高考数学第九章平面解析几何第2课时直线的方程

第九章平面解析几何第2课时直线的方程考情分析考点新知掌握直线方程的几种形式(点斜式、斜截式、两点式、截距式及一般式)的特点与适用范围；能根据问题的具体条件选择恰当的形式求直线的方程；了解直线方程的斜截式与一次函数的关系．①在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素.②掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系.1.把直线方程Ax＋By＋C＝0(ABC≠0)化成斜截式为________________，化成截距式为________________．答案：y＝－ABx－CBx－CA＋y－CB＝1解析：因为ABC≠0，即A≠0，B≠0，C≠0，按斜截式、截距式的形式要求变形即可．斜截式为y＝－ABx－CB，截距式为x－CA＋y－CB＝1.2.(必修2P88习题13改编)过点(3，6)作直线l，使l在x轴，y轴上截距相等，则满足条件的直线方程为__．答案：x＋y－9＝0，y＝2x解析：设该直线方程为xa＋ya＝1(a≠0)，则3a＋6b＝1，所以a＝9，则该直线方程为x＋y－9＝0；又若过原点，则该直线方程为y＝2x.3.下列四个命题：①过点P(1，－2)的直线可设为y＋2＝k(x－1)；②若直线在两轴上的截距相等，则其方程可设为xa＋ya＝1(a≠0)；③经过两点P(a，2)，Q(b，1)的直线的斜率k＝1a－b；④如果AC0，BC0，那么直线Ax＋By＋C＝0不通过第二象限．其中正确的是_____________．(填序号)答案：④4.(必修2P82第1题改编)已知直线l过点P(－2，5)，且斜率为－34，则直线l的方程为________．答案：3x＋4y－14＝0解析：由y－5＝－34(x＋2)，得3x＋4y－14＝0.5.经过两点(－1，8)和(4，－2)的直线的两点式方程是____________________，截距式方程是__________________，一般式方程是____________________．答案：y－8－2－8＝x－（－1）4－（－1）x3＋y6＝12x＋y－6＝01.直线方程的五种形式名称方程适用范围点斜式不含直线x＝x0斜截式y－y0＝k(x－x0)不含垂直于x轴的直线两点式y－y1y2－y1＝x－x1x2－x1不含直线x＝x1(x1≠x2)和直线y＝y1(y1≠y2)截距式xa＋yb＝1不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)平面直角坐标系内的直线都适用2.过P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线方程(1)若x1＝x2，且y1≠y2时，直线垂直于x轴，方程为x＝x1．(2)若x1≠x2，且y1＝y2时，直线垂直于y轴，方程为y＝y1．(3)若x1＝x2＝0，且y1≠y2时，直线即为y轴，方程为x＝0．(4)若x1≠x2，且y1＝y2＝0时，直线即为x轴，方程为y＝0．3.线段的中点坐标公式若点P1，P2的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，且线段P1P2的中点M的坐标为(x，y)，则x＝x1＋x22，y＝y1＋y22，此公式为线段P1P2的中点坐标公式.题型1直线方程例1求经过点A(2，m)和B(n，3)的直线方程．解：(解法1)利用直线的两点式方程．直线过点A(2，m)和B(n，3)．①当m＝3时，点A的坐标是A(2，3)，与点B(n，3)的纵坐标相等，则直线AB的方程是y＝3.②当n＝2时，点B的坐标是B(2，3)，与点A(2，m)的横坐标相等，则直线AB的方程是x＝2.③当m≠3，n≠2时，由直线的两点式方程y－y1y2－y1＝x－x1x2－x1得y－m3－m＝x－2n－2.(解法2)利用直线的点斜式方程．