高考数学第二章函数与导数第9课时指数函数对数函数及幂函数

第二章函数与导数第9课时指数函数、对数函数及幂函数(3)第三章(对应学生用书(文)、(理)24～25页)考情分析考点新知①对数函数在高考中的考查主要是图象和性质，同时考查数学思想方法，以考查分类讨论及运算能力为主；考查形式主要是填空题，同时也有综合性较强的解答题出现，目的是结合其他章节的知识，综合进行考查.②幂函数的考查较为基础，以常见的5种幂函数为载体，考查求值、单调性、奇偶性、最值等问题是高考命题的出发点．①理解对数函数的概念；理解对数函数的单调性；掌握对数函数图象通过的特殊点.②知道对数函数是一类重要的函数模型.③了解指数函数y＝ax与对数函数y＝logax的相互关系(a0，a≠1).④了解幂函数的概念，结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x－1，y＝x－2的图象，了解它们的变化情况.1.(必修1P112测试8改编)已知函数f(x)＝logax(a0，a≠1)，若f(2)f(3)，则实数a的取值范围是________．答案：(0，1)解析：因为f(2)f(3)，所以f(x)＝logax单调递减，则a∈(0，1)．2.(必修1P89练习3改编)若幂函数y＝f(x)的图象经过点9，13，则f(25)＝________．答案：15解析：设f(x)＝xα，则13＝9α，∴α＝－12，即f(x)＝x－12，f(25)＝15.3.(必修1P111习题15改编)函数f(x)＝ln1－x1＋x是________(填“奇”或“偶”)函数．答案：奇解析：因为f(－x)＝ln1＋x1－x＝ln1－x1＋x－1＝－ln1－x1＋x＝－f(x)，所以f(x)是奇函数．4.(必修1P87习题13改编)不等式lg(x－1)1的解集为________.答案：(1，11)解析：由0x－110，∴1x11.5.(必修1P87习题14改编)对于任意的x1、x2∈(0，＋∞)，若函数f(x)＝lgx，则f（x1）＋f（x2）2与fx1＋x22的大小关系是______________________.答案：f（x1）＋f（x2）2≤fx1＋x22解析：(解法1)作差运算；(解法2)寻找f（x1）＋f（x2）2与fx1＋x22的几何意义，通过函数f(x)＝lgx图象可得．1.对数函数的定义一般地，我们把函数y＝logax(a0，a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．2.对数函数的图象与性质a10a1图象性质(1)定义域：(0，＋∞)(2)值域：R(3)过点(1，0)，即x＝1时，y＝0(4)当x＞1时，f(x)0；当0＜x＜1时，f(x)0(4)当x＞1时，f(x)0；当0＜x＜1时，f(x)0(5)是(0，＋∞)上的增函数(5)是(0，＋∞)上的减函数3.幂函数的定义形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数．4.幂函数的图象5.幂函数的性质函数特征性质y＝xy＝x2y＝x3y＝x12y＝x－1定义域RRR{x|x≥0}{x|x∈R且x≠0}值域R{y|y≥0}R{y|y≥0}{y|y∈R且y≠0}奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增(－∞，0]减，[0，＋∞)增增增(－∞，0)减，(0，＋∞)减定点(1，1)[备课札记]题型1对数函数的概念与性质例1(1)设a1，函数f(x)＝logax在区间[a，2a]上的最大值与最小值之差是12，则a＝________；(2)若a＝log0.40.3，b＝log54，c＝log20.8，用小于号“”将a、b、c连结起来________；(3)设f(x)＝lg21－x＋a是奇函数，则使f(x)0的x的取值范围是________；(4)已知函数f(x)＝|log2x|，正实数m、n满足mn且f(m)＝f(n)，若f(x)在区间[m2，n]上的最大值为2，则m、n的值分别为________.