高考数学第九章平面解析几何第3课时直线与直线的位置

平面解析几何第3课时直线与直线的位置关系对应学生用书（文）116～118页（理）121～123页考情分析考点新知能熟练掌握两条直线平行和垂直的条件并灵活运用，把研究两条直线的平行或垂直问题，转化为研究两条直线斜率的关系问题；能判断两直线是否相交并求出交点坐标，体会两直线相交与二元一次方程组的关系；理解两点间距离公式的推导，并能应用两点间距离公式证明几何问题；点到直线距离公式的理解与应用．①能根据两条直线的斜率判断这两条直线平行或垂直.②能用解方程组的方法求两直线的交点坐标.③掌握两点间的距离公式，点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离.1.(必修2P104例2改编)两平行直线x＋3y－4＝0与2x＋6y－9＝0的距离为________．答案：1020解析：在直线x＋3y－4＝0上取点P(4，0)，则点P(4，0)到直线2x＋6y－9＝0的距离d即为两平行直线之间的距离．d＝|2×4＋6×0－9|22＋62＝140＝1020.2.(必修2P93习题7改编)已知直线x＋ay＝2a＋2与直线ax＋y＝a＋1平行，则实数a的值为________．答案：1解析：由平行直线斜率相等得1a＝a，解得，a＝±1，由于当a＝－1时两直线重合，∴a＝1.3.(必修2P93习题16改编)直线l经过点(3，0)，且与直线l′：x＋3y－2＝0垂直，则l的方程是______________．答案：3x－y－9＝0解析：直线l′：x＋3y－2＝0的斜率为k′＝－13，由题意，得k′k＝－13k＝－1，则k＝3.所以l的方程为y＝3(x－3)，即3x－y－9＝0.4.(必修2P96习题5改编)若直线l经过直线2x－y＋3＝0和3x－y＋2＝0的交点，且垂直于直线y＝2x－1，则直线l的方程为______________．答案：x＋2y－11＝0解析：由2x－y＋3＝0，3x－y＋2＝0，得x＝1，y＝5，即交点(1，5)，直线y＝2x－1的斜率为k＝2，与其垂直的直线斜率为－1k＝－12，所以所求直线方程为y－5＝－12(x－1)，即x＋2y－11＝0.5.(必修2P106习题18改编)已知直线l：y＝3x＋3，那么直线x－y－2＝0关于直线l对称的直线方程为____________．答案：7x＋y＋22＝0解析：由x－y－2＝0，3x－y＋3＝0，得交点坐标P－52，－92.又直线x－y－2＝0上的点Q(2，0)关于直线l的对称点为Q′－175，95，故所求直线(即PQ′)的方程为y＋92－95－92＝x＋52175－52，即7x＋y＋22＝0.1.两条直线的位置关系斜截式一般式方程y＝k1x＋b1y＝k2x＋b2A1x＋B1y＋C1＝0(A21＋B21≠0)A2x＋B2y＋C2＝0(A22＋B22≠0)相交k1≠k2A1B2－A2B1≠0(A2B2≠0时，A1A2≠B1B2)垂直k1＝－1k2或k1k2＝－1A1A2＋B1B＝0(当B1B2≠0时，A1B1·A2B2＝－1)平行k1＝k2且b1≠b2A1B2－A2B1＝0B2C1－B1C2≠0或A1B2－A2B1＝0A2C1－A1C2≠0(当A2B2C2≠0，记为A1B1＝A2B2≠C1C2)重合k1＝k2且b1＝b2A1＝λA2，B1＝λB2，C1＝λC2(λ≠0)(当A2B2C2≠0，记为A1B1＝A2B2＝C1C2)2.两条直线的交点设两条直线的方程是l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，两条直线的交点坐标就是方程组A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0的解，若方程组有唯一解，则两条直线相交，此解就是交点坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；反之，亦成立．3.