zjq勾股定理及最短

1勾股定理中最短典例一、台阶中的最值问题1、如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于5cm，3cm和1cm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物．请你想一想，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点，最短线路是多少？分析：此类题目只需要将其展开便可直观的得出解题思路．将台阶展开得到的是一个矩形，蚂蚁要从B点到A点的最短距离，便是矩形的对角线，利用勾股定理即可解出答案．解：将台阶展开，如下图，∵AC=3×3+1×3=12，BC=5，在△ABC中∠C=90°，由勾股定理得：AB2=AC2+BC2=169，又∵边AB＞0∴AB=13（cm），答：蚂蚁爬行的最短线路为13cm．二、圆柱(锥)中的最值问题2、如图，有一圆柱形油罐，现要从油罐底部的一点A环绕油罐建梯子，并且要正好建到A点正上方的油罐顶部的B点，已知油罐高AB=5米，油罐底部周长为12米，那么梯子最短要多少米？分析：要求蚂蚁爬行的最短距离，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果解：如图，将圆柱体展开，连接A、B，根据两点之间线段最短，梯子最短是AB。在△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=5，由勾股定理得：AB2=AC2+BC2=169又∵边AB＞0∴AB=13（cm），答：梯子最短是13米3、如图，有一圆柱，其高为12cm，底面半径为3cm，在圆柱下底面A点处有一只蚂蚁，它想得到上底面B处的食物，则蚂蚁经过的最短距离为15cm．（π取3）ACB2分析：本题应先把圆柱展开即得其平面展开图，则A，B所在的长方形的长为圆柱的高12cm，宽为底面圆周长的一半为πr，蚂蚁经过的最短距离为连接A，B的线段长，由勾股定理求得AB的长．解：圆柱展开图为长方形，则A，B所在的长方形的长为圆柱的高12cm，宽为底面圆周长的一半为πrcm，蚂蚁经过的最短距离为连接A，B的线段长，AC=12,BC=3π≈3×3=9，在△ABC中，∠C=90°,由勾股定理得AB=22912=225又∵边AB＞0∴AB=15（cm），故蚂蚁经过的最短距离为15cm．（π取3）4.有一圆形油罐底面圆的周长为24m，高为6m，一只老鼠从距底面1m的A处爬行到对角B处吃食物，它爬行的最短路线长为多少？分析：由于老鼠是沿着圆柱的表面爬行的，故需把圆柱展开成平面图形.根据两点之间线段最短，可以发现A、B分别在圆柱侧面展开图的宽1m处和长24m的中点处，即AB长为最短路线.(如图)解：AC=6–1=5，BC=24×21=12，在△ABC中，∠C=90°，由勾股定理得：AB2=AC2+BC2=169又∵边AB＞0∴AB=13（m），所以老鼠爬行的最短路线为13m三、正方体中的最值问题5.如图，边长为2的正方体中，一只蚂蚁从A顶点出发沿着正方体的外表面爬到B顶点的最短路程是分析：要求正方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将正方体展开，然后利用两点之间线段最短解答．BACAB3ABA1B1DCD1C1214解：如图将正方体展开，根据“两点之间，线段最短”知，线段AB即为最短路线．AB=52204222四、长方体中的最值问题6．如图，一只蚂蚁从实心长方体的顶点A出发，沿长方体的表面爬到对角顶点C1处（三条棱长如图所示），问怎样走路线最短？最短路线长为多少？分析:根据题意分析蚂蚁爬行的路线有三种情况(如图①②③),由勾股定理可求得图1中AC1爬行的路线最短.五、点到线的最短如图，三个村庄A、B、C之间的距离分别为AB=15km，BC=9km，AC=12km．已知A、B两村之间已修建了一条笔直的村级公路AB，为了实现村村通公路，现在要从C村修一条笔直公路CD直达AB．已知公路的造价为10000元/km，求修这条公路的最低造价是多少？分析：首先得出BC2+AC2=92+122=225，AB2=152=225，然后利用其逆定理得到∠ACB=90°确定最短距离，然后利用面积相等求得CD的长，最终求得最低造价．解：∵BC2+AC2=92+122=225，2.7ABBCACCDAB2=152=225，7.2×10000=72000元∴BC2+AC2=AB2答：最低造价为72000元．∴∠ACB=90°当CD⊥AB时CD最短，造价最低CDABBCACSABC2121△3716221AC534221AC