高考调研数学3-1

课时作业(十三)1．(2012·广东六校联合体第二次联考)已知函数y＝xlnx，则这个函数在点x＝1处的切线方程是()A．y＝2x－2B．y＝2x＋2C．y＝x－1D．y＝x＋1答案C解析y′＝lnx＋1，∴x＝1时，y′|x＝1＝1，∵x＝1时，y＝0，∴切线方程为y＝1(x－1)．2．(2012·福州质检)有一机器人的运动方程为s＝t2＋3t(t是时间，s是位移)，则该机器人在时刻t＝2时的瞬时速度为()A.194B.174C.154D.134答案D解析∵s(t)＝t2＋3t，∴s′(t)＝2t－3t2，∴机器人在时刻t＝2时的瞬时速度为s′(2)＝4－34＝134.3．(2011·东城区)曲线y＝x3在点(1,1)处的切线与x轴及直线x＝1所围成的三角形的面积为()A.112B.16C.13D.12答案B解析求导得y′＝3x2，所以y′＝3x2|x＝1＝3，所以曲线y＝x3在点(1,1)处的切线方程为y－1＝3(x－1)，易知三线所围成的三角形是直角三角形，三个交点的坐标分别是(23，0)，(1,0)，(1,1)，于是三角形的面积为12×(1－23)×1＝16，故选B.4．设曲线y＝x＋1x－1在点(3,2)处的切线与直线ax＋y＋1＝0垂直，则a等于()A．2B．－2C．－12D.12答案B解析因为y′＝x－1－x－1x－12＝－2x－12，所以曲线在点(3,2)处的切线斜率k切＝y′|x＝3＝－12，因为－a·k切＝－1，所以a＝－2，故选B.5．(2012·济宁模拟)设a∈R，函数f(x)＝ex－a·e－x的导函数y＝f′(x)是奇函数，若曲线y＝f(x)的一条切线斜率为32，则切点的横坐标为()A.ln22B．－ln22C．ln2D．－ln2答案C解析y＝f′(x)＝ex＋a·e－x且函数y＝f′(x)为奇函数．∴f′(0)＝0，∴a＝－1.令ex－e－x＝32，可得x＝ln2.6．f(x)与g(x)是定义在R上的两个可导函数，若f(x)，g(x)满足f′(x)＝g′(x)，则f(x)与g(x)满足()A．f(x)＝g(x)B．f(x)＝g(x)＝0C．f(x)－g(x)为常数函数D．f(x)＋g(x)为常数函数答案C7．已知函数f(x)＝sinx＋ex＋x2011，令f1(x)＝f′(x)，f2(x)＝f′1(x)，f3(x)＝f′2(x)，…，fn＋1(x)＝f′n(x)，则f2012(x)＝()A．sinx＋exB.cosx＋exC．－sinx＋exD．－cosx＋ex答案A解析∵f1(x)＝f′(x)＝cosx＋ex＋2011x2010，f2(x)＝f′1(x)＝－sinx＋ex＋2011×2010x2009，f3(x)＝f′2(x)＝－cosx＋ex＋2011×2010×2009x2008，f4(x)＝f′3(x)＝sinx＋ex＋2011×2010×2009×2008x2007，…，∴f2012(x)＝sinx＋ex.8．下列图像中，有一个是函数f(x)＝13x3＋ax2＋(a2－1)x＋1(a∈R，a≠0)的导函数f′(x)的图像，则f(－1)＝()A.13B．－13C.73D．－13或53答案B解析f′(x)＝x2＋2ax＋a2－1＝(x＋a)2－1，∴y＝f′(x)是开口向上，以x＝－a为对称轴(－a，－1)为顶点的抛物线．∴(3)是对应y＝f′(x)的图像，∵由图像知f′(0)＝0，对称轴x＝－a0.∴a2－1＝0，a0∴a＝－1.∴y＝f(x)＝13x3－x2＋1.∴f(－1)＝－13选B.9．(2012·衡水调研)直线y＝kx是曲线y＝sinx的一条切线，则符合条件的一个k的值为________．答案1解析因为y＝sinx，所以y′＝cosx，当x＝0时，y′＝1，所以y＝kx，k＝1.10．