高考数学应用题求解突破

高考数学应用题求解突破自1995年数学应用题进入高考以来，每年不论数学应用题的题目难或易，其得分率都是比较低的。究其原因，一是考生对数学应用题有一种恐惧感；二是考生没有掌握数学应用题求解的一般分析方法；三是考生的应试策略与表述方面还存在一些问题。在高考复习与冲刺阶段如何能在数学应用题方面有所突破呢？下面谈谈我们的看法，供参考。一.突破口之一——学会数学建模分析的步骤高考应用性问题的热门话题是增减比率型和方案优化型，另外，估测计算型和信息迁移型也时有出现.当然，数学高考应用性问题关注当前国内外的政治，经济，文化，紧扣时代的主旋律，凸显了学科综合的特色.求解应用题的一般步骤是：1°审题：抓住问题中关键词，弄清问题的情景和变化过程，使问题数学化。2°建模：注意问题涉及知识点或新概念、新原理，分析数量关系，运用数学符号语言、图象语言，建立问题的数学模型。3°解题：根据数学模型，选择恰当的数学工具与方法，求得未知数或未知关系，获得问题的数学解。4°检验：通过检验选择符合实际的解。5°写答案：写出问题的实际解。二.突破口之二——掌握数学建模分析的具体方法1.关系分析法。即通过寻找关键词和关键量之间的数量关系的方法来建立问题的数学模型的方法。例1．（1996年全国高考题）某地现有耕地10000公顷，规划10年后粮食单产比现有增加22％，人均粮食产量比现在提高10％，如果人口年增长率为1％，那么耕地每年至多只能减少多少公顷（精确到1公顷）？（粮食单产＝总产量耕地面积；人均粮食产量＝总产量总人口数）分析：此题以关系国计民生的耕地、人口、粮食为背景，给出两组数据，要求考生从两条线索抽象数列模型，然后进行比较与决策.解：1.读题：问题涉及耕地面积、粮食单产、人均粮食占有量、总人口数及三个百分率，其中人均粮食占有量P＝粮食单产×耕地面积总人口数，主要关系是：P实际≥P规划.2.建模：设耕地面积平均每年至多减少x公顷，现在粮食单产为a吨／公顷，现在人口数为m，则现在占有量为am×104，10年后粮食单产为a(1＋0.22)，人口数为m(1＋0.01)10，耕地面积为（104－10x）.∴axm(.)()(.)102210101001410≥am×104（1＋0.1）即1.22（104－10x）≥1.1×104×（1＋0.01）103.求解：x≤103－11122..×103×（1＋0.01）10∵（1＋0.01）10＝1＋C101×0.01＋C102×0.012＋C103×0.013＋…≈1.1046∴x≤103－995.9≈4（公顷）4.评价：答案x≤4公顷符合控制耕地减少的国情，又验算无误，故可作答.（答略）另解：1.读题：粮食总产量＝单产×耕地面积；粮食总占有量＝人均占有量×总人口数；而主要关系是：粮食总产量≥粮食总占有量2.建模：设耕地面积平均每年至多减少x公顷，现在粮食单产为a吨／公顷，现在人口数为m，则现在占有量为am×104，10年后粮食单产为a(1＋0.22)，人口数为m(1＋0.01)10，耕地面积为（104－10x）.∴a(1＋0.22)×(1O4－10x)≥am×104×(1＋0.1)×m(1＋0.01)103.求解：x≤103－11122..×103×（1＋0.01）10∵（1＋0.01）10＝1＋C101×0.01＋C102×0.012＋C103×0.013＋…≈1.1046∴x≤103－995.9≈4（公顷）4.评价：答案x≤4公顷符合控制耕地减少的国情，又验算无误，故可作答.（答略）说明：本题主要是抓住各量之间的关系，注重3个百分率.其中耕地面积为等差数列，总人口数为等比数列模型，问题用不等式模型求解.本题两种解法，虽都是建立不等式模型，但建立时所用的意义不同，这要求灵活掌握，还要求对指数函数、不等式、增长率、二项式定理应用于近似计算等知识熟练.此种解法可以解决有关统筹安排、最佳决策、最优化等问题.此种题型属于不等式模型，也可以把它作为数列模型，相比之下，主要求解过程是建立不等式模型后解出不等式.在解答应用问题时，我们强调“评价”这一步不可少！它是解题者的自我调节，比如本题求解过程中若令1.0110≈1，算得结果为x≤98公顷，自然会问：耕地减少这么多，符合国家保持耕地的政策吗？于是进行调控，检查发现是错在1.0110的近似计算上.2．作图分析法。即通过作图的方式探索问题的数学模型的方法。例2．在一很大的湖岸边（可视湖岸为直线）停放着一只小船，由于缆绳突然断开，小船被风刮跑，其方向与湖岸成15°角，速度为2.5km/h，同时岸边有一人，从同一地点开始追赶小船，已知他在岸上跑的速度为4km/h，在水中游的速度为2km/h.，问此人能否追上小船.若小船速度改变，则小船能被人追上的最大速度是多少？读懂题目：由于人在水中游的速度小于船的速度，人只有先沿湖岸跑一段路后再游水追赶，当人沿岸跑的轨迹和人游水的轨迹以及船在水中漂流的轨迹组成一个封闭的三角形时，人才能追上小船.建立数学模型：解:不妨画一个图形，将文字语言翻译为图形语言，进而想法建立数学模型.设船速为v，显然hkmv/4时人是不可能追上小船，当20vkm/h时，人不必在岸上跑，而只要立即从同一地点直接下水就可以追上小船，因此只要考虑42v的情况，由于人在水中游的速度小于船的速度，人只有先沿湖岸跑一段路后再游水追赶，当人沿岸跑的轨迹和人游水的轨迹以及船在水中漂流的轨迹组成一个封闭的三角形时，人才能追上小船.