20180209解斜三角形专题

超级名师工作室解斜三角形一、知识梳理1．内角和定理：在ABC中，ABC；sin()ABsinC；cos()ABcosC面积公式:111sinsinsin222ABCSabCbcAacB在三角形中大边对大角，反之亦然.2．正弦定理：在一个三角形中,各边和它的所对角的正弦的比相等.形式一：RCcBbAa2sinsinsin(解三角形的重要工具)形式二：CRcBRbARasin2sin2sin2(边角转化的重要工具)形式三：::sin:sin:sinabcABC形式四：sin,sin,sin222abcABCRRR3.余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍..形式一：2222cosabcbcA2222cosbcacaB2222coscababC(解三角形的重要工具)形式二：222cos2bcaAbc222cos2acbBac222cos2abcCab二、方法归纳(1)已知两角A、B与一边a,由A+B+C=π及sinsinsinabcABC，可求出角C，再求b、c.(2)已知两边b、c与其夹角A，由a2=b2+c2-2bccosA，求出a，再由余弦定理，求出角B、C.(3)已知三边a、b、c，由余弦定理可求出角A、B、C.(4)已知两边a、b及其中一边的对角A，由正弦定理sinsinabAB，求出另一边b的对角B，由C=π-(A+B)，求出c，再由sinsinacAC求出C，而通过sinsinabAB求B时，可能出一解，两解或无解的情况a=bsinA有一解babsinA有两解a≥b有一解ab有一解三、讲练结合问题一：利用正弦定理解三角形【例1】在ABC中，若5b，4B,1sin3A，则a.2【例2】在△ABC中，已知a=3,b=2,B=45°,求A、C和c.问题二：利用余弦定理解三角形【例3】设ABC的内角CBA、、所对的边分别为cba、、.已知1a，2b，41cosC.（Ⅰ）求ABC的周长；（Ⅱ）求CAcos的值.【注】常利用到的三角公式两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式：sinsincoscossinsin22sincos令2222222coscoscossinsincos2cossin2cos112sintantan1+cos2tancos1tantan21cos2sin22tantan21tan令　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝　　　【例4】设ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c,且32b+32c-32a=42bc.(Ⅰ)求sinA的值；(Ⅱ)求2sin()sin()441cos2ABCA的值.3问题三：正弦定理余弦定理综合应用【例5】（2011山东文数）在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知cosA-2cosC2c-a=cosBb．（I）求sinsinCA的值；（II）若cosB=14，ABC的周长为5，求b的长。【例6】ABC中，内角A、B、C对边长分别为a、b、c，已知222acb，且sincos3cossin,ACAC求b。问题四：三角恒等变形【例7】△ABC中，,,ABC所对的边分别为,,abc，sinsintancoscosABCAB,sin()cosBAC.（1）求,AC；（2）若33ABCS,求,ac.4问题五：判断三角形形状【例8】在△ABC中，在ABC中，a,b,c分别是角A、B、C所对的边，bcosA＝acosB，试判断ABC三角形的形状.【例9】在△ABC中，若2cosBsinA＝sinC，则△ABC的形状一定是（）A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等边三角形家庭作业1．在ABCΔ中，已知613πB,b,a，则c___________2．已知等腰三角形的底边上的高与底边长之比为34:，则它的顶角的正切值是__________3．在ABCΔ中，若2BcosAcosBsinAcosBsinAcosBcosAsinBsinAsin，那么三角形的形状为_______________4．在ABCΔ中，211BcotAcot，则Csinlog2_______________5．在ABCΔ中，313S,b,πA，则CsinBsinAsincba6．在锐角ABCΔ中，若11tBtan,tAtan，则t的取值范围是__________7．在ABCΔ中，若1222CsinBsinAsinCsinBsin，则A________________8．在ABCΔ中，已知42πA,a，若此三角形有两解，则b的取值范围是__________________9．(A)在ABCΔ中，acb,BCA22，则三角形的形状为________________(B)已知ABC，且sincoscosABC，则在cotcottantanBCBC、、sinB+sinC及coscosBC中必为常数的有_________10．(A)在ABCΔ中，21a,c，则C的取值范围是__________________(B)已知三角形的三边长分别是2223,33,20aaaaaa，则三角形的最大角等于______________11.甲船在A点发现乙船在北偏东60的B点处，测的乙船以每小时a海里的速度向正北行使。已知甲船速度是每小时a3海里，问：甲船如何行驶才能最快与乙船相遇？