几种距离(1)两点间的距离平面上的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)间的距离公式：d(A，B)＝AB＝（x1－x2）2＋（y1－y2）2.(2)点到直线的距离点P(x1，y1)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝|Ax1＋By1＋C|A2＋B2.(3)两条平行线间的距离两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝|C1－C2|A2＋B2.[备课札记]题型1两直线的平行与垂直例1两条直线l1：(m＋3)x＋2y＝5－3m，l2：4x＋(5＋m)y＝16，分别求满足下列条件的m的值．(1)l1与l2相交；(2)l1与l2平行；(3)l1与l2重合；(4)l1与l2垂直．解：可先从平行的条件a1a2＝b1b2(化为a1b2＝a2b1)着手．由m＋34＝25＋m，得m2＋8m＋7＝0，解得m1＝－1，m2＝－7.由m＋34＝5－3m16，得m＝－1.(1)当m≠－1且m≠－7时，a1a2≠b1b2，l1与l2相交．(2)当m＝－7时，a1a2＝b1b2≠c1c2.l1∥l2.(3)当m＝－1时，a1a2＝b1b2＝c1c2，l1与l2重合．(4)当a1a2＋b1b2＝0，即(m＋3)·4＋2·(5＋m)＝0，m＝－113时，l1⊥l2.变式训练已知两直线l1：ax－by＋4＝0，l2：(a－1)x＋y＋b＝0，分别求满足下列条件的a、b的值．(1)直线l1过点(－3，－1)，且l1⊥l2；(2)直线l1与l2平行，且坐标原点到l1、l2的距离相等．解：(1)∵l1⊥l2，∴a(a－1)＋(－b)·1＝0,即a2－a－b＝0①.又点(－3，－1)在l1上，∴－3a＋b＋4＝0②，由①②解得a＝2，b＝2.(2)∵l1∥l2且l2的斜率为1－a.∴l1的斜率存在，即ab＝1－a，b＝a1－a.故l1和l2的方程可分别表示为l1：(a－1)x＋y＋4（a－1）a＝0，l2：(a－1)x＋y＋a1－a＝0.∵原点到l1和l2的距离相等，∴4a－1a＝a1－a，解得a＝2或23.因此a＝2，b＝－2或a＝23，b＝2.题型2两直线的交点例2求经过直线2x＋3y＋1＝0和x－3y＋4＝0的交点，且垂直于直线3x＋4y－7＝0的直线方程．解：解得直线2x＋3y＋1＝0和x－3y＋4＝0的交点为－53，79，由已知垂直关系可求得所求直线的斜率为43，进而得所求直线方程为4x－3y＋9＝0.备选变式（教师专享）已知直线l经过点P(3，1)，且被两平行直线l1：x＋y＋1＝0和l2：x＋y＋6＝0截得的线段之长为5，求直线l的方程．解：(解法1)若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为x＝3，此时与l1、l2的交点分别为A′(3，－4)和B′(3，－9)，截得的线段AB的长||AB＝||－4＋9＝5，符合题意．若直线l的斜率存在，则设直线l的方程为y＝k(x－3)＋1.解方程组y＝k（x－3）＋1x＋y＋1＝0，得A3k－2k＋1，－4k－1k＋1，解方程组y＝k（x－3）＋1x＋y＋6＝0，得B3k－7k＋1，－9k－1k＋1.由||AB＝5，得3k－2k＋1－3k－7k＋12＋(－4k－1k＋1＋9k－1k＋1)2＝52.解之，得k＝0，即所求的直线方程为y＝1.综上可知，所求l的方程为x＝3或y＝1.(解法2)由题意，直线l1、l2之间的距离为d＝||1－62＝522，且直线l被平行直线l1、l2所截得的线段AB的长为5(如图)．设直线l与直线l1的夹角为θ，则sinθ＝5225＝22，故θ＝45°.由直线l1：x＋y＋1＝0的倾斜角为135°，知直线l的倾斜角为0°或90°.又直线l过点P(3，1)，故直线l的方程为x＝3或y＝1.(解法3)设直线l与l1、l2分别相交于A(x1，y1)、B(x2，y2)，则x1＋y1＋1＝0，x2＋y2＋6＝0.