高考数学试题探源

1xxx6060xxx6060高考数学试题探源湖南省株洲市教育科学研究院贺功保412007高考除了要考查学生的基础知识和常用的数学思想方法外，还要考查学生的逻辑思维能力、运算能力、空间想象能力和综合运用数学知识分析问题、解决问题的能力以及创新意识，特别是高考命题将“知识立意”变为“能力立意”以来，注重在知识的交汇处设计试题，这就要求高三数学老师不但认真研究“两纲”（即为中学数学教学大纲和《考试说明》）和教材外，还要求深入钻研历年来（特别是近几年来）的高考试题，这样才能有利于高三数学教学。本人基于这一点，通过对历年高考数学试题的深入研究，发现高考数学试题主要来源于以下五个方面：即将课本中的例题与习题、历年的高考试题、历年的初高中数学竞赛试题、高等数学试题进行加工、改造、演变成为高考试题，还有个别的创新试题。下面通过例题予以说明（限于篇幅，所有例题仅给出题目）。例1（1）（《全日制高中数学课本第二册(上)》P123T6）过抛物线焦点的一条直线与它交于两点P、Q，经过点P和抛物线顶点的直线交准线于点M，求证直线PQ平行于抛物线的对称轴。（2）（2001年全国高考试题）设抛物线)0(22ppxy的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准线上，且BC∥x轴。证明直线AC经过原点O。例2（1）（《全日制高中数学课本第三册(选修I)》P44例2、或(选修II)P132例2）用铁皮做一个无盖水箱，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90°角，再焊接而成（如图），问水箱的长取多少时，水箱容积最大，最大容积是多少？（2）（2005年全国高考试题（全国卷III））用铁皮做一个无盖的容器，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90°角，再焊接而成（如图），问该容器的高为多少时，容器的容积最大，最大容积是多少？说明：例1中的课本习题与高考试题显然互为逆命题；例2中的高考题是将习题中的“边长为60cm的正方形”改为“长为90cm、宽为48cm的长方形”，其他条件不变，其解题的思路与方法完全类似。高考试题中的容易题和中档题主要来源于课本的例题、习题或素材。这就要求我们在高三数学复习过程中要充分发挥课本的作用。例3（1）（1995年全国高考试题）已知)2(logaxya在]1,0[上是x的减函数，则a的2OYXCBA取值范围是（）A、)1,0(B、)2,1(C、)2,0(D、),2[（2）（2003年全国高考试题（山东卷））已知)3(log)(22aaxxxf在),2[上是增函数，则实数a的取值范围是（）A、)4,(B、]4,4(C、)4,(),2[D、)2,4[例4（1）（1985年全国高考试题）如图，在平面直角坐标系中，在y轴的正半轴（坐标原点除外）上给定两点A、B，试在x轴（坐标原点除外）上求点C，使∠ACB取得最大值。（2）（2005年全国高考试题（天津卷）文理科试题基本相同）（理）某人在一山坡P处观看对面山顶上的一座铁塔，如图所示，铁塔BC=80米，塔所在的山高OB=220米，OA=200米，图中所示的山坡可视为直线L且点P在直线L上，L与水平地面的夹角为，21tan。试问此人距水平地面多高时，观看铁塔的视角∠BPC最大？（不计此人的高度）说明：例3中的两个高考题不但题型和解题思路完全相同，而且答案均为B。例4中的两个高考试题的题型和难度相同，显然后一道是在前一道试题的基础上增加了一些生活背景，其解题的思路和方法没有多大变化。这就要求我们在高三的复习中对历年（特别是近几年）的典型高考试题进行认真的研究，让学生掌握其解题思路和方法。例5（1）（2004年全国高中数学联赛试题）如图，设点O在△ABC内部，且0OC3OB2OA，则△ABC的面积与△AOC的面积的比为（）A、2B、23C、3D、35（2）（2005年全国高考试题（湖南卷））设P是△ABCBACO3内部任意一点，S△ABC表示△ABC的面积，ABCPBC1SS，ABCPCA2SS，ABCPAB3SS，定义),,()(321Pf。若G是△ABC的重心，)61,31,21()(Qf，则（）A、点Q在△GAB内B、点Q在△GBC内C、点Q在△GCA内D、点Q与点G重合例6（1）（2000年全国初中数学联赛试题）如图，已知四边形ABCD的外接圆的半径为2，对角线AC与BD的交点为E，AE=EC，AB=2AE，且BD=23。求四边形ABCD的面积。（2）（2001年全国高考试题（文））已知圆内接四边形ABCD的边长分别为AB=2，BC=6，CD=DA=4。求四边形ABCD的面积。说明：例5中的两个试题都是重点考查三角形重心的性质；例6中的两个试题都是考查圆内接四边形的性质。只是考查的角度与要求不同，竞赛试题主要考查学生的逻辑思维能力和逻辑推理能力，高考试题主要是考查学生的逻辑思维能力和运算能力等。因此，我们有理由认为高考试题是将竞赛试题进行加工、改造，演变而得到的。这就要求我们在高三的数学复习中，老师对历年的典型竞赛试题也要有所研究，这样才能更好地指导高三学生进行考前综合训练。例7（1）（2005年全国高考试题（湖南卷））设xxfsin)(0，)()(01xfxf，)()(12xfxf，……，)()(1xfxfnn，nN，则)(2005xf（）A、xsinB、xsinC、xcosD、xcos（2）（2004年全国高考试题（广东卷））设函数)ln()(mxxxf，其中常数m为整数。①当m为何值时，0)(xf？②定理：若函数)(xg在],[ba上连续，且)(ag与)(bg异号，则至少存在一点0x),(ba，使0)(0xg。试用上述定理证明：当整数m1时，方程0)(xf在],[2mememm内有两个实根。（3）（2004年全国高考试题（全国卷III））已知函数xxxf)1ln()(，xxxgln)(。①求函数)(xf最大值；②设ba0，证明：2ln)()2(2)()(0abbagbgag说明：例7（1）主要取材于高阶导数知识，（2）题主要取材于高等数学知识中的微分EOBCAD4中值定理，（3）题主要取材于凸函数理论和函数建模的思想方法。这就要求我们高中数学老师对高等数学中的凸函数理论、微积分知识和函数建摸的思想方法有较深入的研究，并能较好地掌握这些知识。例8（2005年全国高考试题（湖南卷））（理）某城市有甲、乙、丙3个旅游景点，一位客人游览这3个景点的概率分别是0.4、0.5、0.6，且客人是否游览哪个景点互不影响，设表示客人离开该城市时游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对值。（1）求的分布列和数学期望。（2）记“函数xxxf3)(2+1在区间），2[上单调递增”为事件A，求事件A的概率。这是一道将概率知识和二次函数知识有机结合的创新试题，这类试题难度一般不会太大，深受广大中学数学教师和学生欢迎。总之，我们通过对历年（特别是近几年）来高考试题的深入研究，弄清楚这些试题的来源和命题者的考查意图，这样有助于把握高考的复习方向和有针对性的进行综合训练，为学生在高考中取得优异成绩是一项必不可少的工作。