①当n＝2时，点A、B的横坐标相同，直线AB垂直于x轴，则直线AB的方程为x＝2.②当n≠2时，过点A，B的直线的斜率是k＝3－mn－2.又∵过点A(2，m)，∴由直线的点斜式方程y－y1＝k(x－x1)，得过点A，B的直线的方程是y－m＝3－mn－2(x－2)．变式训练过点P(1，4)引一条直线，使它在两条坐标轴上的截距为正值，且它们的和最小，求这条直线的方程．解：(解法1)设所求的直线方程为y－4＝k(x－1)．显见，上述直线在x轴、y轴上的截距分别为1－4k、4－k.由于1－4k0且4－k0可得，k0.直线在两坐标轴上的截距之和为S＝1－4k＋(4－k)＝5＋(－k)＋－4k≥5＋4＝9，当且仅当－k＝－4k，即k＝－2时，S有最小值9.故所求直线方程为y－4＝－2(x－1)，即2x＋y－6＝0.(解法2)设所求的直线方程为xa＋yb＝1(a0，b0)．据题设有1a＋4b＝1，①令S＝a＋b.②①×②，有S＝(a＋b)1a＋4b＝5＋ba＋4ab≥5＋4＝9.当且仅当ba＝4ab时，即2a＝b，且1a＋4b＝1，也即a＝3，b＝6时，取等号．故所求的直线方程为x3＋y6＝1，即2x＋y－6＝0.例2求过点A(5，2)，且在坐标轴上截距互为相反数的直线l的方程．解：①截距不为0时，设直线l的方程为xa＋y－a＝1.∵l过A(5，2)，∴5a＋2－a＝1.∴a＝3.∴l的方程为x－y－3＝0.②截距为0时，l的方程为2x－5y＝0.综上①②可得直线l的方程是x－y－3＝0或2x－5y＝0.备选变式（教师专享）直线l经过点(3，2)，且在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程．解：解法1：(借助点斜式求解)由于直线l在两轴上有截距，因此直线不与x、y轴垂直，斜率存在，且k≠0.设直线方程为y－2＝k(x－3)，令x＝0，则y＝－3k＋2；令y＝0，则x＝3－2k.由题设可得－3k＋2＝3－2k，解得k＝－1或k＝23.故l的方程为y－2＝－(x－3)或y－2＝23(x－3)．即直线l的方程为x＋y－5＝0或2x－3y＝0.解法2：(利用截距式求解)由题设，设直线l在x、y轴的截距均为a.若a＝0，则l过点(0，0)．又过点(3，2)，∴l的方程为y＝23x，即l：2x－3y＝0.若a≠0，则设l为xa＋ya＝1.由l过点(3，2)，知3a＋2a＝1，故a＝5.∴l的方程为x＋y－5＝0.综上可知，直线l的方程为2x－3y＝0或x＋y－5＝0.题型2直线方程的形式例3求经过点A(－2，2)且在第二象限与两个坐标轴围成的三角形面积最小时的直线的方程．解：(解法1)设所求直线方程为xa＋yb＝1(a0，b0)，∵－2a＋2b＝1，∴a＝2b2－b.又a0，∴b2.S△＝－12ab＝－b2·2b2－b＝b2b－2＝(b＋2)＋4b－2＝（b－2）＋4b－2＋4≥2（b－2）·4b－2＋4＝8.当且仅当b－2＝4b－2，即b＝4时S最小．此时a＝－4，b＝4，故x－y＋4＝0为所求直线方程．(解法2)设所求直线方程为y－2＝k(x＋2)，显然k0，由题意，S△＝12|2k＋2|·－2k－2＝4＋2(k＋1k)≥8.当且仅当k＝1时取等号，故x－y＋4＝0为所求直线方程．备选变式（教师专享）直线l过点M(2，1)，且分别交x轴、y轴的正半轴于点A、B.点O是坐标原点．(1)当△ABO的面积最小时，求直线l的方程；(2)当||MA||MB最小时，求直线l的方程．解：(1)如图，设||OA＝a，||OB＝b，△ABO的面积为S，则S＝12ab，并且直线l的截距式方程是xa＋yb＝1，由直线通过点(2，1)，得2a＋1b＝1，所以a2＝11－1b＝bb－1.因为A点和B点在x轴、y轴的正半轴上，所以上式右端的分母b－10.由此得S＝a2×b＝bb－1×b＝b2－1＋1b－1＝b＋1＋1b－1＝b－1＋1b－1＋2≥2＋2＝4.