高考数学选修不等式

高考数学选修不等式课题：第01课时不等式的基本性质一、引入：不等关系是自然界中存在着的基本数学关系。《列子?汤问》中脍炙人口的两小儿辩日：远者小而近者大、近者热而远者凉，就从侧面表明了现实世界中不等关系的广泛存在；日常生活中息息相关的问题，如自来水管的直截面为什么做成圆的，而不做成方的呢?、电灯挂在写字台上方怎样的高度最亮？、用一块正方形白铁皮，在它的四个角各剪去一个小正方形，制成一个无盖的盒子。要使制成的盒子的容积最大，应当剪去多大的小正方形？等，都属于不等关系的问题，需要借助不等式的相关知识才能得到解决。而且，不等式在数学研究中也起着相当重要的作用。本专题将介绍一些重要的不等式（含有绝对值的不等式、柯西不等式、贝努利不等式、排序不等式等）和它们的证明，数学归纳法和它的简单应用等。人与人的年龄大小、高矮胖瘦，物与物的形状结构，事与事成因与结果的不同等等都表现出不等的关系，这表明现实世界中的量，不等是普遍的、绝对的，而相等则是局部的、相对的。还可从引言中实际问题出发，说明本章知识的地位和作用。生活中为什么糖水加糖甜更甜呢?转化为数学问题：a克糖水中含有b克糖(ab0)，若再加m(m0)克糖，则糖水更甜了，为什么?分析：起初的糖水浓度为，加入m克糖后的糖水浓度为，只要证即可。怎么证呢?二、不等式的基本性质：1、实数的运算性质与大小顺序的关系：数轴上右边的点表示的数总大于左边的点所表示的数，从实数的减法在数轴上的表示可知：得出结论：要比较两个实数的大小，只要考察它们的差的符号即可。2、不等式的基本性质：①、如果ab，那么ba，如果ba，那么ab。(对称性)②、如果ab，且bc，那么ac，即ab，bcac。③、如果ab，那么a+cb+c，即aba+cb+c。推论：如果ab，且cd，那么a+cb+d．即ab，cda+cb+d．④、如果ab，且c0，那么acbc；如果ab，且c0，那么acbc．⑤、如果ab0，那么(nN，且n1)⑥、如果ab0，那么(nN，且n1)。三、典型例题：例1、已知ab，cd，求证：a-cb-d．例2已知ab0，c0，求证：。选修4_5不等式选讲课题：第02课时含有绝对值的不等式的解法一、引入：在初中课程的学习中，我们已经对不等式和绝对值的一些基本知识有了一定的了解。在此基础上，本节讨论含有绝对值的不等式。关于含有绝对值的不等式的问题，主要包括两类：一类是解不等式，另一类是证明不等式。下面分别就这两类问题展开探讨。1、解在绝对值符号内含有未知数的不等式（也称绝对值不等式），关键在于去掉绝对值符号，化成普通的不等式。主要的依据是绝对值的意义.请同学们回忆一下绝对值的意义。在数轴上，一个点到原点的距离称为这个点所表示的数的绝对值。即。2、含有绝对值的不等式有两种基本的类型。第一种类型。设a为正数。根据绝对值的意义，不等式的解集是，它的几何意义就是数轴上到原点的距离小于a的点的集合是开区间（－a，a），如图所示。图1-1如果给定的不等式符合上述形式，就可以直接利用它的结果来解。第二种类型。设a为正数。根据绝对值的意义，不等式的解集是{或}它的几何意义就是数轴上到原点的距离大于a的点的集合是两个开区间的并集。如图1-2所示。-图1-2同样，如果给定的不等式符合这种类型，就可以直接利用它的结果来解。二、典型例题：例1、解不等式。例2、解不等式。方法1：分域讨论★方法2：依题意，或，（为什么可以这么解？）例3、解不等式。例4、解不等式。解本题可以按照例3的方法解，但更简单的解法是利用几何意义。原不等式即数轴上的点x到1，2的距离的和大于等于5。因为1，2的距离为1，所以x在2的右边，与2的距离大于等于2（＝（5－1）；或者x在1的左边，与1的距离大于等于2。这就是说，或例5、不等式，对一切实数都成立，求实数的取值范围。