高中数学逻辑专题训练

§1–2简易逻辑一、命题1.2.1如果一个命题的逆命题是真命题，那么这个命题的()．(A)否命题必是真命题(B)否命题必是假命题(C)原命题必是假命题(D)逆否命题必是真命题解析一个命题的逆命题与否命题真假相同，答案为A．1.2.2命题“对任意的x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是()．(A)不存在x∈R，x3－x2＋1≤0(B)存在x∈R，x3－x2＋1≤0(C)存在x∈R，x3－x2＋10(D)对任意的x∈R，x3－x2＋10解析“对任意的x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是“存在x∈R，使得x3－x2＋10”，答案为C．1.2.3与命题“若a∉M，则b∉M”等价的命题是()．(A)若b∈M，则a∉M(B)若b∉M，则a∈M(C)若b∈M，则a∈M(D)若a∉M，则b∈M解析逆否命题与原命题互为等价命题，原命题的逆否命题为“若b∈M，则a∈M”，所以，答案为C．1.2.4设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：“当f(k)≥k2成立时，总可以推出f(k＋1)≥(k＋1)2成立”，那么，下列命题总成立的是()．(A)若f(3)≥9成立，则当k≥1时，均有f(k)≥k2成立(B)若f(5)≥25成立，则当k≤5时，均有f(k)≥k2成立(C)若f(7)49成立，则当k≥8时，均有f(k)k2成立(D)若f(4)＝25成立，则当k≥4时，均有f(k)≥k2成立解析由2516得f(4)＝25使得f(4)≥42成立，由已知可得当k≥4时，均有f(k)≥k2成立，答案为D．1.2.5命题“若x21，则－1x1”的逆否命题是()．(A)若x2≥1，则x≥1或x≤－1(B)若－1x1，则x21(C)若x1或x－1，则x21(D)若x≥1或x≤－1，则x2≥1解析命题“若x21，则－1x1”的逆否命题是“若x≥1或x≤－1，则x2≥1”，答案为D．1.2.6在原命题“若A∪B≠B，则A∩B≠A”与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数是．解析原命题的逆否命题为“若A∩B＝A，则A∪B＝B”．当A∩B＝A时，任取x∈A＝A∩B，必有x∈B，则A⊆B，必有A∪B＝B成立，所以，逆否命题和原命题都是真命题．原命题的否命题为“若A∪B＝B，则A∩B＝A”，同上，可知否命题和逆命题也都是真命题．所以，在这四个命题中，真命题的个数是4．1.2.7若a，b都是非零实数，证明：|a|＋|b|＝|a＋b|与ab0等价．解析若|a|＋|b|＝|a＋b|，则(|a|＋|b|)2＝|a＋b|2，a2＋b2＋2|a||b|＝a2＋b2＋2ab，于是，|ab|＝ab，可得ab0；若ab0，则或于是，|a|＋|b|＝|a＋b|．所以，当a，b都是非零实数时，|a|＋|b|＝|a＋b|与ab0等价．1.2.8已知A和B都是非空集合，证明：“A∪B＝A∩B”与“A＝B”是等价的．解析若A∪B＝A∩B，则任取x∈A，必有x∈A∪B＝A∩B，于是，x∈A∩B，则x∈B，所以，A⊆B，同理可得B⊆A，于是，A＝B；若A＝B，则显然有A∪B＝A∩B，所以，“A∪B＝A∩B”与“A＝B”是等价的．1.2.9已知a，b，c是实数，则与“a，b，c互不相等”等价的是()．(A)a≠b且b≠c(B)(a－b)(b－c)(c－a)≠0(C)(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≠0(D)a2，b2，c2互不相等解析由于不相等关系不具有传递性，当a≠b且b≠c，a与c可能相等；由(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≠0可得a＝b，b＝c，c＝a中至少有一个不成立，即(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≠0等价于“a，b，c不全相等”，而不能等价于“a，b，c互不相等”；a＝－1，b＝0，c＝1，此时a，b，c互不相等，但a2＝c2，所以，“a，b，c互不相等”与“a2，b2，c2互不相等”不是等价的；a≠b等价于a－b≠0，“a，b，c互不相等”等价于a－b≠0，b－c≠0，c－a≠0同时成立，所以，“a，b，c互不相等”与“(a－b)(b－c)(c－a)≠0”等价，答案为B．