已知f(x)＝x2＋3xf′(2)，则f′(2)＝________.答案－2解析由题意，得f′(x)＝2x＋3f′(2)∴f′(2)＝2×2＋3f′(2)，∴f′(2)＝－2.11．(原创)曲线y＝x2－3x＋2lnx的切线中，斜率最小的切线方程为________．答案x－y－3＝0解析y′＝2x＋2x－3(x0)≥22x·2x－3＝1，当且仅当x＝1时成立．x＝1时，y＝1－3＋0＝－2.∴切线方程为y＋2＝1·(x－1)．∴y＝x－3即x－y－3＝0.12．直线y＝12x＋b是曲线y＝lnx的一条切线则实数b＝________.答案ln2－1解析∵切线斜率k＝12，y′＝1x，∴x＝2，y＝ln2.∴切线方程为y－ln2＝12(x－2)．即y＝12x＋ln2－1，∴b＝ln2－1.13．(2012·济南统考)点P是曲线x2－y－2lnx＝0上任意一点，求点P到直线y＝x－2的最短距离．答案2解析y＝x2－2lnx＝x2－lnx(x0)，y′＝2x－1x，令y′＝1，即2x－1x＝1，解得x＝1或x＝－12(舍去)，故过点(1,1)且斜率为1的切线为：y＝x，其到直线y＝x－2的距离2即为所求．14．设有抛物线C：y＝－x2＋92x－4，通过原点O作C的切线y＝kx，使切点P在第一象限．(1)求k的值；(2)过点P作切线的垂线，求它与抛物线的另一个交点Q的坐标．答案(1)12(2)(92，－4)解析(1)设点P的坐标为(x1，y1)，则y1＝kx1.①y1＝－x21＋92x1－4.②①代入②得x21＋(k－92)x1＋4＝0.∵P为切点，∴Δ＝(k－92)2－16＝0，得k＝172或k＝12.当k＝172时，x1＝－2，y1＝－17.当k＝12时，x1＝2，y1＝1.∵P在第一象限，∴所求的斜率k＝12.(2)过P点作切线的垂线，其方程为y＝－2x＋5.③将③代入抛物线方程得x2－132x＋9＝0.设Q点的坐标为(x2，y2)，则2x2＝9，∴x2＝92，y2＝－4.∴Q点的坐标为(92，－4)．15．已知曲线C：y＝x3－3x2＋2x，直线l：y＝kx，且直线l与曲线C相切于点(x0，y0)(x0≠0)，求直线l的方程及切点坐标．答案y＝－14x，(32，－38)解析∵直线过原点，则k＝y0x0(x0≠0)．由点(x0，y0)在曲线C上，则y0＝x30－3x20＋2x0，∴y0x0＝x20－3x0＋2.又y′＝3x2－6x＋2，∴在(x0，y0)处曲线C的切线斜率应为k＝f′(x0)＝3x20－6x0＋2.∴x20－3x0＋2＝3x20－6x0＋2.整理得2x20－3x0＝0.解得x0＝32(x0≠0)．这时，y0＝－38，k＝－14.因此，直线l的方程为y＝－14x，切点坐标是(32，－38)．1．(2011·江西文)曲线y＝ex在点A(0,1)处的切线斜率为()A．1B．2C．eD.1e答案A解析由题意知y′＝ex，故所求切线斜率k＝ex|x＝0＝e0＝1.2．(2011·湖南文)曲线y＝sinxsinx＋cosx－12在点M(π4，0)处的切线的斜率为()A．－12B.12C．－22D.22答案B解析y′＝cosxsinx＋cosx－sinxcosx－sinxsinx＋cosx2＝11＋sin2x，把x＝π4代入得导数值为12.3．如图，函数y＝f(x)的图像在点P处的切线方程是y＝－x＋8，则f(5)＋f′(5)＝________.答案2解析∵x＝5，∴f(5)＝－5＋8＝3，∴f′(5)＝－1，∴f(5)＋f′(5)＝3－1＝2.4．(2012·郑州第一次质测)直线y＝kx＋1与曲线y＝x3＋ax＋b相切于点A(1,3)，则a－b等于()A．－4B．－1C．3D．－2答案A解析直线y＝kx＋1和曲线y＝x3＋ax＋b均过点A(1,3)，则有k＝2，a＋b＝2，y′＝3x2＋a，k＝y′|x＝1＝3＋a＝2，a＝－1，b＝3，a－b＝－4，故选A.5．