高考数学一轮复习第12讲等差数列与等比数列

高考数学一轮复习第12讲等差数列与等比数列【复习目标】掌握等差、等比数列的定义及通项公式，前n项和公式以及等差、等比数列的性质，在解决有关等差，等比数列问题时，要注意运用方程的思想和函数思想以及整体的观点，培养分析问题与解决问题的能力。【课前热身】1．如果1a，2a，…，8a为各项都大于零的等差数列，公差0d，则()A．1a8a45aaB．8a1a45aaC．1a+8a4a+5aD．1a8a=45aa2．已知–9,a1,a2,–1这四个数成等差数列,–9,b1,b2,b3,–1这5个数成等比数列,则)(122aab等于（）A．-8B．8C．8或-8D．893．设Sn是等差数列na的前n项和，若5935,95SSaa则（）（福建文）A．1B．－1C．2D．214．已知等差数列na的公差为2,若431,,aaa成等比数列,则2a=（）（浙江文理）A–4B–6C–8D–105.(2005年杭州二模题)已知nmnm,,成等差数列,mnnm,,成等比数列,则椭圆122nymx的准线方程为________.【例题探究】1、已知数列))}1({log*2Nnan为等差数列，且.9,331aa(05湖南)（Ⅰ）求数列}{na的通项公式；（Ⅱ）证明.111112312nnaaaaaa2、设数列.,41,,21,41}{11为奇数为偶数且的首项nanaaaaannnn记.,3,2,1,4112nabnn（Ⅰ）求a2，a3；（Ⅱ）判断数列}{nb是否为等比数列，并证明你的结论；3、某企业进行技术改造，有两种方案，甲方案：一次性贷款10万元，第一年便可获利1万元，以后每年比前一年增加30%的利润；乙方案：每年贷款1万元，第一年可获利1万元，以后每年比前一年增加5千元；两种方案的使用期都是10年，到期一次性归还本息.若银行两种形式的贷款都按年息5%的复利计算，试比较两种方案中，哪种获利更多？（取665.575.1,786.133.1,629.105.1101010）【方法点拨】1．本题的关键在于指数式和对数式的互化在数列中的应用。2．数列通项公式和递推公式经常在已知条件中给出,利用列举、叠加、叠乘等方法求之.求通项公式的方法应掌握.3．例3是比较简单的数列应用问题，由于问题所涉及的数列是熟悉的等比数列与等差数列，因此只建立通项公式并运用所学过的公式求解.冲刺强化训练（12）1．已知等差数列na满足0a101321aaa则有()A.01011aaB.01002aaC.0993aaD.5151a2在正数等比数列中已知493aa则1121222log...loglogaaa（）A．11B．10C．8D．43．设数列na是等差数列，且6,682aa，nS是数列na的前n项和，则（）A．54SSB．54SSC．56SSD．56SS4．在各项都为正数的等比数列}{na中首项31a，前三项和为21，则543aaa()A．33B．72C．84D．1895．设数列na的前n项和为nS（Nn）.关于数列na有下列三个命题：（1）若na既是等差数列又是等比数列，则)(1Nnaann；（2）若RbanbnaSn、2，则na是等差数列；（3）若nnS11，则na是等比数列.这些命题中，真命题的序号是.6、在等差数列}{na中369S，10413S，等比数列}{nb中，55ab，77ab，则6b7．设F是椭圆16722yx的右焦点，且椭圆上至少有21个不同的点Pi（i=1，2，3，…），使|FP1|，|FP2|，|FP3|，…组成公差为d的等差数列，则d的取值范围为（湖南理）8．已知}{na，}{nb都是各项为正数的数列，对任意的正整n,都有12,,nnnaba成等差数列，2112,,nnnbab等比数列。（1）求证：}{nb是等差数列；（2）如果11a，21b，nnnSaaaS求,11121。9．设⊙C1,⊙C2,……,⊙Cn是圆心在抛物线2xy上的一系列圆，它们的圆心的横坐标分别记为na,,,21aa。已知411a，0an21aa。若⊙Ck(k=1,2,3,……,n)都与x轴相切，且顺次两圆外切。（1）求证：}1{na是等差数列（2）求na的表达式；（3）求证：4122221naaa参考答案【课前热身】1．B2，A3，A4，B5、y=±22.解析：由条件易知m=2,n=4.但要注意椭圆焦点所在的坐标轴是y轴.因此准线方程为y=±a2c=±22.【例题探究】1,（I）解：设等差数列)}1({log2na的公差为d.由,8log2log)2(log29,322231daa得即d=1.所以,)1(1)1(log2nnan即.12nna（II）证明因为11111222nnnnnaa，所以nnnaaaaaa2121212111132112312.1211211212121nn2,解：（I）213211,44111.228aaaaaa（II）因为43113428aaa,所以54113.2416aaa所以112335111111110,(),().44424444baabaabaa猜想：{}nb是公比为12的等比数列.证明如下：因为12121414nnnbaa1　　2　　2121*111)24411()241,()2nnnaabnN　　（　　　　所以{}nb是首项为14a,公比为12的等比数列.3，解：甲方案是等比数列，乙方案是等差数列，①甲方案获利：63.423.013.1%)301(%)301(%)301(11092（万元）银行贷款本息：29.16%)51(1010（万元）故甲方案纯利：34.2629.1663.42（万元）②乙方案获利：5.02910110)5.091()5.021()5.01(150.32（万元）；银行本息和：]%)51(%)51(%)51(1[05.19221.1305.0105.105.110（万元）故乙方案纯利：29.1921.1350.32（万元）；综上，甲方案更好.冲刺强化训练(12)1．C2．A3．B4．C5．（1）、（2）、（3）6．解：3699)2(5919aaaS45a10413132713113aaaS87a327575aabb3226b246b点评：此题也可以把1a和d看成两个未知数，通过369S10413S列方程，联立解之d=241a。再求出75aa但计算较繁，运用nnaaa2121计算较为方便。7．101,00,1018．解：（1）证明：2211,,nnnaba成等差数列，21212nnnaab。2112,,nnnbab成等比数列，21221nnnabb，即11nnnbba，211212nnnnnbbbbb，212nnnbbb，}{nb成等差数列。（2）解：.22323,,222122121bbbaaab而2212bbd，)11(11111nnnnnbbdbba，nnaaaS11121)11(11)11(11211nknkkbbdbbd22)1(2121(2211n）12nn9．解：（1）由题意知：⊙nC：22nnnnaxyr，⊙1nC：211nnar),(),,(22111nnnnnnaaCaaC，nnnnrrCC11||，221222121)()(nnnnnnaaaaaa,两边平方，整理得22211111111()4,,2,2,nnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaa}1{na是以411a为首项，公差为2的等差数列（2）由（1）知，221)1(241nanann（3）2222122)111(41)1(141)1(141nnaaannnnnank1111(41kk），41)1(4141)111(41kk