四、练习：解不等式1、2、3、.4、.5、6、.7、8、9、10、选修4_5不等式选讲课题：第02课时含有绝对值的不等式的证明一、引入：证明一个含有绝对值的不等式成立，除了要应用一般不等式的基本性质之外，经常还要用到关于绝对值的和、差、积、商的性质：（1）（2）（3）（4）请同学们思考一下，是否可以用绝对值的几何意义说明上述性质存在的道理？实际上，性质和可以从正负数和零的乘法、除法法则直接推出；而绝对值的差的性质可以利用和的性质导出。因此，只要能够证明对于任意实数都成立即可。我们将在下面的例题中研究它的证明。现在请同学们讨论一个问题：设为实数，和哪个大？显然，当且仅当时等号成立（即在时，等号成立。在时，等号不成立）。同样，当且仅当时，等号成立。含有绝对值的不等式的证明中，常常利用、及绝对值的和的性质。二、典型例题：例1、证明（1），（2）。证明（1）如果那么所以如果那么所以（2）根据（1）的结果，有，就是，。所以，。例2、证明。例3、证明。思考：如何利用数轴给出例3的几何解释？（设A，B，C为数轴上的3个点，分别表示数a，b，c，则线段当且仅当C在A，B之间时，等号成立。这就是上面的例3。特别的，取c＝0（即C为原点），就得到例2的后半部分。）探究：试利用绝对值的几何意义，给出不等式的几何解释？含有绝对值的不等式常常相加减，得到较为复杂的不等式，这就需要利用例1，例2和例3的结果来证明。例4、已知，求证证明（1），∴（2）由（1），（2）得：例5、已知求证：。证明，∴，由例1及上式，。注意：在推理比较简单时，我们常常将几个不等式连在一起写。但这种写法，只能用于不等号方向相同的不等式。四、练习：1、已知求证：。2、已知求证：。链接：不等式的图形借助图形的直观性来研究不等式的问题，是学习不等式的一个重要方法，特别是利用绝对值和绝对值不等式的几何意义来解不等式或者证明不等式，往往能使问题变得直观明了，帮助我们迅速而准确地寻找到问题的答案。关键是在遇到相关问题时，能否准确地把握不等式的图形，从而有效地解决问题。我们再来通过几个具体问题体会不等式图形的作用。1．解不等式。题意即是在数轴上找出到与的距离之和不大于到点的距离的所有流动点。首先在数轴上找到点，，（如图）。-10123从图上判断，在与之间的一切点显示都合乎要求。事实上，这种点到与的距离和正好是1，而到的距离是。现在让流动点由点向左移动，这样它到点的距离变，而到点与的距离增大，显然，合乎要求的点只能是介于与之间的某一个点。由可得再让流动点由点向右移动，虽然这种点到与的距离的和及到的距离和都在增加，但两相比较，到与的距离的和增加的要快。所以，要使这种点合乎要求，也只能流动到某一点而止。由可得从而不等式的解为2．画出不等式的图形，并指出其解的范围。先考虑不等式在平面直角坐标系内第一象限的情况。在第一象限内不等式等价于：，，.其图形是由第一象限中直线下方的点所组成。同样可画出二、三、四象限的情况。从而得到不等式的图形是以原点O为中心，四个等点分别在坐标轴上的正方形。不等式解的范围一目了然。探究：利用不等式的图形解不等式1.;2．A组1．解下列不等式：（1）（2）1（3）（4）2．解不等式：（1）（2）3．解不等式：（1）（2）4．利用绝对值的几何意义，解决问题：要使不等式有解，要满足什么条件？5．已知求证：（1）；（2）6．已知求证：7．已知求证：B组*****8．求证*****9．已知求证：10．若为任意实数，为正数，求证：（，而）选修4_5不等式选讲课题：第03课时指数不等式的解法二、典型例题：例1、解不等式解：原不等式可化为：∵底数21∴整理得：解之，不等式的解集为{x|-3x2}例2、解不等式。解：原不等式可化为：即：解之：或∴x2或∴不等式的解集为{x|x2或}例3、解不等式：(当a1时当0a1时)例4、解不等式：(-1x3)选修4_5不等式选讲课题：第04课时对数不等式的解法二、典型例题：例1、解不等式。