2.1-变分法

第二章变分法（VariationalApproach）最优控制所要解决的问题：在一定的约束条件下，求使性能指标达到极大（或极小）值的控制函数。约束条件——一般是由向量微分方程描述的控制对象特性性能指标——一般是用泛函来描述也就是说，最优控制问题实际上是在微分方程约束下求泛函的条件极值问题，而从数学上看这就是一个变分问题，需要用变分法求解。变分法是近代数学中的一个完整分支，是研究最优控制问题的重要工具。2.1赋范线性空间此节为有关的数学基础知识。供参考，不展开。2.2线性算子及泛函1.线性算子2.线性算子的微商3.泛函4.泛函宗量及其变分5.线性泛函6.连续泛函7.泛函变分1.线性算子定义2-10：n维线性空间Rn到m维线性空间Rm的线性算子（映射）是指一确定对应规律y=f(x)，使每一个x∈Rn有一个对应的y∈Rm，且满足线性条件1）f(x1+x2)=f(x1)+f(x2),x1,x2∈Rn2）f(x)=f(x),x∈Rn,∈R微积分中的线性函数关系y=f(x)就是一种线性算子。2.线性算子的微商则称线性算子k为f(x)在x处的微商，记为，并称f(x)在x处可微。00xxxlimxxkxfxxf)()(xx其中是的高阶无穷小量，即定义2-11：设y=f(x)是n维线性空间Rn中的子集D到m维线性空间Rm的算子，且在D中当由点x转到x+Δx时，y变为y+Δy=f(x+Δx)。若存在一个由D到Rm的线性算子k，使)('xfk可同样定义二阶至n阶微商，并解释f(x)在x处n次可微含义二阶微商(f’(x))’=f’’(x)…………n阶微商(f(n-1)(x))’=f(n)(x)回顾微积分中函数y=f(x)的增量、高阶无穷小、微分等相应概念。2.线性算子的微商3.泛函xy平面上两点A(x0,y0),B(x1,y1)间的弧长公式为AB=yx0x1xy(x)y0y1AB曲线弧长示意图•定义2-12：由赋范线性空间Rn到数域R的算子称为Rn上的泛函。1021xxdxy'1021xxdxy'•例：求曲线弧长的公式即为泛函曲线（函数）y=y(x)通过A、B两点，曲线（函数）不同则弧长不同，即弧长是曲线（函数）y=y(x)的函数，记为J[y(x)]，则AB==J[y(x)]•由二维空间(xy平面)映射到一维空间（长度）4.泛函宗量及其变分泛函J[y(x)]的宗量是函数y(x)；泛函宗量的变分:δy(x)=y(x)–y0(x)（回顾函数关系y=f(x)中的自变量x）5.线性泛函定义2-13：线性空间Rn上的泛函J为Rn上的线性泛函，iffRRyxyJxJyxJn,,,,)()()(例如：积分为线性泛函。bababadxxdxxdxxx)()()]()([6.连续泛函定义2-14：线性空间Rn上的泛函J为Rn上的连续泛函，iff对任意x0,x∈Rn,ε∈R,x=x0+εΔx，当时，有)()(0xJxJ)(000xx连续泛函的重要性在于，任意一点的泛函值可以用该点附近的泛函值任意逼近。在有穷维线性空间上，任何线性泛函都是连续的。7.泛函变分泛函变分可以从两种不同描述角度加以定义。相应可定义：δ2J(x0,Δx)=J’’(x0)(Δx)2为泛函的二阶变分,………δnJ(x0,Δx)=J(n)(x0)(Δx)n为泛函的n阶变分。定义2-15（1）：若赋范线性空间Rn上的泛函J(x)作为算子在x0处是可微的，则其微分J’(x)Δx称为泛函J(x)在x=x0处的变分，记为δJ(x0,Δx)。该定义表明泛函J(x)的变分就是泛函增量ΔJ=J(x+Δx)-J(x)的线性主部。定义2-15（2）：泛函J(x0+εΔx)(ε在[0，1]区间取值，ε=0时泛函为J(x0)，ε=1时泛函为J(x0+Δx))对ε的导函数在ε=0时的值，即称为J(x)在x=x0处的变分。00)(xxJ上述两种定义本质相同，即有：(2-2-1)10000,)(),(xxJxxJ7.泛函变分定理2-1：设J(x)是赋范线性空间Rn上的泛函，若在x=x0处可微，则其变分为（2-2-1）式。证明：∵J(x)在x=x0处可微∴=δJ(x0,Δx)),()('limlimxxxxJ0000)()()(lim00000xJxxJxxJ),(),(limxxxxJ000),()('limxxxxJ000),(),(limlimxxxxJ000010,)()(00xxJxxJnnn同样可证，若在x=x0处J(x)n次可微，则其n阶变分为2.3变分原理变分原理讨论泛函的极值及其条件问题，是变分法的理论基础。三个概念：泛函的极值泛函极值的必要条件泛函极值的充分条件泛函的极值定义2-16：设J(x)为Rn上某子集D中的泛函，对于D中某一点，称泛函J(x)在处达到极小（或极大）值，是指(或)。其中，0被称为泛函J(x)的极小（或极大）点。Dxˆxxˆ)ˆ()(xJxJ)ˆ()(xJxJ,),ˆ(DxUxxxxxUˆ),ˆ(nRx,xˆ泛函极值的必要条件定理2-2：设J(x)是在Rn的某个开子集上定义的泛函，且在处有一阶变分，如果泛函J(x)在处达到极值，则其一阶变分为0，即证明：设J(x)在处达到极小值，则存在一正数σ0，使当时，有。对于确定的和，作为ε的函数，在ε=0处达到极小值，则有,即。证毕。