周世勋量子力学第二章波函数与薛定谔方程

1第二章波函数与薛定谔方程ThewavefunctionandSchrödingerEquation22.1波函数的统计解释TheWavefunctionanditsstatisticexplanation2.2态叠加原理Theprincipleofsuperposition2.3薛定谔方程TheSchrödingerequation2.4粒子流密度和粒子数守恒定律Thecurrentdensityofparticlesandconservationlaws2.5定态薛定谔方程TimeindependentSchrödingerequation2.6一维无限深势阱Theinfinitepotentialwell2.7线性谐振子Thelinearharmonicoscillator2.8势垒贯穿Thetransmissionofpotentialbarrier学习内容31.理解微观粒子运动状态的描述波函数及其统计解释。2.通过对实验的分析,理解态叠加原理。3.掌握微观粒子运动的动力学方程波函数随时间演化的规律SchrÖdinger方程。4.掌握定态及其性质。5.通过对三个实例的讨论,掌握定态SchrÖdinger方程的求解。学习要求4微观粒子因具有波粒二象性，其运动状态的描述必有别于经典力学对粒子运动状态的描述，即微观粒子的运动状态不能用坐标、速度等物理量来描述。这就要求在描述微观粒子的运动时，要有创新的概念和思想来统一波和粒子这样两个在经典物理中截然不同的物理图像。§2.1波函数的统计解释1．微观粒子状态的描述微观粒子的运动状态可用一个复函数来描述，函数—称为波函数。(,)rt(,)rt★描述自由粒子的波是具有确定能量和动量的平面波()(,)iPrEtPrtAe★如果粒子处于随时间和位置变化的力场中运动，它的动量和能量不再是常量（或不同时为常量）粒子的状态就不能用平面波描写，而必须用较复杂的波描写，一般记为：(,t)r()U,rtr描写粒子状态的波函数，它通常是一个复函数。5•三个问题？(1)是怎样描述粒子的状态呢？(2)如何体现波粒二象性的？(3)描写的是什么样的波呢？§2.1波函数的统计解释（续1）avI01XP电子单缝衍射实验2．波函数的统计解释电子源感光屏PPQQO电子小孔衍射实验6▲两种错误的看法（1）波由粒子组成如水波，声波，由物质的分子密度疏密变化而形成的一种分布。这种看法与实验矛盾，它不能解释长时间单个电子衍射实验。电子一个一个的通过小孔，但只要时间足够长，底片上仍可呈现出衍射花纹。这说明电子的波动性并不是许多电子在空间聚集在一起时才有的现象，单个电子就具有波动性。事实上，正是由于单个电子具有波动性，才能理解氢原子（只含一个电子！）中电子运动的稳定性以及能量量子化这样一些量子现象。§2.1波函数的统计解释（续2）波由粒子组成的看法仅注意到了粒子性的一面，而抹杀了粒子的波动性的一面，具有片面性。（2）粒子由波组成电子是波包。把电子波看成是电子的某种实际结构，是三维空间中连续分布的某种物质波包。因此呈现出干涉和衍射等波动现象。波包的大小即电子的大小，波包的群速度即电子的运动速度。7§2.1波函数的统计解释（续3）什么是波包？波包是各种波数（长）平面波的迭加。平面波描写自由粒子，其特点是充满整个空间，这是因为平面波振幅与位置无关。如果粒子由波组成，那么自由粒子将充满整个空间，这是没有意义的，与实验事实相矛盾。实验上观测到的电子，总是处于一个小区域内。例如一个原子内的电子，其广延不会超过原子大小≈1。0A电子究竟是什么东西呢？是粒子？还是波？“电子既不是粒子也不是波”，既不是经典的粒子也不是经典的波，但是我们也可以说，“电子既是粒子也是波，它是粒子和波动二重性矛盾的统一。”这个波不再是经典概念的波，粒子也不是经典概念中的粒子。1.有一定质量、电荷等“颗粒性”的属性;2．有确定的运动轨道，每一时刻有一定位置和速度。经典概念中粒子意味着81.实在的物理量的空间分布作周期性的变化;2．干涉、衍射现象，即相干叠加性。经典概念中波意味着（1）入射电子流强度小，开始显示电子的微粒性，长时间亦显示衍射图样;▲玻恩的解释：OPP电子源感光屏QQ衍射实验事实：§2.1波函数的统计解释（续4）（2）入射电子流强度大，很快显示衍射图样.波动观点粒子观点明纹处:电子波强(x,y,z,t)2大电子出现的概率大暗纹处:电子波强(x,y,z,t)2小电子出现的概率小91926年,玻恩(M.Born)首先提出了波函数的统计解释：波函数在空间中某一点的强度（波函数模的平方）与粒子在该点出现的概率密度成比例。可见，波函数模的平方与粒子时刻在处附近出现的概率成正比。rt2,rt§2.1波函数的统计解释（续5）2*(,)(,)(,)rtrtrt设粒子状态由波函数描述，波的强度是(,)rt22d(,)(,)dWrtCrt则微观粒子在t时刻出现在处体积元dτ内的概率r这表明描写粒子的波是几率波(概率波),反映微观客体运动的一种统计规律性，波函数有时也称为概率幅。,rt按Born提出的波函数的统计解释,粒子在空间中某一点处出现的概率与粒子的波函数在该点模的平方成比例r1022d(,)(,)(,)dWrtwrtCrt（1）“微观粒子的运动状态用波函数描述，描写粒子的波是概概波”，这是量子力学的一个基本假设（基本原理）。