答案：(1)4(2)c＜b＜a(3)－1＜x＜0(4)12，2解析：(1)∵a1，∴函数f(x)＝logax在区间[a，2a]上是增函数，∴loga2a－logaa＝12，∴a＝4.(2)由于a1，0b1，c0，所以cba.(3)由f(－x)＋f(x)＝0，得a＝－1，则由lg1＋x1－x0，得1＋x1－x0，1＋x1－x1，解得－1x0.(4)结合函数f(x)＝|log2x|的图象，易知0m1，n1，且mn＝1，所以f(m2)＝|log2m2|＝2，解得m＝12，所以n＝2.变式训练(1)设loga23＜1，则实数a的取值范围是________；(2)已知函数f(x)＝lg(x2＋t)的值域为R，则实数t的取值范围是________；(3)若函数f(x)＝loga|x＋1|在(－1，0)上有f(x)0，则函数f(x)的单调减区间是________；(4)若函数f(x)＝log12(x2－2ax＋3)在(－∞，1]内为增函数，则实数a的取值范围是________．答案：(1)0＜a＜23或a＞1(2)a≤0(3)(－1，＋∞)(4)[1，2)解析：(1)分a＞1与a＜1两种情形进行讨论．(2)值域为R等价于x2＋a可以取一切正实数．(3)函数f(x)的图象是由y＝loga|x|的图象向左平移1个单位得到，∴0a1.(4)令g(x)＝x2－2ax＋3，则a≥1，g（1）0，解得1≤a2.题型2幂函数的概念与性质例2已知幂函数y＝x3m－9(m∈N*)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数．(1)求m的值；(2)求满足不等式(a＋1)－m3(3－2a)－m3的实数a的取值范围．解：(1)因为函数y＝x3m－9在(0，＋∞)上是减函数，所以3m－90，所以m3.因为m∈N*，所以m＝1或2.又函数图象关于y轴对称，所以3m－9是偶数，所以m＝1.(2)不等式(a＋1)－m3(3－2a)－m3即为(a＋1)－13(3－2a)－13.结合函数y＝x－13的图象和性质知：a＋13－2a0或0a＋13－2a或a＋103－2a.解得a－1或23a32，即实数a的取值范围是a－1或23a32.备选变式（教师专享）已知幂函数y＝f(x)经过点2，18.(1)试求函数解析式；(2)判断函数的奇偶性并写出函数的单调区间．解：(1)由题意，得f(2)＝2a＝18a＝－3，故函数解析式为f(x)＝x－3.(2)定义域为()－∞，0∪()0，＋∞，关于原点对称，因为f(－x)＝(－x)－3＝－x－3＝－f(x)，故该幂函数为奇函数．其单调减区间为()－∞，0，()0，＋∞.题型3指数函数、对数函数的综合问题例3已知函数f(x)＝log4(4x＋1)＋kx(k∈R)是偶函数．(1)求k的值；(2)设g(x)＝log4a·2x－43a，若函数f(x)与g(x)的图象有且只有一个公共点，求实数a的取值范围．解：(1)由函数f(x)是偶函数，可知f(x)＝f(－x)，∴log4(4x＋1)＋kx＝log4(4－x＋1)－kx.log44x＋14－x＋1＝－2kx，即x＝－2kx对一切x∈R恒成立，∴k＝－12.(2)函数f(x)与g(x)的图象有且只有一个公共点，即方程log4(4x＋1)－12x＝log4a·2x－43a有且只有一个实根，化简得方程2x＋12x＝a·2x－43a有且只有一个实根．令t＝2x0，则方程(a－1)t2－43at－1＝0有且只有一个正根．①a＝1t＝－34，不合题意；②a≠1时，Δ＝0a＝34或－3.若a＝34t＝－2，不合题意，若a＝－3t＝12；③a≠1时，Δ0，一个正根与一个负根，即－1a－10a1.综上，实数a的取值范围是{－3}∪(1，＋∞)．