高考数学简易逻辑

第2课时简易逻辑------逻辑联结词和四种命题1.命题：可以判断真假的语句。知识点归纳：2.逻辑联接词：“或”、“且”、“非”3.简单命题：不含逻辑联结词的命题。4.复合命题：由简单命题和逻辑联结词构成的命题。5.三种形式：p或q、p且q、非p6.真假判断：p或q，同假为假，否则为真；p且q，同真为真，否则为假；非p，真假相反7.四种命题：原命题：若p则q；逆命题：若q则p；否命题：若┓p则┓q；逆否命题：若┓q则┓p互为逆否的两个命题是等价的8.反证法步骤：假设结论不成立=矛盾=假设不成立9.充要条件：条件p成立=结论q成立，则称条件p是结论q的充分条件；结论q成立=条件p成立，则称条件p是结论q的必要条件；条件p成立结论q成立，则称条件p是结论q的充要条件。例1.分别写出由下列命题构成的“p或q”、“p且q”、“┓p”形成的复合命题。（1）p：是无理数，q：是实数。（2）p：5是15的约数，q：5是20的约数。解：（1）p或q：是无理数或实数。p且q：是无理数且为实数。┓p：不是无理数（2）p或q：5是15或20的约数。p且q：5是15也是20的约数。┓p：5不是15的约数。例2.指出下列复合命题的形式及构成。（1）若α是一个三角形的最小内角，则α不大于60O（2）一个内角为90o，另一个内角为45o的三角形是等腰直角三角形。（3）有一个内角为60o的三角形是正三角形或直角三角形。解：（1）是非p形式的复合命题，其中p：若α是一个三角形的最小内角，则α60o.（2）是p且q形式的复合命题，其中p：一个内角为90o，另一个内角是45o的三角形是等腰三角形；q：一个内角为90o，另一个内角是45o的三角形是直角三角形.例2.指出下列复合命题的形式及构成。（1）若α是一个三角形的最小内角，则α不大于60O（2）一个内角为90o，另一个内角为45o的三角形是等腰直角三角形。（3）有一个内角为60o的三角形是正三角形或直角三角形。（3）是p或q形式的复合命题，其中p：有一个内角为60o的三角形是正三角形；q：有一个内角为60o的三角形是直角三角形.例3.写出命题“当abc=0时，a=0或b=0或c=0”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假。分析：把原命题改写成“若p则q”的形式，再分别写出其相应的逆命题、否命题、逆否命题。解：原命题：若abc=0,则a=0或b=0或c=0，是真命题.逆命题：若a=0或b=0或c=0，则abc=0,则，是真命题.否命题：若abc≠0，则a≠0且b≠0且c≠0，是真命题.逆否命题：若a≠0且b≠0且c≠0，则abc≠0，是真命题.例4.用反证法证明：如果ab0，那么证明：假设，或，分析：注意反设时两种情况。由于ab0，则由，有①②①、②均与ab0矛盾，∴例5.设集合M={x|x2},P={x|x3},那么“x∈M或x∈P”是“x∈M∩P”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解：“x∈M或x∈P”即“x∈M∪P={x|x2}∪{x|x3}=R”“x∈M∩P”即“x∈{x|2x3}”显然“x∈M∪P”=x∈M∩P所以选B例6.下列各小题中，p是q的什么条件、（1）p：a、b是整数，q：x2+ax+b=0有且仅有整数解。（2）p：a+b=1，q：a3+b3+ab-a2-b2=0解：（1）必要条件∵q=p成立，而p=q不成立设的解是x1、x2，由x1、x2是整数，x1+x2=-a,x1x2=b得a、b是整数（2）充分条件即而q=p不成立例7.如果x、y是实数，那么“xy0”是“|x+y|=|x|+|y|”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解：∵xy0∴x、y同正或同负∴xy0但反之不能推出，如当x=0，y=2时，有成立，却没有xy0成立，所以选A例8.ax2+2x+1=0至少有一个负的实根的充要条件是（）A.0a≤1B.a1C.a≤1D.0a≤1或a0解一：当a=0时，原方程变形为一元一次方程2x+1=0,有一个负的实根；当a≠0时，原方程为一元二次方程，有实根的充要条件是即a≤1设两根为x1、x2，则有一负实根有两个负实根综上，a≤1解二：排除法当a=0时，原方程有一个负的实根，可排出A、D例8.ax2+2x+1=0至少有一个负的实根的充要条件是（）A.0a≤1B.a1C.a≤1D.0a≤1或a0当a=1时，原方程有两个相等的负实根，可排出B所以选C例9.在△ABC中，“AB”是“sinAsinB”的什么条件？解：在△ABC中a、b分别是角A、B的对边，R是△ABC外接圆的半径，一方面，因为AB,所以ab，即2RsinA2RsinB亦即sinAsinB,从而△ABC中“AB”=sinAsinB另一方面，因为sinAsinB,所以2RsinA2RsinB,即ab，得AB从而△ABC中sinAsinB=AB故△ABC中，“AB”是“sinAsinB”的充要条件例10.求证:关于x的方程ax2+bx+c=0有一个根为-1的充要条件是a-b+c=0.分析:证充分性就是证由a-b+c=0=ax2+bx+c=0有一个根为-1,证必要性就是证由ax2+bx+c=0有一个根为-1=a-b+c=0证明:先证充分性若a-b+c=0,此时把x=-1代入所给方程的左边得a·(-1)2+b·(-1)+c=a-b+c=0所以x=-1是方程ax2+bx+c=0的根再证必要性若x=-1方程ax2+bx+c=0的根，则a·(-1)2+b·(-1)+c=0，即a-b+c=0综上可知：a-b+c=0是方程ax2+bx+c=0有一个根为-1的充要条件。【解题回顾】充要条件的证明一般分两步：证充分性即证A=B，证必要性即证B=A，一定要使题目与证明中的叙述一致