奥数知识总结

一、定义新运算基本概念：定义一种新的运算符号，这个新的运算符号包含有多种基本（混合）运算。基本思路：严格按照新定义的运算规则，把已知的数代入，转化为加减乘除的运算，然后按照基本运算过程、规律进行运算。关键问题：正确理解定义的运算符号的意义。注意事项：①新的运算不一定符合运算规律，特别注意运算顺序。②每个新定义的运算符号只能在本题中使用。我们学过的常用运算有：＋、－、×、÷等.如：2＋3＝52×3＝6都是2和3，为什么运算结果不同呢？主要是运算方式不同，实际是对应法则不同.可见一种运算实际就是两个数与一个数的一种对应方法，对应法则不同就是不同的运算.当然，这个对应法则应该是对任意两个数，通过这个法则都有一个唯一确定的数与它们对应.只要符合这个要求，不同的法则就是不同的运算.在这一讲中，我们定义了一些新的运算形式，它们与我们常用的“＋”，“－”，“×”，“÷”运算不相同.【【例例11】】设a△2baab，那么，5△6______，(5△2)△3_____.【【例例22】】已知a,b是任意自然数,我们规定:a⊕b=a+b-1,2abab,那么4(68)(35).【【例例33】】若用G（a）表示自然数a的约数的个数，如：自然数6的约数有1、2、3、6，共4个，记作G（6）=4，则G(36)+G(42)=。二、循环小数1.17的“秘密”10.1428577，20.2857147，30.4285717,…,60.85714272.推导以下算式⑴10.19；1240.129933；123410.123999333；12340.12349999；⑵121110.129090；12312370.123900300；123412311110.123490009000；⑶1234126110.123499004950；123411370.123499901110以0.1234为例，推导1234126110.123499004950．设0.1234A，将等式两边都乘以100，得：10012.34A；再将原等式两边都乘以10000，得：100001234.34A，两式相减得：10000100123412AA，所以12341261199004950A．3.循环小数化分数结论纯循环小数混循环小数分子循环节中的数字所组成的数循环小数去掉小数点后的数字所组成的数与不循环部分数字所组成的数的差分母n个9，其中n等于循环节所含的数字个数按循环位数添9，不循环位数添0，组成分母，其中9在0的左侧·0.9aa；··0.99abab；··10.09910990ababab；··0.990abcaabc，……【例1】计算：0.010.120.230.340.780.89【例2】11111111111111(1)()(1)()23423452345234【例3】计算11112111311143114120092009三、公式及技巧I.常用公式1.(1)1232nnn；2.2222(1)(21)1236nnnn；3.2223333(1)1231234nnnn；4.213572112311321nnnnn；5.等比数列求和公式：0111111(1)1nnnaqSaqaqaqq(1q)；6.平方差公式：22ababab；7.完全平方公式：2222abaabb，2222abaabb；用文字表述为：两数和(或差)的平方，等于这两个数的平方和，加上(或者减去)这两个数的积的2倍，两条公式也可以合写在一起：2222abaabb．为便于记忆，可形象的叙述为：“首平方，尾平方，2倍乘积在中央”．II.常用技巧1.1001abcabcabc；2.10101abababab；3.··10.1428577，··20.2857147，··30.4285717，··40.5714287，··50.7142857，··60.8571427；4.1111111111123321nnn个个，其中9n．【例1】222222222221245781011131416【例2】计算：2004200320032002200220012001200021。【例3】对自然数a和n，规定1nnanaa，例如2323312，那么：⑴122232992______________；⑵212223299______________．四、等差数列I.⑴先介绍一下一些定义和表示方法定义：从第二项起，每一项都比前一项大(或小)一个常数(固定不变的数)，这样的数列我们称它为等差数列．譬如：2、5、8、11、14、17、20、从第二项起，每一项比前一项大3，递增数列100、95、90、85、80、从第二项起，每一项比前一项小5，递减数列⑵首项：一个数列的第一项，通常用1a表示末项：一个数列的最后一项，通常用na表示，它也可表示数列的第n项。项数：一个数列全部项的个数，通常用n来表示；公差：等差数列每两项之间固定不变的差，通常用d来表示；和：一个数列的前n项的和，常用nS来表示．II.