高考调研数学4-4

课时作业(二十)1．已知x∈(－π2，0)，cosx＝45，则tan2x＝()A．－247B．－724C.724D.247答案A解析方法一∵x∈(－π2，0)，∴sinx0，∴sinx＝－35，∴sin2x＝2sinxcosx＝－2425，cos2x＝2cos2x－1＝725，∴tan2x＝sin2xcos2x＝－247.方法二由方法一知：sinx＝－35，∴tanx＝－34，∴tan2x＝2tanx1－tan2x＝－247.2．已知450°α540°，则12＋1212＋12cos2α的值是()A．－sinα2B．cosα2C．sinα2D．－cosα2答案A解析原式＝12＋121＋cos2α2＝12－12cosα＝|sinα2|.∵450°α540°，∴225°α2270°.∴原式＝－sinα2.3．已知θ是第三象限的角，且sin4θ＋cos4θ＝59，那么sin2θ的值为()A.223B．－223C.23D．－23答案A解析∵sin2θ＋cos2θ＝1，∴(sin2θ＋cos2θ)2＝sin4θ＋2sin2θcos2θ＋cos4θ＝1，∴2sin2θcos2θ＝49，∴(sin2θ)2＝89.∵2kπ＋πθ2kπ＋3π2，∴4kπ＋2π2θ4kπ＋3π，∴sin2θ0，∴sin2θ＝223.4．已知函数f(x)＝sinx－cosx且f′(x)＝2f(x)，f′(x)是f(x)的导函数，则1＋sin2xcos2x－sin2x＝()A．－195B.195C.113D．－113答案A解析f′(x)＝cosx＋sinx，由f′(x)＝2f(x)即cosx＋sinx＝2(sinx－cosx)，得tanx＝3，所以1＋sin2xcos2x－sin2x＝1＋sin2xcos2x－2sinxcosx＝2sin2x＋cos2xcos2x－2sinxcosx＝2tan2x＋11－2tanx＝－195.5．若cos2αsinα－π4＝－22，则sinα＋cosα的值为()A．－72B．－12C.12D.72答案C解析cos2αsinα－π4＝sinπ2－2αsinα－π4＝2sinπ4－αcosπ4－αsinα－π4＝－2cos(π4－α)＝－2(22sinα＋22cosα)＝－2(sinα＋cosα)＝－22.所以sinα＋cosα＝12.6．(2011·全国新课标理)已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y＝2x上，则cos2θ＝()A．－45B．－35C.35D.45答案B解析由角θ的终边在直线y＝2x上可得tanθ＝2，cos2θ＝cos2θ－sin2θ＝cos2θ－sin2θcos2θ＋sin2θ＝1－tan2θ1＋tan2θ＝－35.7．(2011·辽宁理)设sin(π4＋θ)＝13，则sin2θ＝()A．－79B．－19C.19D.79答案A解析sin2θ＝－cos(π2＋2θ)＝2sin2(π4＋θ)－1＝2×(13)2－1＝－79.8．已知sinx＝5－12，则sin2(x－π4)＝________.答案2－5解析sin2(x－π4)＝sin(2x－π2)＝－cos2x＝－(1－2sin2x)＝2sin2x－1＝2－5.9．设α为第四象限的角，若sin3αsinα＝135，则tan2α＝__________.答案－34解析sin3αsinα＝sin2α＋αsinα＝sin2αcosα＋cos2αsinαsinα＝135.∴2cos2α＋cos2α＝135，2cos2α－1＋cos2α＝85.∴cos2α＝45.∵2kπ－π2α2kπ，∴4kπ－π2α4kπ，又∵cos2α＝450，∴2α为第四象限的角．sin2α＝－1－cos22α＝－35，∴tan2α＝－34.10．已知sinα＝cos2α，α∈(π2，π)，则tanα＝________.