两式相减，得(x1－x2)＋(y1－y2)＝5.①又(x1－x2)2＋(y1－y2)2＝25，②联立①②，可得x1－x2＝5，y1－y2＝0或x1－x2＝0，y1－y2＝5，由上可知，直线l的倾斜角分别为0°或90°.故所求直线方程为x＝3或y＝1.题型3点到直线及两平行直线之间的距离例3已知点A(4，－3)，B(2，－1)和直线l：4x＋3y－2＝0，求一点P使|PA|＝|PB|，且点P到l的距离等于2.解：为使|PA|＝|PB|(如图)，点P必在线段AB的垂直平分线上，又点P到直线l的距离为2，所以点P又在距离l为2且平行于l的直线上，求这两条直线的交点即得所求点P.设点P的坐标为P(a，b)．∵A(4，－3)，B(2，－1)．∴AB的中点M的坐标为(3，－2)．又AB的斜率kAB＝－3＋14－2＝－1.∴AB的垂直平分线方程为y＋2＝x－3，即x－y－5＝0.而P(a，b)在直线x－y－5＝0上．∴a－b－5＝0①.又已知点P到l的距离为2，∴点P必在与l平行且距离为2的直线上，设直线方程为4x＋3y＋m＝0，由两条平行直线之间的距离公式，得|m＋2|5＝2，∴m＝8或－12.∴点P在直线4x＋3y＋8＝0或4x＋3y－12＝0上．∴4a＋3b＋8＝0或4a＋3b－12＝0②.由①②得a＝1，b＝－4或a＝277，b＝－87.∴点P(1，－4)或P(277，－87)为所求的点．备选变式（教师专享）已知点P1(2，3)、P2(－4，5)和A(－1，2)，求过点A且与点P1、P2距离相等的直线方程．解：(解法1)设所求直线方程为y－2＝k(x＋1)，即kx－y＋k＋2＝0.由点P1、P2到直线的距离相等得||2k－3＋k＋2k2＋1＝||－4k－5＋k＋2k2＋1.化简得||3k－1＝||－3k－3，则有3k－1＝－3k－3或3k－1＝3k＋3，解得k＝－13或方程无解．方程无解表明这样的k不存在，但过点A，所以直线方程为x＝－1，它与P1、P2的距离都是3.∴所求直线方程为y－2＝－13(x＋1)或x＝－1.(解法2)设所求直线为l，由于l过点A且与P1、P2距离相等，所以l有两种情况，如下图：①当P1、P2在l的同侧时，有l∥P1P2，此时可求得l的方程为y－2＝5－3－4－2(x＋1)，即y－2＝－13(x＋1)；②当P1、P2在l的异侧时，l必过P1、P2的中点(－1，4)，此时l的方程为x＝－1.∴所求直线的方程为y－2＝－13(x＋1)或x＝－1.题型4对称问题例4直线l1：2x＋y－4＝0，求l1关于直线l：3x＋4y－1＝0对称的直线l2的方程．解：在直线l1上取一点A(2，0)，又设点A关于直线l的对称点为B(x0，y0)，则y0－0x0－2＝43，3·2＋x02＋4·0＋y02－1＝0，解得B(45，－85)．又l1与l2的交点为M(3，－2)，故由两点式可求得直线l2的方程为2x＋11y＋16＝0.备选变式（教师专享）已知直线l：x＋2y－2＝0，试求：(1)点P(－2，－1)关于直线l的对称点坐标；(2)直线l1：y＝x－2关于直线l对称的直线l2的方程；(3)直线l关于点(1，1)对称的直线方程．解：(1)设点P关于直线l的对称点为P′(x0，y0)，则线段PP′的中点M在对称轴l上，且PP′⊥l.∴y0＋1x0＋2·－12＝－1，x0－22＋2·y0－12－2＝0，解得x0＝25，y0＝195，即P′坐标为25，195.(2)直线l1：y＝x－2关于直线l对称的直线为l2，则l2上任一点P(x，y)关于l的对称点P′(x′，y′)一定在直线l1上，反之也成立．由y－y′x－x′·－12＝－1，x＋x′2＋2·y＋y′2－2＝0，得x′＝3x－4y＋45，y′＝－4x－3y＋85.把(x′，y′)代入方程y＝x－2并整理，得7x－y－14＝0.即直线l2的方程为7x－y－14＝0.(3)设直线l关于点A(1，1)的对称直线为l′，则直线l上任一点P(x1，y1)关于点