等差数列的相关公式(1)三个重要的公式①通项公式：递增数列：末项首项(项数1)公差，11naand（）递减数列：末项首项(项数1)公差，11naand（）回忆讲解这个公式的时候可以结合具体数列或者原来学的植树问题的思想，让学生明白末项其实就是首项加上(末项与首项的)间隔个公差个数，或者从找规律的情况入手．同时还可延伸出来这样一个有用的公式：nmaanmd（），nm（）②项数公式：项数(末项首项)公差+1由通项公式可以得到：11nnaad（）(若1naa)；11nnaad（）(若1naa)．找项数还有一种配组的方法，其中运用的思想我们是常常用到的．譬如：找找下面数列的项数：4、7、10、13、、40、43、46，分析：配组：(4、5、6)、(7、8、9)、(10、11、12)、(13、14、15)、、(46、47、48)，注意等差是3，那么每组有3个数，我们数列中的数都在每组的第1位，所以46应在最后一组第1位，4到48有484145项，每组3个数，所以共45315组，原数列有15组．当然还可以有其他的配组方法．③求和公式：和=(首项末项)项数÷2对于这个公式的得到可以从两个方面入手：(思路1)123989910011002993985051共50个101（）（）（）（）101505050(思路2)这道题目，还可以这样理解：23498991001009998973212101101101101101101101和=1+和倍和即，和(1001)1002101505050(2)中项定理：对于任意一个项数为奇数的等差数列，中间一项的值等于所有项的平均数，也等于首项与末项和的一半；或者换句话说，各项和等于中间项乘以项数．譬如：①48123236436922091800（），题中的等差数列有9项，中间一项即第5项的值是20，而和恰等于209；②65636153116533233331089（），题中的等差数列有33项，中间一项即第17项的值是33，而和恰等于3333．【例1】2、4、6、8、10、12、是个连续偶数列，如果其中五个连续偶数的和是320，求它们中最小的一个．【例2】⑴如果一个等差数列的第4项为21，第6项为33，求它的第8项.⑵如果一个等差数列的第3项为16，第11项为72，求它的第6项.【例3】15个连续奇数的和是1995，其中最大的奇数是多少？【例4】一个队列按照每排2，4，6，8人的顺序可以一直排到某一排有100人，那么这个队列共有多少人？五、分数裂项I.“裂差”型运算将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法.裂项分为分数裂项和整数裂项，常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。遇到裂项的计算题时，要仔细的观察每项的分子和分母，找出每项分子分母之间具有的相同的关系，找出共有部分，裂项的题目无需复杂的计算，一般都是中间部分消去的过程，这样的话，找到相邻两项的相似部分，让它们消去才是最根本的。(1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即1ab形式的，这里我们把较小的数写在前面，即ab，那么有1111()abbaab(2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即：1(1)(2)nnn，1(1)(2)(3)nnnn形式的，我们有：1111[](1)(2)2(1)(1)(2)nnnnnnn1111[](1)(2)(3)3(1)(2)(1)(2)(3)nnnnnnnnnn裂差型裂项的三大关键特征：（1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x为任意自然数)的，但是只要将x提取出来即可转化为分子都是1的运算。（2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接”（3）分母上几个因数间的差是一个定值。II.“裂和”型运算：常见的裂和型运算主要有以下两种形式：（1）11abababababba（2）2222ababababababba裂和型运算与裂差型运算的对比：裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。【例1】111......101111125960【例2】1111251335572325【例3】3245671255771111161622222929【例4】计算：1111111315356399143195【例5】111133535735721六、整数裂项基本公式(1)122334...(1)nn1(1)(1)3nnn(2)1123234345...(2)(1)(2)(1)(1)4nnnnnnn【例1】1223344556677889910________【例2】11!22!33!20082008!