设船速为v，人追上船所用时间为t，人在岸上跑的时间为)10(kkt，则人在水中游的时间为tk)1(，人要追上小船，则人船运动的路线满足如图所示的三角形.,||,)1(2||,4||vtOBtkABktOA由余弦是理得15cos||||2||||||222OBOAOBOAAB即4264.2)()4()1(42222vtktvtkttk整理得04]8)26(2[1222vkvk.要使上式在（0，1）范围内有实数解，则有112402v且0)4(124]8)26(2[22vv解得hkmvv/22,222max即.故当船速在]22,2(内时，人船运动路线可物成三角形，即人能追上小船，船能使人追上的最大速度为hkm/22，由此可见当船速为2.5km/h时，人可以追上小船.3.图像分析法。即通过对图像中的数量关系进行分析来建立问题数学模型的方法。例3.（西红柿种植与销售问题）某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图1的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图2的抛物线段表示，（1）写出图1表示的市场售价与时间的函数关系式Pft()；OABvt2(1－k)t4kt15°P300200图10100200300t写出图2表示的种植成本与时间的函数关系Qgt()；Q30025020015010050050100150200250300t图2（2）认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大？（注：市场售价和种植成本的单位：元/102kg，时间单位：天）读懂题目：（1）观察图像求出市场售价函数Pft()和种植成本函数Qgt()；（2）由“市场售价减去种植成本为纯收益”建立纯收益函数htftgt()()()解题思路：（1）由图1可得市场售价与时间的函数关系为fttttt()30002002300200300由图2可得种植成本与时间的函数关系为gttt()()/15020010003002（2）解略。4.图表分析法。即通过对图表中给出的数量关系进行分析处理来建立问题数学模型的方法。例4．已知某海滨浴场的海浪高度y（米）是时间t(0≤t≤24，单位小时）的函数，记作y=f(t)，下表是某日各时的浪高数据t（时）03691215182124y（米）1.51.00.51.01.4910.510.991.5经长期观测y=f(t)的曲线可近似地看成函数y=Acosωt+b.（1）根据以上数据，求出函数y=Acosωt+b的最小正周期T，振幅A及函数表达式；（2）依据规定，当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据（1）的结论，判断一天内的上午8：00至晚上20：00之间，有多少时间可供冲浪者进行运动.读懂题目：（1）观察图表中给出的数据结合函数y=Acosωt+b的类型需对表中的数据进行适当处理。1.491.5,0.510.5,0.991。（2）理解“当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放”建立不等式。解：（1）由表中数据，知T=12，ω=62T.由t=0,y=1.5得A+b=1.5.由t=3,y=1.0,得b=1.0.所以，A=0.5,b=1.振幅A=21，∴y=16cos21t(2)由题意知，当y1时，才可对冲浪者开放.∴16cos21t1,t6cos0.∴2kπ–2262kt,即有12k–3t13k+3.由0≤t≤24,故可令k=0,1,2,得0≤t3或9t15或21t≤24.∴在规定时间内有6个小时可供冲浪者运动即上午9：00至下午15：00.三.突破口之三——注意语言表达的完整性数学应用题的求解不同于一般的数学运算题，有人比喻它是数学中的小作文，因此解数学应用题要做到“有头有尾”，把问题中的普通语言转化为数学语言，引入变量与字母，画出图形，将数学建模的过程详细地写出来，建立数学模型后，要准确地求解，并注意计量单位的一致，最后对于所得数据不仅要思考或检验是否与实际吻合，而且要给出完整的答案。从上述实际问题可见实际应用问题的特征是：实际问题的情景比较复杂，文字说明较长，信息量大，，要从中抓住关键词，转化为数学问题（既数学化）的思维量较大、较难。问题涉及的知识点比较广泛，大多隐含在文字说明当中，其中的数量关系常寓于常识之中，或数学、物理、其它知识之中，有时也可能在题中给出的概念（新的定义）或原理之中。问题涉及的数学模型有些是数学中常用的，有些是随题目内涵而变独立建立的。针对上述特点，解题思路是：由此可见要提高解决实际问题的能力，应在数学知识、数学语言的理解上下功夫，注意数学语言形态（自然语言、符号语言、图象语言）的相互转化的训练。还应加强生活、生产、社会实际的了解，提高阅读理解的能力，善于把实际问题数学化。不断强化这方面的思维训练，才能有助于提高建模与解决实际的能力．