答案－33解析sinα＝1－2sin2α，∴2sin2α＋sinα－1＝0，∴(2sinα－1)(sinα＋1)＝0，∵α∈(π2，π)，∴2sinα－1＝0.∴sinα＝12，cosα＝－32，∴tanα＝－33.11．已知cos(α＋β)cos(α－β)＝13，则cos2α－sin2β＝________.答案13解析解法一：(cosαcosβ－sinαsinβ)(cosαcosβ＋sinαsinβ)＝13，∴cos2αcos2β－sin2αsin2β＝13，∴cos2α(1－sin2β)－(1－cos2α)sin2β＝13，∴cos2α－sin2β＝13.解法二：cos(α＋β)cos(α－β)＝12[cos2α＋cos2β]＝13，即12[2cos2α－1＋1－2sin2β]＝13，∴cos2α－sin2β＝13.12．(2012·衡水调研卷)已知tan(π4＋θ)＝3，则sin2θ－2cos2θ＝__________.答案－45解析解法一：sin2θ－2cos2θ＝sin2θ－cos2θ－1，sin2θ＝－cos2(θ＋π4)＝－1－tan2θ＋π41＋tan2θ＋π4＝45，cos2θ＝sin2(θ＋π4)＝2tanθ＋π41＋tan2θ＋π4＝35，∴原式＝45－35－1＝－45.解法二：tan(π4＋θ)＝3，1＋tanθ1－tanθ＝3，解得tanθ＝12，sin2θ－2cos2θ＝2sinθcosθ－2cos2θsin2θ＋cos2θ＝2tanθ－2tan2θ＋1＝－45.13．化简：2cos4x－2cos2x＋122tanπ4－x·sin2π4＋x.答案12cos2x解析原式＝2cos2xcos2x－1＋122tanπ4－xsin2π4＋x＝12－2cos2xsin2x2sinπ4－xcosπ4－x·sin2π4＋x＝12－12sin2x22cosπ4＋xsinπ4＋x·sin2π4＋x＝12cos22xsinπ2＋2x＝12cos2x.14．已知0＜α＜π2，π2＜β＜π且tanα2＝12，sin(α＋β)＝513.(1)分别求cosα与cosβ的值；(2)求tanα－β2的值．答案(1)cosα＝35cosβ＝－1665(2)－1123解析(1)cosα＝cos2α2－sin2α2＝cos2α2－sin2α2cos2α2＋sin2α2＝1－tan2α21＋tan2α2＝35，∵0＜α＜π2，∴sinα＝45.∵α＋β∈(π2，3π2)，sin(α＋β)＝513，∴cos(α＋β)＝－1213，∴cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝(－1213)·35＋513·45＝－1665.(2)∵2cos2β2－1＝cosβ＝－1665且β2∈(π4，π2)，∴cosβ2＝7130，∴sinβ2＝9130，∴tanβ2＝97.∴tanα－β2＝tanα2－tanβ21＋tanα2tanβ2＝－1123.15．已知3π4απ，tanα＋cotα＝－103，(1)求tanα的值；(2)求5sin2α2＋8sinα2cosα2＋11cos2α2－82sinα－π4的值．解析(1)∵tanα＋cotα＝－103，∴3tan2α＋10tanα＋3＝0，解得tanα＝－3或tanα＝－13，∵3π4απ，∴－1tanα0.∴tanα＝－13.(2)∵tanα＝－13，∴5sin2α2＋8sinα2cosα2＋11cos2α2－82sinα－π4＝5sin2α2＋cos2α2＋4sinα＋6·1＋cosα2－8sinα－cosα＝5＋4sinα＋3＋3cosα－8sinα－cosα＝4sinα＋3cosαsinα－cosα＝4tanα＋3tanα－1＝－54.1．在△ABC中，tanA＋tanB＋3＝3tanA·tanB，且sinA·cosA＝34，则此三角形为________．