高中数学必修一幂函数知识点详细

2.4幂函数知识点详细讲解重难点：掌握常见幂函数的概念、图象和性质，能利用幂函数的单调性比较两个幂值的大小．考纲要求：①了解幂函数的概念；②结合函数的图像，了解他们的变化情况．经典例题：比较下列各组数的大小：（1）1.5，1.7，1；（2）（－），（－），1.1；（3）3.8，3.9，（－1.8）；（4）31.4，51.5.当堂练习：1．函数y＝（x2－2x）的定义域是（）A．{x|x≠0或x≠2}B．（－∞，0）（2，＋∞）C．（－∞，0）［2，＋∞）D．（0，2）3．函数y＝的单调递减区间为（）A．（－∞，1）B．（－∞，0）C．［0，＋∞］D．（－∞，＋∞）3．如图，曲线c1,c2分别是函数y＝xm和y＝xn在第一象限的图象，那么一定有（）A．nm0B．mn0C．mn0D．nm04．下列命题中正确的是（）A．当时，函数的图象是一条直线B．幂函数的图象都经过（0，0），（1，1）两点C．幂函数的图象不可能在第四象限内D．若幂函数为奇函数，则在定义域内是增函数5．下列命题正确的是（）幂函数中不存在既不是奇函数又不是偶函数的函数图象不经过（—1，1）为点的幂函数一定不是偶函数如果两个幂函数的图象具有三个公共点，那么这两个幂函数相同如果一个幂函数有反函数，那么一定是奇函数6．用“”或””连结下列各式：，．7．函数y＝在第二象限内单调递增，则m的最大负整数是________．8．幂函数的图象过点(2,),则它的单调递增区间是．9．设x∈(0,1)，幂函数y＝的图象在y＝x的上方，则a的取值范围是．10．函数y＝在区间上是减函数．11．试比较的大小．12．讨论函数y＝x的定义域、值域、奇偶性、单调性。13．一个幂函数y＝f(x)的图象过点(3,),另一个幂函数y＝g(x)的图象过点(－8,－2),(1)求这两个幂函数的解析式；（2）判断这两个函数的奇偶性；（3）作出这两个函数的图象，观察得f(x)g(x)的解集.14．已知函数y＝．（1）求函数的定义域、值域；（2）判断函数的奇偶性；（3）求函数的单调区间．参考答案：经典例题：解：（1）∵所给的三个数之中1.5和1.7的指数相同，且1的任何次幂都是1，因此，比较幂1.5、1.7、1的大小就是比较1.5、1.7、1的大小，也就是比较函数y=x中，当自变量分别取1.5、1.7和1时对应函数值的大小关系，因为自变量的值的大小关系容易确定，只需确定函数y=x的单调性即可，又函数y=x在（0，+∞）上单调递增，且1.7＞1.5＞1，所以1.7＞1.5＞1．（2）（－）=（），（－）=（），1.1=［（1.1）2］=1.21．∵幂函数y=x在（0，+∞）上单调递减，且＜＜1.21，∴（）＞（）＞1.21，即（－）＞（－）＞1.1．（3）利用幂函数和指数函数的单调性可以发现0＜3.8＜1，3.9＞1，（－1.8）＜0，从而可以比较出它们的大小．（4）它们的底和指数也都不同，而且都大于1，我们插入一个中间数31.5，利用幂函数和指数函数的单调性可以发现31.4＜31.5＜51.5．当堂练习：1.B;2.B;3.B;4.C;5.B;6.，;7.;8.(－∞,0);9.(－∞,1);10.（0，＋∞）;11．因，，所以12．函数y＝x的定义域是R；值域是(0,＋∞)；奇偶性是偶函数；在(－∞,0)上递减；在[0,＋∞)上递增．13．（1）设f(x)＝xa,将x＝3,y＝代入，得a＝,；设g(x)＝xb,将x＝－8,y＝－2代入，得b＝,；（2）f(x)既不是奇函数，也不是偶函数；g(x)是奇函数；（3）(0,1)．14．这是复合函数问题，利用换元法令t＝15－2x－x2，则y＝，（1）由15－2x－x2≥0得函数的定义域为［－5，3］，∴t＝16－（x－1）2［0，16］．∴函数的值域为［0，2］．（2）∵函数的定义域为［－5，3］且关于原点不对称，∴函数既不是奇函数也不是偶函数．（3）∵函数的定义域为［－5，3］，对称轴为x＝1，∴x［－5，1］时，t随x的增大而增大；x（1，3）时，t随x的增大而减小．又∵函数y＝在t［0，16］时，y随t的增大而增大，∴函数y＝的单调增区间为［－5，1］，单调减区间为（1，3）．