1.2.10命题“若ab＝0，则a、b中至少有一个为零”的逆否命题为．解析原命题的逆否命题为“若a、b均不为零，则ab≠0”．1.2.11给出下列四个命题：①若x2＝y2，则x＝y；②若x≠y，则x2≠y2；③若x2≠y2，则x≠y；④若x≠y且x≠－y，则x2≠y2，其中真命题的序号是．解析由x2＝y2可得x＝y或x＝－y，命题①不成立；若x＝－y≠0，此时x≠y，而x2＝y2，于是，命题②不成立；若x2≠y2时有x＝y，则可得x2＝y2，矛盾，于是，命题③成立；对于x≠y且x≠－y，如果x2＝y2，则有x＝y或x＝－y，即x＝y与x＝－y至少有一个成立，矛盾，于是，命题④成立．所以，上述四个命题中，真命题的序号是③和④．1.2.12已知命题p：方程x2＋mx＋1＝0有两个不等的负实根．命题q：方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0没有实根．若“p或q”为真，“p且q”为假，求实数m的取值范围．解析当命题p为真时，应有解得m2．当命题q为真时，应有Δ＝16(m－2)2－160，解得1m3．于是，使“p或q”为真的m的取值范围是m1，使“p且q”为假的m的取值范围是m≤2或m≥3，所以，使两者同时成立的m的取值范围是m≥3或1m≤2．1.2.13某人要在一张3×3的表格中填入9个数(填的数有正有负)，他要使得表中任意一行的三个数之和为正，而任意一列的三个数之和为负．求证：他一定不能写出满足要求的数表．解析若此人能写出满足要求的数表，则由a11＋a12＋a130，a21＋a22＋a230，a31＋a32＋a330可得数表中的九个数之和为正；同时，又有a11＋a21＋a310，a12＋a22＋a320，a13＋a23＋a330，则数表中的九个数之和为负，矛盾，所以，此人一定不能写出满足要求的数表．a11a12a13a21a22a23a31a32a331.2.14设a，b∈R，A＝{(x，y)|y＝ax＋b，x∈Z}，B＝{(x，y)|y＝3x2＋15，x∈Z}，C＝{(x，y)|x2＋y2≤144}都是平面xOy内的点的集合．求证：不存在a，b，使得A∩B≠∅，且点(a，b)∈C同时成立．解析设满足要求的a，b存在，则P(a，b)∈C，即a2＋b2≤144．由得ax＋b－(3x2＋15)＝0，在aOb平面内，原点到直线ax＋b－(3x2＋15)＝0的距离是＝3≥12，其中等号当且仅当3，即x2＝3时成立，但它与x∈Z矛盾，所以，使A∩B≠∅成立的(a，b)必有12，与a2＋b2≤144矛盾，所以，满足要求的a，b不存在．1.2.15中学数学中存在许多关系，比如“相等关系”，“平行关系”等等，如果集合A中元素之间的一个关系“~”满足以下三个条件：(1)自反性：对于任意a∈A，都有a~a；(2)对称性：对于a，b∈A，若a~b，则有b~a；(3)传递性：对于a，b，c∈A，若a~b，b~c，则有a~c，则称“~”是集合A的一个等价关系，例如：“数的相等”是等价关系，而“直线的平行”不是等价关系(自反性不成立)，请你再列出三个等价关系：．解析由集合、角、向量的性质可知，“集合相等”、“角相等”、“向量相等”都是满足要求的等价关系．1.2.16已知函数f(x)在R上是增函数，a，b∈R．写出命题“若a＋b0，则f(a)＋f(b)f(－a)＋f(－b)”的逆命题，并判断其真假．若所写命题是真命题，给出证明；若所写命题是假命题，给出反例．解析所求逆命题为：已知函数f(x)在R上是增函数，a，b∈R．若f(a)＋f(b)f(－a)＋f(－b)，则a＋b0．该命题是真命题．证明如下：若a＋b≤0，即a≤－b，由函数f(x)在R上是增函数得f(a)≤f(－b)，同理f(b)≤f(－a)，由此可得f(a)＋f(b)≤f(－a)＋f(－b)，与已知条件矛盾．所以，a＋b0．二、充分条件和必要条件1.2.17两个圆“周长相等”是“面积相等”的()．