答案等边三角形解析∵tanA＋tanB＋3＝3tanAtanB，∴tan(A＋B)＝－3，得A＋B＝120°，又由sinAcosA＝34，得sin2A＝32，∴A＝60°(A＝30°舍去)，所以△ABC为等边三角形．2．(2011·江苏理)已知tan(x＋π4)＝2，则tanxtan2x的值为________．答案49解析由tan(x＋π4)＝tanx＋tanπ41－tanxtanπ4＝2，得tanx＝13，tan2x＝2tanx1－tan2x＝34，故tanxtan2x＝13×43＝49.3．在△ABC中，三内角分别为A、B、C，若4sinAsinB＝3cosAcosB，a＝(7cosC2，－cosA－B2)，求|a|.答案2解析∵4sinAsinB＝3cosAcosB，∴7(cosAcosB－sinAsinB)＝cosAcosB＋sinAsinB，∴7cos(A＋B)＝cos(A－B)，又A＋B＋C＝π，∴－7cosC＝cos(A－B)，∴|a|＝7cos2C2＋cos2A－B2＝721＋cosC＋12[1＋cosA－B]＝2.4．(2011·天津理)已知函数f(x)＝tan(2x＋π4)，(1)求f(x)的定义域与最小正周期；(2)设α∈(0，π4)，若f(α2)＝2cos2α，求α的大小．解析(1)由2x＋π4≠π2＋kπ，k∈Z，得x≠π8＋kπ2，k∈Z，所以f(x)的定义域为{x∈R|x≠π8＋kπ2，k∈Z}．f(x)的最小正周期为π2.(2)由f(α2)＝2cos2α，得tan(α＋π4)＝2cos2α，sinα＋π4cosα＋π4＝2(cos2α－sin2α)，整理得sinα＋cosαcosα－sinα＝2(cosα＋sinα)(cosα－sinα)．因为α∈(0，π4)，所以sinα＋cosα≠0.因此(cosα－sinα)2＝12，即sin2α＝12.∴2α＝π6，∴α＝π12.5．已知角A、B、C为△ABC的三个内角，OM→＝(sinB＋cosB，cosC)，ON→＝(sinC，sinB－cosB)，OM→·ON→＝－15.(1)求tan2A的值；(2)求2cos2A2－3sinA－12sinA＋π4的值．解(1)∵OM→·ON→＝(sinB＋cosB)sinC＋cosC(sinB－cosB)＝sin(B＋C)－cos(B＋C)＝－15，∴sinA＋cosA＝－15，①两边平方并整理得2sinAcosA＝－2425，∵－24250，∴A∈(π2，π)，∴sinA－cosA＝1－2sinAcosA＝75.②联立①②得sinA＝35，cosA＝－45，∴tanA＝－34，∴tan2A＝2tanA1－tan2A＝－321－916＝－247.(2)∵tanA＝－34，∴2cos2A2－3sinA－12sinA＋π4＝cosA－3sinAcosA＋sinA＝1－3tanA1＋tanA＝1－3×－341＋－34＝13.1．已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω0,0φπ)的最小正周期为π，且f(π4)＝2.(1)求ω，φ的值；(2)若f(α2)＝－65(0απ)，求cos2α的值．解(1)由函数f(x)的周期为π，可知2πω＝π，所以ω＝2.又由f(π4)＝2，得2sin(π2＋φ)＝2，所以cosφ＝22.又φ∈(0，π)，所以φ＝π4.(2)方法一：由f(α2)＝－65，得sin(α＋π4)＝－35.因为α∈(0，π)，所以α＋π4∈(π4，5π4)．又sin(α＋π4)＝－350，所以α＋π4∈(π，5π4)．所以cos(α＋π4)＝－45.所以cos2α＝sin(π2＋2α)＝2sin(α＋π4)cos(α＋π4)＝2425.方法二：由f(α2)＝－65，得sin(α＋π4)＝－35.因为α∈(0，π)，所以α＋π4∈(π4，5π4)．又sin(α＋π4)＝－350，所以α＋π4∈(π，5π4)．所