当且仅当b－1＝1b－1，即b＝2时，面积S取最小值4，这时a＝4，直线的方程为x4＋y2＝1.即直线l的方程为x＋2y－4＝0.(2)如上图，设∠BAO＝θ，则||MA＝1sinθ，||MB＝2cosθ，所以||MA||MB＝1sinθ·2cosθ＝4sin2θ，当θ＝45°时，||MA||MB有最小值4，此时直线斜率为－1，∴直线l的方程为x＋y－3＝0.题型3待定系数法求直线方程例4过点M(0，1)作一条直线，使它被两条直线l1：x－3y＋10＝0，l2：2x＋y－8＝0所截得的线段恰好被M点平分．求此直线方程．解：(解法1)由于过点M(0，1)且与x轴垂直的直线显然不合题意，故可设所求直线方程为y＝kx＋1，与已知两条直线l1、l2分别交于A、B两点，联立方程组y＝kx＋1，x－3y＋10＝0xA＝73k－1，y＝kx＋1，2x＋y－8＝0xB＝7k＋2.∵点M平分线段AB，∴xA＋xB＝2xM，即有73k－1＋7k＋2＝0，解得k＝－14.故所求的直线方程为x＋4y－4＝0.(解法2)设所求的直线与已知两条直线l1、l2分别交于A、B两点，∵点B在直线l2：2x＋y－8＝0上，∴设B(t，8－2t)，由于M(0，1)是线段AB的中点，∴根据中点坐标公式得A(－t，2t－6)，而A点在直线l1：x－3y＋10＝0上，∴(－t)－3(2t－6)＋10＝0，解之得t＝4，∴B(4，0)．故所求直线方程为x＋4y－4＝0.备选变式（教师专享）已知直线l：()2＋mx＋()1－2my＋4－3m＝0.(1)求证：不论m为何实数，直线l恒过一定点M；(2)过定点M作一条直线l1，使夹在两坐标轴之间的线段被M点平分，求直线l1的方程．(1)证明：∵m()x－2y－3＋2x＋y＋4＝0，∴由题意得x－2y－3＝0，2x＋y＋4＝0，∴直线l恒过定点M()－1，－2.(2)解：设所求直线l1的方程为y＋2＝k(x＋1)，直线l1与x轴、y轴交于A、B两点，则A2k－1，0，B(0，k－2)．∵AB的中点为M，∴－2＝2k－1，－4＝k－2，解得k＝－2.∴所求直线l1的方程为2x＋y＋4＝0.1.已知直线的点斜式方程为y－1＝－34(x－2)，则该直线另外三种特殊形式的方程为______________，______________，______________．答案：y＝－34x＋52y－132＝x－2－2x103＋y52＝1解析：将y－1＝－34(x－2)移项、展开括号后合并，即得斜截式方程y＝－34x＋52.因为点(2，1)、0，52均满足方程y－1＝－34(x－2)，故它们为直线上的两点．由两点式方程得y－152－1＝x－20－2，即y－132＝x－2－2.由y＝－34x＋52知，直线在y轴上的截距b＝52，又令y＝0，得x＝103.故直线的截距式方程为x103＋y52＝1.2.将直线y＝3x绕原点逆时针旋转90°，再向右平移1个单位，所得到的直线方程为________________________________________________________________________．答案：y＝－13x＋13解析：将直线y＝3x绕原点逆时针旋转90°得到直线y＝－13x，再向右平移1个单位，所得到的直线方程为y＝－13(x－1)，即y＝－13x＋13.3.直线l经过点P(－5，－4)，且与两坐标轴围成的三角形面积为5，则直线l的方程为________．答案：8x－5y＋20＝0或2x－5y－10＝0解析：设所求直线l的方程为xa＋yb＝1，∵直线l过点P(－5，－4)，∴－5a＋－4b＝1，即4a＋5b＝－ab.又由已知有12|a||b|＝5，即|ab|＝10，解方程组4a＋5b＝－ab，|ab|＝10，得a＝－52，b＝4或a＝5，b＝－2.故所求直线l的方程为x－52＋y4＝1或x5＋y－2＝1.即8x－5y＋20＝0或2x－5y－10＝0.4.若点P(1，1)为圆(x－3)2＋y2＝9的弦MN的中点，则弦MN所在直线的方程为________．答