(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件解析两个圆周长相等，则由2πr1＝2πr2得两圆半径r1＝r2，则两圆面积相等，反之亦然，所以，两个圆“周长相等”是“面积相等”的充要条件，答案为C．1.2.18P：四边形四条边长相等，Q：四边形是平行四边形，则P是Q的()．(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件解析当四边形的四条边长相同时，它是菱形，一定是平行四边形；反之，一个平行四边形的四条边长不一定都相等，所以，P是Q的充分不必要条件，答案为A．1.2.19已知a，b，c，d都是实数，则“a＝b且c＝d”是“a＋c＝b＋d”的()．(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件解析对于实数a，b，c，d，如果a＝b且c＝d，则有a－b＝0，c－d＝0，则a＋c－(b＋d)＝(a－b)＋(c－d)＝0，于是，a＋c＝b＋d；反之，如果a＝1，b＝2，c＝4，d＝3，有a＋c＝b＋d，但此时a≠b，c≠d，所以，“a＝b且c＝d”是“a＋c＝b＋d”的充分不必要条件，答案为A．1.2.20已知a，b，c是实数，则“a＝b”是“ac＝bc”的()．(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件解析如果a＝b，则a－b＝0，于是，ac－bc＝(a－b)c＝0，可得ac＝bc；反之，如果c＝0，a＝1，b＝2，此时有ac＝bc，但a≠b，所以，“a＝b”是“ac＝bc”的充分不必要条件，答案为A．1.2.21设m，n是整数，则“m，n均为偶数”是“m＋n是偶数”的()．(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件解析如果m，n均为偶数，则m＋n一定是偶数；反之，如果m＝1，n＝3，m＋n＝4为偶数，但此时m和n都不是偶数，所以，“m，n均为偶数”是“m＋n是偶数”的充分而不必要条件，答案为A．1.2.22设集合A，B是全集U的两个子集，则AB是∁UA∪B＝U的()．(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件解析由表示集合U，A，B关系的图形可知当AB时必有∁UA∪B＝U成立，反之，当A＝B时，也有∁UA∪B＝U成立，即A是B的真子集不是∁UA∪B＝U成立的必要条件，所以，答案为A．1.2.23对于集合M和P，“x∈M或x∈P”是“x∈M∩P”的()．(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件解析由表示集合M，P的图形可知当x∈M或x∈P时不一定有x∈M∩P，而当x∈M∩P时必有x∈M或x∈P，所以，“x∈M或x∈P”是“x∈M∩P”的必要不充分条件，答案为B．1.2.24如果x，y是实数，那么“cosx＝cosy”是“x＝y”的()．(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件解析当cosx＝cosy时，不一定有x＝y，而当x＝y时，必有cosx＝cosy，所以，题1.2.22题1.2.23“cosx＝cosy”是“x＝y”的必要不充分条件，答案为B．1.2.25使不等式(1－|x|)(1＋x)0成立的充要条件为()．(A)x－1或x1(B)－1x1(C)x－1且x≠1(D)x1且x≠－1解析此不等式等价于或解得－1x1或x－1，即为x1且x≠－1，所以，答案为D．1.2.26一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一个正数根和一个负数根的充要条件是()．(A)ab0(B)ab0(C)ac0(D)ac0解析若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一个正数根x1和一个负数根x2，则x1x2＝0，则ac0；反之，若ac0，一元二次方程的判别式Δ＝b2－4ac0，此方程一定有