已知曲线S：y＝3x－x3及点P(2,2)，则过点P可向S引切线，其切线条数为()A．0B．1C．2D．3答案D解析显然P不在S上，设切点为(x0，y0)，由y′＝3－3x2，得y′|x＝x0＝3－3x20，切线方程为：y－(3x0－x30)＝(3－3x20)(x－x0)．∵P(2,2)在切线上，∴2－(3x0－x30)＝(3－3x20)(2－x0)，即x30－3x20＋2＝0，(x0－1)(x20－2x0－2)＝0，由x0－1＝0得x0＝1.由x20－2x0－2＝0得x0＝1±3.∵有三个切点，∴由P向S作切线可以作3条．6．曲线y＝x(x＋1)(2－x)有两条平行于y＝x的切线，求二切线之间距离．答案16272解析y＝x(x＋1)(2－x)＝－x3＋x2＋2x，y′＝－3x2＋2x＋2，令－3x2＋2x＋2＝1得x1＝1或x2＝－13.∴两个切点分别为(1,2)和(－13，－1427)，切线方程为x－y＋1＝0和x－y－527＝0，d＝|1＋527|2＝16227.1．(2011·大纲全国)曲线y＝e－2x＋1在点(0,2)处的切线与直线y＝0和y＝x围成的三角形的面积为()A.13B.12C.23D．1答案A解析依题意得y′＝e－2x×(－2)＝－2e－2x，y′|x＝0＝－2e－2×0＝－2，曲线y＝e－2x＋1在点(0,2)处的切线方程是y－2＝－2x，即y＝－2x＋2.在坐标系画出直线y＝－2x＋2、y＝0与y＝x，注意到直线y＝－2x＋2与y＝x的交点坐标是(23，23)，直线y＝－2x＋2与x轴的交点坐标是(1,0)，结合图形不难得知，这三条直线所围成的三角形的面积等于12×1×23＝13，选A.2．已知f(x)＝xα，若f′(－1)＝－4，则α等于()A．4B．－4C．5D．－5答案A3．(2010·全国卷Ⅱ)若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则()A．a＝1，b＝1B．a＝－1，b＝1C．a＝1，b＝－1D．a＝－1，b＝－1答案A解析求导得y′＝2x＋a，因为曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线l的方程是x－y＋1＝0，所以切线l的斜率k＝1＝y′|x＝0，且点(0，b)在切线l上，于是有0＋a＝10－b＋1＝0，解得a＝1b＝1.4．已知y＝13x3－x－1＋1.则其导函数的值域为__________．答案[2，＋∞)5．(2012·海淀区)设函数f(x)是R上以5为周期的可导偶函数，则曲线y＝f(x)在x＝5处的切线的斜率为________．答案0解析由题意得f′(5)＝limΔx→0f5＋Δx－f5Δx＝limΔx→0fΔx－f0Δx＝f′(0)，且f′(0)＝limΔx→0fΔx－f0Δx＝－lim－Δx→0f0－Δx－f0－Δx＝－f′(0)，f′(0)＝0，因此f′(5)＝0.6．求下列各函数的导数(1)y＝－sinx2(1－2cos2x4)；(2)y＝11－x＋11＋x解析(1)y＝12sinx，∴y′＝12cosx(2)y＝21－x，∴y′＝21－x27．已知曲线C1：y＝x2与C2：y＝－(x－2)2，直线l与C1、C2都相切，求直线l的方程．答案y＝0或y＝4x－4解析设直线l与C1切于(x1，x21)与C2切于点(x2，－(x2－2)2)∴分别对应的切线方程为：y－x21＝2x1(x－x1)即：y＝2x1x－x21和y＋(x2－2)2＝－2(x2－2)(x－x2)即y＝－2(x2－2)x＋(x2－2)(x2＋2)．∴2x1＝－2x2－2－x21＝x2－2x2＋2∴x1＝0或x1＝2.∴l为：y＝0或y＝4x－4.