备选变式（教师专享）已知函数f(x)＝lg(ax－bx)(a1b0)．(1)求函数y＝f(x)的定义域；(2)在函数y＝f(x)的图象上是否存在不同的两点，使过此两点的直线平行于x轴；(3)当a、b满足什么关系时，f(x)在区间()1，＋∞上恒取正值．解：(1)由ax－bx0，得abx1，因为a1b0，所以ab1，所以x0，即函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．(2)设x1x20，因为a1b0，所以ax1ax2，bx1bx2，则－bx1－bx2，所以ax1－bx1ax2－bx20，于是lg(ax1－bx1)lg(ax2－bx2)，即f(x1)f(x2)，因此函数f(x)在区间(0，＋∞)上是增函数．假设函数y＝f(x)的图象上存在不同的两点A(x1，y1)、B(x2，y2)，使得直线AB平行于x轴，即x1≠x2，y1＝y2，这与f(x)是增函数矛盾．故函数y＝f(x)的图象上不存在不同的两点，使过此两点的直线平行于x轴．(3)由(2)知，f(x)在区间(1，＋∞)上是增函数，所以当x∈(1，＋∞)时，f(x)f(1)，故只需f(1)≥0，即lg(a－b)≥0，即a－b≥1，所以当a≥b＋1时，f(x)在区间(1，＋∞)上恒取正值．1.(2013·南师大模拟)已知函数f(x)＝log2x－2log2(x＋c)，其中c0，若对任意x∈(0，＋∞)，都有f(x)≤1，则c的取值范围是________．答案：c≥18解析：由题意，c0，x（x＋c）2≤2在x∈(0，＋∞)上恒成立，所以c≥18.2.(2013·辽宁)已知函数f(x)＝ln()1＋9x2－3x＋1，则f(lg2)＋flg12＝________．答案：2解析：f(x)＋f(－x)＝ln(1＋9x2－3x)＋ln(1＋9x2＋3x)＋2＝ln(1＋9x2－9x2)＋2＝2，所以f(lg2)＋flg12＝f(lg2)＋f(－lg2)＝2.3.(2013·江西检测)已知x13＋(log130.5)－y(－y)13＋(log130.5)x，则实数x、y的关系为________．答案：x＋y0解析：由x13＋(log130.5)－y(－y)13＋(log130.5)x，得x13－(log130.5)x(－y)13－(log130.5)－y.设f(x)＝x13－(log130.5)x，则f(x)f(－y)，由于0log130.51，所以函数f(x)是R上的增函数，所以x－y，即x＋y0.4.(2013·南通密卷)已知f(x)＝22－x，x2，log3（x＋1），x≥2，若对任意的x∈R，af2(x)≥f(x)－1成立，则实数a的最小值为________．答案：14解析：易得x∈R，f(x)0，由af2(x)≥f(x)－1，得a≥f（x）－1f2（x）＝1f（x）－1f2（x）＝14－1f（x）－122≤14(当且仅当f(x)＝2时等号成立)，所以实数a的最小值为14.1.若函数f(x)＝log2|ax－1|(a＞0)，当x≠12时，有f(x)＝f(1－x)，则a＝________．答案：2解析：由f(x)＝f(1－x)，知函数f(x)的图象关于x＝12对称，而f(x)＝log2x－1a＋log2|a|，从而1a＝12，所以a＝2.2.已知函数f(x)＝x23，x∈[－1，8]，函数g(x)＝ax＋2，x∈[－1，8]，若存在x∈[－1，8]，使f(x)＝g(x)成立，则实数a的取值范围是________．答案：－∞，14∪[1，＋∞)解析：分别作出函数f(x)＝x23，x∈[－1，8]与函数g(x)＝ax＋2，x∈[－1，8]的图象．当直线经过点(－1，1)时，a＝1；当直线经过点(8，4)时，a＝14.结合图象有a≤14或a≥1.3.已知函数f(x)＝|lgx|，若0ab，且f(a)＝f(b)，则a＋2b的取值范围是________．答案：(3，＋∞)解析：因为f(a)＝f