对数的基本性质

对数的基本性质如果an=x，(a0,a≠1)，那么n叫做以a为底的x的对数，记做n=logax,其中a叫做对数的底数，x叫做真数，n叫做“以a为底n的对数”。1.我们称以10为底的对数叫做常用对数，记做lg。2.我们称以无理数e(e=2.71828…)为底的对数叫做自然对数，记做ln。3.0没有对数（以0为底数）。4.loga1=0,logaa=1*5.在实数范围内，负数没有对数；在复数范围内，负数有对数。6.对数的函数图像对数的基本运算：1.对数恒等式，alogaN=N2.loga(M×N)=logaM+logaN3.loga(M÷N)=logaM−logaN，（由公式2推导）4.logaMn=n×logaM，（可推导：loga1N=logaN−1=−logaN）5.loganM=1n×logaM6.logab×logba=17.换底公式，logab=logcb÷logca8.基本性质5的推广，loganbm=mn×logab对数基本性质的证明1.证明对数恒等式：𝐚𝐥𝐨𝐠𝐚𝐍=𝐍设an=N,→logaN=n,→alogaN=N2.证明：𝐥𝐨𝐠𝐚(𝐌×𝐍)=𝐥𝐨𝐠𝐚𝐌+𝐥𝐨𝐠𝐚𝐍设loga(M×N)=b;logaM=c;logaN=d则ab=M∙N;ac=M;ad=N那么M×N=ac×ad=a(c+d)=ab那么b=c+d，代入得loga(M×N)=logaM+logaN3.基本性质3由基本性质2推导而得，证明过程相同。4.证明：𝐥𝐨𝐠𝐚𝐌𝐧=𝐧×𝐥𝐨𝐠𝐚𝐌设logaMn=b;logaM=c则ab=Mn;ac=M那么Mn=(ac)n=an∙c=ab那么b=n∙c，代入得logaMn=n⋅logaM5.证明：𝐥𝐨𝐠𝐚𝐧𝐌=𝟏𝐧×𝐥𝐨𝐠𝐚𝐌设loganM=b;logaM=c则(an)b=M;ac=M那么an∙b=ac那么b=1nc，代入得loganM=1n∙logaM6.证明：𝐥𝐨𝐠𝐚𝐛×𝐥𝐨𝐠𝐛𝐚=𝟏设logab=N;logba=M那么aN=b;bM=a那么(bM)N=b,即bM∙N=b那么M×N=1，代入得logab×logba=17.证明换底公式：𝐥𝐨𝐠𝐚𝐛=𝐥𝐨𝐠𝐜𝐛÷𝐥𝐨𝐠𝐜𝐚设logcb=N;logca=M则cN=b;cM=a则logab=log(cM)cN=NMlogcc=N÷M代入得logab=logcb÷logca8.𝐥𝐨𝐠𝐚𝐧𝐛𝐦=𝐦𝐧×𝐥𝐨𝐠𝐚𝐛的证明过程，略。