nRGxxˆxˆ0),ˆ(xxJxˆxxˆ),ˆ(ˆxUxx)ˆ()ˆ(xJxxJ)(),()ˆ(10xxJ00)('00)ˆ(),ˆ(xxJxxJ该必要条件非常重要，是后续讨论的基础。xxˆ泛函极值的充分条件定理2-3：设J(x)是在Rn的某个开子集上定义的泛函，且在处有二阶变分，如果泛函J(x)在处达到极小值，则其二阶变分大于等于0，即；反之，如果泛函J(x)在处达到极大值，则其二阶变分小于等于0，即。nRGxxˆxˆ02),ˆ(xxJxˆ02),ˆ(xxJ证明：以极小值为例。设J(x)在处达到极小值，则存在一正数σ0，使当时，有。对于确定的和，作为ε的函数，在ε=0处达到极小值，除应有,还应有即。证毕。00222)ˆ(),ˆ(xxJxxJxˆxxˆ),ˆ(ˆxUxx)ˆ()ˆ(xJxxJ)(),()ˆ(10xxJ00)('00)(''xxˆ2.4无约束条件的泛函极值问题—Euler方程考虑轨线，设其始端和终端均属已知，试寻求连续可微的极值轨线，使性能泛函)(tx00)(xtxffxtx)()(ˆtxfttdtttxtxLxJ0]),(),([)(]),(),([ttxtxL轨线除始端和终端固定及连续可微要求外，不受其他条件约束。)(tx(2-4-1)达到极值，其中被积函数是连续可微函数。假定极值轨线为，其附近一容许轨线为，其中连续可微。和两轨线间所有容许轨线可表示为（2-4-2）)(ˆtx)()(ˆttx)(t)(ˆtx)()(ˆttx10,)()(ˆ)(ttxtxx(t)当ε=0时，即为极值曲线，有)(ˆtx0)()(ˆtxtx将（2-4-2）代入（2-4-1）得（2-4-3）fttdttttxttxLxJ0]),()(ˆ),()(ˆ[)(tx(t)t0tf极值轨线与容许轨线)()(ˆttx)(ˆtxx(tf)x(t0)（2-4-3）式表明J(x)是ε的函数，在极值轨线上满足（2-4-4）由（2-4-1）、（2-4-2）和（2-4-3）式定义显然有和由（2-4-3）和（2-4-4）可得即（2-4-5）00)()(xJxJ)(ˆ)(limtxtx0)ˆ()(limxJxJ0000fttdttxttxtxLttxttxtxLtxJ)(]),(),([)()(]),(),([)()(000ffttttdttxttxtxLtdttxttxtxLt)(]),(),([)()(]),(),([)(泛函极值必要条件——一阶变分=0需变换为η(t)同类项泛函极值必要条件的具体描述，推导Euler方程的起点。因两端点固定，，故（2-4-7）式化为（2-4-8）将（2-4-6）式代入（2-4-5）式，有（2-4-7）至此，需要引入变分预备定理。对（2-4-5）式左边第二项分部积分，有（2-4-6）fffttttttdtxLdtdttxLdtxLt000)()()(000fftttttxLdtxLdtdxLt)()(00)()(ftt00fttdtxLdtdxLt)(变分预备定理：设M(t)是区间[t0，t1]上的n维连续向量函数，如果对于任意连续向量函数η(t)，，皆有，则在区间[t0，t1]上M(t)≡0。010)()(tt010ttdtttM)()(•根据变分预备定理，由于在极值轨线处（2-4-8）式对任意η(t)都应成立，所以有（2-4-9）)(ˆtx0xLdtdxL至此，可以得到以下定理。定理2-4：设已知轨线及其始端和终端，则其使性能泛函（2-4-10）取极值的必要条件是轨线为微分方程（2-4-11）的解。微分方程（2-4-11）的展开形式可写成（2-4-12）)(tx00xtx)(ffxtx)(fttdtttxtxLxJ0]),(),([)()(tx0xLdtdxL0xLxLLLxxxxtxx•方程（2-4-11）即为欧拉方程(EulerEquation)，也称为欧拉－拉格朗日方程(Euler-LagrangeEquation)。•一般情况下，欧拉方程是二阶非线性微分方程，属于两点边值问题。由欧拉方程，有•例2-1：设轨线的始端，终端，求使性能泛函达到极值的极值轨线。•解：这里)(tx0)0(x1)2(x2022)]()([)(dttxtxxJ)()(]),(),([22txtxttxtxL0xLdtdxL0)](2[)(2txdtdtx整理得考虑边界条件x(0)=0和，得c1=0，c2=1解此微分方程得0)()(txtxtctctxsincos)(21∴即为所求的极值曲线。#1)2(xttxsin)(以上欧拉方程的推导是将J(x)看作是ε的函数，按一般微积分运算中求极值方法处理。另一种方法可以直接应用变分的定义表达式求性能泛函极值。对性能泛函（2-4-13）将L在ε=0的邻域展开为Taylor级数（2-4-14）其中，H.O.T.为关于η(t)和的高阶无穷小项。即（2-4-15）泛函的增量为fttdttttxttxLxJ0]),()(ˆ),()(ˆ[)(...)()(]),(ˆ),(ˆ[]),()(ˆ),()(ˆ[TOHtxLtxLttxtxLtttxttxL)(t)ˆ()ˆ(xJxJJfttdtttxtxLtttxttxLJ0]}),(ˆ),(ˆ[]),()(ˆ),()(ˆ[{fttdtTOHxLxL0.}..{可定义和的一阶变分为和，