设乙出发t分钟后,甲、乙两游客距离为d,此时,甲行走了(100+50t)m,乙距离A处130tm,所以由余弦定理得d2=(100+50t)2+(130t)2-2×130t×(100+50t)×1213=200(37t2-70t+50),由于0≤t≤1040130,即0≤t≤8,故当t=3537min时,甲、乙两游客距离最短.(3)由正弦定理BCsinA=ACsinB,得BC=ACsinB×sinA=12606365×513=500(m).乙从B出发时,甲已走了50×(2+8+1)=550(m),还需走710m才能到达C.设乙步行的速度为vm/min,由题意得-3≤500v-71050≤3,解得125043≤v≤62514,所以为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3min,乙步行的速度应控制在125043,62514(单位:m/min)范围内.思维升华求解三角形的实际问题,首先要准确理解题意,分清已知与所求,关注应用题中的有关专业名词、术语,如方位角、俯角等;其次根据题意画出其示意图,示意图起着关键的作用;再次将要求解的问题归结到一个或几个三角形中,通过合理运用正、余弦定理等有关知识建立数学模型,从而正确求解,演算过程要简练,计算要准确;最后作答.如图,中国渔民在中国南海黄岩岛附近捕鱼作业,中国海监船在A地侦察发现,在南偏东60°方向的B地,有一艘某国军舰正以每小时13海里的速度向正西方向的C地行驶,企图抓捕正在C地捕鱼的中国渔民.此时,C地位于中国海监船的南偏东45°方向的10海里处,中国海监船以每小时30海里的速度赶往C地救援我国渔民,能不能及时赶到?(2≈1.41,3≈1.73,6≈2.45)解过点A作AD⊥BC,交BC的延长线于点D.因为∠CAD=45°,AC=10海里,所以△ACD是等腰直角三角形.所以AD=CD=22AC=22×10=52(海里).在Rt△ABD中,因为∠DAB=60°,所以BD=AD×tan60°=52×3=56(海里).所以BC=BD-CD=(56-52)(海里).因为中国海监船以每小时30海里的速度航行,某国军舰正以每小时13海里的速度航行,所以中国海监船到达C点所用的时间t1=AC30=1030=13(小时),某国军舰到达C点所用的时间t2=BC13=5×6-213≈5×2.45-1.4113=0.4(小时).因为130.4,所以中国海监船能及时赶到.1.求解恒等变换问题的基本思路一角二名三结构,即用化归转化思想“去异求同”的过程,具体分析如下:(1)首先观察角与角之间的关系,注意角的一些常用变换形式,角的变换是三角函数变换的核心.(2)其次看函数名称之间的关系,通常“切化弦”.(3)再次观察代数式的结构特点.2.解三角形的两个关键点(1)正、余弦定理是实现三角形中边角互化的依据,注意定理的灵活变形,如a=2RsinA,sinA=a2R(其中2R为三角形外接圆的直径),a2+b2-c2=2abcosC等,灵活根据条件求解三角形中的边与角.(2)三角形的有关性质在解三角形问题中起着重要的作用,如利用“三角形的内角和等于π”和诱导公式可得到sin(A+B)=sinC,sinA+B2=cosC2等,利用“大边对大角”可以解决解三角形中的增解问题等.3.利用正弦定理、余弦定理解决实际问题的关键是如何将实际问题转化为数学问题,抽象出三角形模型.真题感悟1.(2013·浙江)已知α∈R,sinα+2cosα=102,则tan2α等于()A.43B.34C.-34D.-43答案C解析∵sinα+2cosα=102,∴sin2α+4sinα·cosα+4cos2α=52.用降幂公式化简得:4sin2α=-3cos2α,∴tan2α=sin2αcos2α=-34.故选C.2.(2014·江苏)
本文标题:高考数学(理科)二轮复习【专题2】三角变换与解三角形(含答案)
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