解：原不等式等价于或解之得：4x≤5∴原不等式的解集为{x|4x≤5}例2、解关于x的不等式：解：原不等式可化为当a1时有（其实中间一个不等式可省）当0a1时有∴当a1时不等式的解集为；当0a1时不等式的解集为。例3、解关于x的不等式。解：原不等式等价于Ⅰ：或Ⅱ：解Ⅰ：解Ⅱ：∴当a1时有0xa当0a1时有xa∴原不等式的解集为{x|0xa,a1}或{x|xa,0a1}例4、解不等式。解：两边取以a为底的对数：当0a1时原不等式化为：∴∴当a1时原不等式化为：∴∴∴∴原不等式的解集为或四、练习：解下列不等式1．(-2x1或4x7)2．当，求不等式：(ax1)3．，求证：4．(-1x0)5．时解关于x的不等式(；；)选修4_5不等式选讲课题：第05课时无理不等式的解法一、引入：1、无理不等式的类型：①、②、③、二、典型例题：例1、解不等式解：∵根式有意义∴必须有：又有∵原不等式可化为两边平方得：解之：∴例2、解不等式解：原不等式等价于下列两个不等式组得解集的并集：Ⅰ：Ⅱ：解Ⅰ：解Ⅱ：∴原不等式的解集为例3、解不等式解：原不等式等价于特别提醒注意：取等号的情况例4、解不等式解：要使不等式有意义必须：原不等式可变形为因为两边均为非负∴即∵x+1≥0∴不等式的解为2x+1≥0即例5、解不等式例6、解不等式解：定义域x-1≥0x≥1原不等式可化为：两边立方并整理得：在此条件下两边再平方,整理得：解之并联系定义域得原不等式的解为四、练习：解下列不等式1．2．3．()s4．5．选修4_5不等式选讲课题：第06课时含有参数不等式的解法二、典型例题：例1、解关于x的不等式解：原不等式等价于即：∴若a1，若0a1。例2、解关于x的不等式解：原不等式可化为即：s当m1时∴当m=1时∴x?φ当0m1时∴当m≤0时x0例3、解关于x的不等式解：原不等式等价于当即时∴当即时∴x??6当即时x?R。例4、解关于x的不等式解：当即??(0,)时∴x2或x1当即?=时x?φ当即??(,)时∴1x2例5、满足的x的集合为A；满足的x的集合为B。1?、若A?B求a的取值范围2?、若A?B求a的取值范围3?、若A∩B为仅含一个元素的集合，求a的值。解：A=[1,2]B={x|(x-a)(x-1)≤0}当a≤1时B=[a,1]当a1时B=[1,a]当a2时A?B当1≤a≤2时A?B当a≤1时A∩B仅含一个元素例6、方程有相异两实根，求a的取值范围。解：原不等式可化为，令：则设又∵a0五、作业：1．2．若求a的取值范围(a≥1)3．4．5．当a在什么范围内方程：有两个不同的负根6．若方程的两根都大于2，求实数m的范围。选修4_5不等式选讲课题：第07课时不等式的证明方法之一：比较法一、引入：要比较两个实数的大小，只要考察它们的差的符号即可，即利用不等式的性质：二、典型例题：例1、设，求证：。例2、若实数，求证：证明：采用差值比较法：====∴∴讨论：若题设中去掉这一限制条件，要求证的结论如何变换？例3、已知求证本题可以尝试使用差值比较和商值比较两种方法进行。证明：1)差值比较法：注意到要证的不等式关于对称，不妨设，从而原不等式得证。2）商值比较法：设故原不等式得证。注：比较法是证明不等式的一种最基本、最重要的方法。用比较法证明不等式的步骤是：作差（或作商）、变形、判断符号。例4、甲、乙两人同时同地沿同一路线走到同一地点。甲有一半时间以速度行走，另一半时间以速度行走；乙有一半路程以速度行走，另一半路程以速度行走。如果，问甲、乙两人谁先到达指定地点。分析：设从出发地点至指定地点的路程是，甲、乙两人走完这段路程所用的时间分别为。要回答题目中的问题，只要比较的大小就可以了。解：设从出发地点至指定地点的路程是，甲、乙两人走完这段路程所用的时间分别为，根据题意有，，可得，，从而，其中都是正数，且。于是，即。从而知甲比乙首先到达指定地点。讨论：如果，甲、乙两人谁先到达指定地点？例5、设求证；对任意实数，