高考数学递推数列求通项专题

高考递推数列求通项题型分类归纳解析包钢一中郝丽丽通过一轮，二轮紧张而有序的高考复习，在大量的练习讲解中不断归纳充实，特将数列这个专题中的一类，即已知递推关系求数列通项总结分类，对学生手中的练习题目综合整理，使其考察方向及应考方法更清晰，学生更易掌握。类型1)(1nfaann解法：把原递推公式转化为)(1nfaann，利用累加法(逐差相加法)求解。例1:已知数列na满足211a，nnaann211，求na。解：由条件知：111)1(1121nnnnnnaann分别令)1(,,3,2,1nn，代入上式得)1(n个等式累加之，即)()()()(1342312nnaaaaaaaa)111()4131()3121()211(nn所以naan111211a，nnan1231121类型2nnanfa)(1解法：把原递推公式转化为)(1nfaann，利用累乘法(逐商相乘法)求解。例2:已知数列na满足321a，nnanna11，求na。解：由条件知11nnaann，分别令)1(,,3,2,1nn，代入上式得)1(n个等式累乘之，即1342312nnaaaaaaaann1433221naan11又321a，nan32例3:已知31a，nnanna23131)1(n，求na。解：123132231232)2(31)2(32)1(31)1(3annnnan3437526331348531nnnnn。变式:（2004，全国I,理15．）已知数列{an}，满足a1=1，1321)1(32nnanaaaa(n≥2)，则{an}的通项1___na12nn解：由已知，得nnnnaanaaaa13211)1(32，用此式减去已知式，得当2n时，nnnnaaa1，即nnana)1(1，又112aa，naaaaaaaaann13423121,,4,3,1,1，将以上n个式子相乘，得2!nan)2(n类型3qpaann1（其中p，q均为常数，)0)1((ppq）。解法（待定系数法）：把原递推公式转化为：)(1nnapa，其中1pq，再利用换元法转化为等比数列求解。例4:已知数列na中，11a，321nnaa，求na.解：设递推公式321nnaa可以转化为)(21nnaa即321nnaa.故递推公式为)3(231nnaa,令3nnab，则4311ab,且23311nnnnaabb.所以nb是以41b为首项，2为公比的等比数列，则11224nnnb,所以321nna.变式:（2006，重庆,文,14）在数列na中，若111,23(1)nnaaan，则该数列的通项na_______________（key:321nna）类型4nnnqpaa1（其中p，q均为常数，)0)1)(1((qppq）。（或1nnnaparq,其中p，q,r均为常数）。解法：一般地，要先在原递推公式两边同除以1nq，得：qqaqpqannnn111引入辅助数列nb（其中nnnqab），得：qbqpbnn11再待定系数法解决。例5:已知数列na中，651a,11)21(31nnnaa，求na。解：在11)21(31nnnaa两边乘以12n得：1)2(32211nnnnaa令nnnab2，则1321nnbb,解之得：nnb)32(23所以nnnnnba)31(2)21(32变式：（见二模第22题）：nnnaa3521，nnnaa)2(531变式：（08年高考全国卷220）*11,3,NnSaaannn解：,32,3111nnnnnnnnSSSSSa两边同除以13n，得31332311nnnnSS，令11111)32)(13()32)(1(1),1(321,3132,3nnnnnnnnnnabbbbbbSb则；nnnaS32)3(1类型5递推公式为nnnqapaa12（其中p，q均为常数）。解法：把原递推公式转化为)(112nnnnaakaa，令qkpk，解得k,的值，借助数列nnaa1为等比数列，求得na通项。例6:（2006，福建,文,22）已知数列na满足*12211,3,32().nnnaaaaanN求数列na的通项公式；（I）解：nnnnnnnnaaaakkkkaakaa22,21,1223),(112112＝－nnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaa22)(),(2;11)2(211211121121又;由1221211nnnnnnnaaaaa练习:已知数列na中，11a,22a,nnnaaa313212，求na。1731:()443nnkeya。类型6递推公式为nS与na的关系式。(或()nnSfa)解法：利用)2()1(11nSSnSannn与)()(11nnnnnafafSSa消去nS)2(n或与)(1nnnSSfS)2(n消去na进行求解。例7：数列na前n项和2214nnnaS.（1）求1na与na的关系；（2）求通项公式na.解：（1）由2214nnnaS得：111214nnnaS于是)2121()(1211nnnnnnaaSS所以11121nnnnaaannnaa21211.（2）应用类型4（nnnqpaa1（其中p，q均为常数，)0)1)(1((qppq））的方法，上式两边同乘以12n得：22211nnnnaa由1214121111aaSa.于是数列nna2是以2为首项，2为公差的等差数列，所以nnann2)1(22212nnna变式：（一轮复习示范卷7）数列na中，)2(122,121nSSaannn，求数列的前n项和nS。Key:121nSn类型7rnnpaa1)0,0(nap解法：这种类型一般是等式两边取对数后转化为paaaaannrlogloglog1，再利用待定系数法求解。例8：（二轮复习示范卷3）已知数列｛na｝中，311,2nnaaa，求数列.的通项公式na解：由两边取以2为底的对数得nnaa22log3log1，令nanb2log，则1312223lognnnnab类型8周期型解法：由递推式计算出前几项，寻找周期。例9：若数列na满足)121(,12)210(,21nnnnnaaaaa，若761a，则20a的值为_____75______。变式:（2005，湖南,文，5）已知数列}{na满足)(133,0*11Nnaaaannn，则20a=（）A．0B．3C．3D．23Key:(B)