高考数学总复习经典测试题解析版2.4二次函数与幂函数

2.4二次函数与幂函数一、选择题1.已知幂函数f(x)＝xα的部分对应值如下表：则不等式f(|x|)≤2的解集是()．x112f(x)122A．{x|－4≤x≤4}B．{x|0≤x≤4}C．{x|－2≤x≤2}D．{x|0＜x≤2}解析由题表知22＝12α，∴α＝12，∴f(x)＝x12.∴(|x|)12≤2，即|x|≤4，故－4≤x≤4.答案A2．已知幂函数y＝f(x)的图像经过点4，12，则f(2)＝()A.14B．4C.22D.2解析：设f(x)＝xα，因为图像过点4，12，代入解析式得：α＝－12，∴f(2)＝2－12＝22.答案：C3．若函数f(x)是幂函数，且满足ff＝3，则f(12)的值为()A．－3B．－13C．3D.13解析：设f(x)＝xα，则由ff＝3，得4α2α＝3.∴2α＝3，∴f(12)＝(12)α＝12α＝13.答案：D4．若x≥0，y≥0，且x＋2y＝1，那么2x＋3y2的最小值为()．A．2B.34C.23D．0解析由x≥0，y≥0x＝1－2y≥0知0≤y≤12t＝2x＋3y2＝2－4y＋3y2＝3y－232＋23在0，12上递减，当y＝12时，t取到最小值，tmin＝34.答案B5．已知函数f(x)＝x2＋bx＋c且f(1＋x)＝f(－x)，则下列不等式中成立的是()A．f(－2)＜f(0)＜f(2)B．f(0)＜f(－2)＜f(2)C．f(0)＜f(2)＜f(－2)D．f(2)＜f(0)＜f(－2)解析：∵f(1＋x)＝f(－x)，∴(x＋1)2＋b(x＋1)＋c＝x2－bx＋c.∴x2＋(2＋b)x＋1＋b＋c＝x2－bx＋c.∴2＋b＝－b，即b＝－1.∴f(x)＝x2－x＋c，其图象的对称轴为x＝12.∴f(0)＜f(2)＜f(－2)．答案：C6．设y1＝0.413，y2＝0.513，y3＝0.514，则()．A．y3＜y2＜y1B．y1＜y2＜y3C．y2＜y3＜y1D．y1＜y3＜y2解析据y＝x13在R上为增函数可得y1＝0.413＜y2＝0.513，又由指数函数y＝0.5x为减函数可得y2＝0.513＜y3＝0.514，故y1＜y2＜y3.答案B7.函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象关于直线x＝－b2a对称．据此可推测，对任意的非零实数a，b，c，m，n，p，关于x的方程m[f(x)]2＋nf(x)＋p＝0的解集都不可能是()．A．{1,2}B．{1,4}C．{1,2,3,4}D．{1,4,16,64}解析设关于f(x)的方程m[f(x)]2＋nf(x)＋p＝0有两根，即f(x)＝t1或f(x)＝t2.而f(x)＝ax2＋bx＋c的图象关于x＝－b2a对称，因而f(x)＝t1或f(x)＝t2的两根也关于x＝－b2a对称．而选项D中4＋162≠1＋642.答案D二、填空题8．对于函数y＝x2，y＝x12有下列说法：①两个函数都是幂函数；②两个函数在第一象限内都单调递增；③它们的图像关于直线y＝x对称；④两个函数都是偶函数；⑤两个函数都经过点(0,0)、(1,1)；⑥两个函数的图像都是抛物线型．其中正确的有________．解析：从两个函数的定义域、奇偶性、单调性等性质去进行比较．答案：①②⑤⑥9．若函数y＝mx2＋x＋5在[－2，＋∞)上是增函数，则m的取值范围是________．解析由已知条件当m＝0，或m0－12m≤－2时，函数y＝mx2＋x＋5在[－2，＋∞)上是增函数，解得0≤m≤14.答案0，1410．已知(0.71.3)m(1.30.7)m，则实数m的取值范围是________．