知道了描述微观粒子状态的波函数，就可知道粒子在空间各点处出现的概率，以后的讨论进一步知道，波函数给出体系的一切性质，因此说波函数描写体系的量子状态（简称状态或态）（2）波函数一般用复函数表示。（3）波函数一般满足连续性、有限性、单值性。必须注意称为几率密度(概率密度)§2.1波函数的统计解释（续6）(,)(,)rtCrt令3．波函数的归一化条件11和所描写状态的相对概率是相同的，这里的是常数。,rt,CrtC时刻，在空间任意两点和处找到粒子的相对概率是：t1r2r221122(,)(,)(,)(,)CrtrtCrtrt可见，和描述的是同一概率波，所以波函数有一常数因子不定性。,rt,rt§2.1波函数的统计解释（续7）非相对论量子力学仅研究低能粒子，实物粒子不会产生与湮灭。这样，对一个粒子而言，它在全空间出现的概率等于一，所以粒子在空间各点出现的概率只取决于波函数在空间各点强度的相对比例，而不取决于强度的绝对大小，因而，将波函数乘上一个常数后，所描写的粒子状态不变，即和描述同一状态,rt,Crt这与经典波截然不同。对于经典波，当波幅增大一倍（原来的2倍）时，则相应的波动能量将为原来的4倍，因而代表完全不同的波动状态。经典波无归一化问题。12为消除波函数有任一常数因子的这种不确定性，利用粒子在全空间出现的概率等于一的特性，提出波函数的归一化条件：§2.1波函数的统计解释（续8）又因222(,)d(,)d1rtCrt21(,)dCrt其中称为归一化常数于是222(,)(,)(,)(,)drtwrtrtrt归一化条件消除了波函数常数因子的一种不确定性。2(,)d(,)d1wrtrt满足此条件的波函数称为归一化波函数。,rt13Ex.1已知一维粒子状态波函数为221(,)exp22ixtAxt求归一化的波函数，粒子的概率分布，粒子在何处出现的概率最大。2222(,)ddxxtxAex22A1/2/A归一化常数12211/222(,)/ixtxte归一化的波函数解：(1).求归一化的波函数§2.1波函数的统计解释（续9）（2）概率分布：222(,)(,)xwxtxte（3）由概率密度的极值条件222d(,)20dxwxtxex0x由于220d(,)0dxwxtx故处，粒子出现概率最大。0x14注意（1）归一化后的波函数仍有一个模为一的因子不定性（δ为实数）。若是归一化波函数，那么也是归一化波函数，与前者描述同一概率波。ie),(tr,rt,irte若对空间非绝对可积时，需用所谓δ函数归一化方法进行归一化。2(,)(,)wrtrt（2）只有当概率密度对空间绝对可积时，才能按归一化条件进行归一化。2(,)d1rt(,)wrt§2.1波函数的统计解释（续10）平面波归一化IDirac—函数定义：0000)(xxxxxx0000()d()d1(0)xxxxxxxx或等价的表示为：对在x=x0邻域连续的任何函数f（x）有：00()()d()fxxxxfx—函数亦可写成Fourier积分形式：0()01()d2ikxxxxke令k=px/,dk=dpx/,则0()01()d2xipxxxxxep性质：)()()()(000xxxfxxxf)(||1)(xaax)()(xx0x0x)(0xxdxeppxpxpxppixxxxxx)(021)(，则，作代换：16()2dxxiPPxAex)(122xxPPA22()xxAPPSolve：1/2A归一化常数()xxPP★例如平面波的归一化问题ex.2已知平面波,求归一化常数xxipxEtpAeA§2.1波函数的统计解释（续11）归一化的平面波：)EtxP(i/Pxxe/2121001d2ixxxxe利用2*(,)d(,)(,)dxxxPPPxtxxtxtx2(,)d()xPxxxtxPP归一化条件)(||1)(xx17补充作业题1.下列一组波函数共描写粒子的几个不同状态?并指出每个状态由哪几个波函数描写。2/2/(2)/1233/2/2/456,,3,,,(42).ixixixixixixeeeeeie12sin()||()1,2,3,20||sin()||()1,2,3,20||nAxaxaxnaxanAxaxaxnaxa2.已知下列两个波函数试判断:(1)波函数和是否描述同一状态?(2)对取两种情况,得到的两个波函数是否等价?1()x2()x1()x2n18开1闭2，衍射花样（兰曲线）211w开2闭1，衍射花样（紫红曲线）222w同时开1，2，衍射花样（黑曲线）实验事实2212w显然122212w§2.2态叠加原理1.电子双缝衍射实验SD122P1PP12表明概率不遵守迭加原则，而波函数（概率幅）遵守迭加原则：2119物理意义当两个缝都开着时，电子既可能处在态，也可能处在态，也可处在和的线性迭加态。可见，若和是电子的可能状态，则也是电子的可能状态。21212211反言之，电子经双缝衍射后处于态，则电子部分地既可处于态，也可部分地处在态。2112§2.2态迭加原理（续1）迭加态的概率:2212w22**121212干涉项电子穿过狭缝１出现在Ｐ点的概率密度电子穿过狭缝２出现在Ｐ点的概率密度当两个缝的几何参数或电子束相对位置不完全对称时，迭加态,其概率为2211cc22222112212121212wcccccc干涉项20态的迭加原理是量子力学的一个基本假设，它的正确性也依赖于实验的证实。1122nnccc112nkkc1.若是粒子的