解析：∵00.71.30.70＝1,1.30.71.30＝1，∴0.71.31.30.7.而(0.71.3)m(1.30.7)m，∴幂函数y＝xm在(0，＋∞)上单调递增，故m0.答案：(0，＋∞)11．方程x2－mx＋1＝0的两根为α、β，且α＞0,1＜β＜2，则实数m的取值范围是________．解析∵α＋β＝m，α·β＝1，∴m＝β＋1β.∵β∈(1,2)且函数m＝β＋1β在(1,2)上是增函数，∴1＋1＜m＜2＋12，即m∈2，52.答案2，5212．若方程x2＋(k－2)x＋2k－1＝0的两根中，一根在0和1之间，另一根在1和2之间，则实数k的取值范围是________．解析：设f(x)＝x2＋(k－2)x＋2k－1，由题意知f，f，f，即2k－10，3k－20，4k－10，解得12k23.答案：(12，23)三、解答题13．已知二次函数f(x)的图像过点A(－1,0)、B(3,0)、C(1，－8)．(1)求f(x)的解析式；(2)求f(x)在x∈[0,3]上的最值；(3)求不等式f(x)≥0的解集．解析：(1)由题意可设f(x)＝a(x＋1)(x－3)，将C(1，－8)代入得－8＝a(1＋1)(1－3)，∴a＝2.即f(x)＝2(x＋1)(x－3)＝2x2－4x－6.(2)f(x)＝2(x－1)2－8当x∈[0,3]时，由二次函数图像知f(x)min＝f(1)＝－8，f(x)max＝f(3)＝0.(3)f(x)≥0的解集为{x|x≤－1或x≥3}．14．已知函数f(x)＝2x－xm且f(4)＝－72，(1)求m的值；(2)求f(x)的单调区间．解析：(1)f(4)＝24－4m＝－72，∴4m＝4.∴m＝1.故f(x)＝2x－x.(2)由(1)知，f(x)＝2·x－1－x，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，且为奇函数，又y＝x－1，y＝－x均为减函数，故在(－∞，0)，(0，＋∞)上f(x)均为减函数．∴f(x)的单调减区间为(－∞，0)，(0，＋∞)．15．已知函数f(x)＝x2＋2ax＋3，x∈[－4,6]．(1)当a＝－2时，求f(x)的最值；(2)求实数a的取值范围，使y＝f(x)在区间[－4,6]上是单调函数；(3)[理]当a＝1时，求f(|x|)的单调区间．解析：(1)当a＝－2时，f(x)＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，由于x∈[－4,6]，∴f(x)在[－4,2]上单调递减，在[2,6]上单调递增，∴f(x)的最小值是f(2)＝－1，又f(－4)＝35，f(6)＝15，故f(x)的最大值是35.(2)由于函数f(x)的图像开口向上，对称轴是x＝－a，所以要使f(x)在[－4,6]上是单调函数，应有－a≤－4或－a≥6，即a≤－6或a≥4.(3)当a＝1时，f(x)＝x2＋2x＋3，∴f(|x|)＝x2＋2|x|＋3，此时定义域为x∈[－6,6]，且f(x)＝x2＋2x＋3，x∈，6]x2－2x＋3，x∈[－6，0]，∴f(|x|)的单调递增区间是(0,6]，单调递减区间是[－6,0]．16．设函数f(x)＝ax2－2x＋2，对于满足1x4的一切x值都有f(x)0，求实数a的取值范围．解析不等式ax2－2x＋20等价于a2x－2x2，设g(x)＝2x－2x2，x∈(1,4)，则g′(x)＝2x2－x－xx4＝－2x2＋4xx4＝－2xx－x4，当1x2时，g′(x)0，当2x4时，g′(x)0，g(x)≤g(2)＝12，由已知条件a12，因此实数a的取值范围是12，＋∞.