高考调研数学4-8

课时作业(二十四)1．从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β之间的关系是()A．αβB．α＝βC．α＋β＝90°D．α＋β＝180°答案B2．如图，在河岸AC测量河的宽度BC，图中所标的数据a，b，c，α，β是可供测量的数据．下面给出的四组数据中，对测量河宽较适宜的是()A．c和aB．c和bC．c和βD．b和α答案D3．已知A、B两地的距离为10km，B、C两地的距离为20km，现测得∠ABC＝120°，则A、C两地的距离为()A．10kmB.3kmC．105kmD．107km答案D解析AC＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos120°＝102＋202＋2×10×20×12＝107(km)．4．某人在山外一点测得山顶的仰角为42°，沿水平面退后30米，又测得山顶的仰角为39°，则山高为(sin42°≈0.6691，sin39°≈0.6293，sin3°≈0.0523)()A．180米B．214米C．242米D．266米答案C解析∵∠BCA＝42°，∠BDA＝39°，∴∠DBC＝3°.在△BDC中，DC＝30，DCsin3°＝BCsin39°，∴BC＝30·sin39°sin3°.在Rt△ABC中，AB＝BC·sin42°＝30·sin39°·sin42°sin3°＝242.5．在200m高的山顶上，测得山下塔顶和塔底的俯角分别为30°，60°，则塔高为()A.4003mB.40033mC.20033mD.2003m答案A解析在Rt△BAC中，∠ABC＝30°，AB＝200，∴BC＝ABcos30°＝40033，∵∠EBD＝30°，∠EBC＝60°，∴∠DBC＝30°，∠BDC＝120°，在△BDC中，DCsin30°＝BCsin120°，∴DC＝BC·sin30°sin120°＝40033×1232＝4003(m)．6．有一长为1千米的斜坡，它的倾斜角为20°，现要将倾斜角改为10°，则斜坡长为________千米．()A．1B．2sin10°C．2cos10°D．cos20°答案C解析由题意知DC＝BC＝1，∠BCD＝160°，∴BD2＝DC2＋CB2－2DC·CB·cos160°＝1＋1－2×1×1cos(180°－20°)＝2＋2cos20°＝4cos210°，∴BD＝2cos10°.7．已知A船在灯塔C北偏东80°处，且A船到灯塔C的距离为2km，B船在灯塔C北偏西40°处，A、B两船间的距离为3km，则B船到灯塔C的距离为________km.答案6－1解析如图，由题意可得，∠ACB＝120°，AC＝2，AB＝3.设BC＝x，则由余弦定理可得：AB2＝BC2＋AC2－2BC·ACcos120°，即32＝x2＋22－2×2xcos120°，整理得x2＋2x＝5，解得x＝6－1.8．如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB，C是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO的小路CD.已知某人从O沿OD走到D用了2分钟，从D沿着DC走到C用了3分钟．若此人步行的速度为每分钟50米，则该扇形的半径为________米．答案507解析连接OC，在△OCD中，OD＝100，CD＝150，∠CDO＝60°，由余弦定理得：OC2＝1002＋1502－2·100·150·cos60°＝17500.9．(2012·衡水调研卷)某校运动会开幕式上举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度15°的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离为106米(如图所示)，旗杆底部与第一排在一个水平面上．若国歌长度约为50秒，升旗手应以________(米/秒)的速度匀速升旗．答案0.6解析在△BCD中，∠BDC＝45°，∠CBD＝30°，CD＝106，由正弦定理，得BC＝CDsin45°sin30°＝203；在Rt△ABC中，AB＝BCsin60°＝203×32＝30(米)．所以升旗速度v＝ABt＝3050＝0.6(米/秒)．10．如图，某货轮在A处看灯塔B在货轮的北偏东75°，距离为126nmile，在A处看灯塔C在货轮的北偏西30°，距离为83nmile，货轮由A处向正北航行到D处时，再看灯塔B在北偏东120°.求：(1)A处与D处的距离；(2)灯塔C与D处的距离．答案(1)24(nmile)(2)CD＝83≈14(nmile)解析(1)在△ABD中，∠ADB＝60°，∴∠B＝45°，由正弦定理得ADsin∠B＝ABsin∠ADB，即AD＝ABsin∠Bsin∠ADB＝126×2232＝24(nmile)．(2)在△ACD中，∵AC＝83，∠CAD＝30°，由余弦定理得CD2＝AD2＋AC2－2AD·ACcos∠CAD＝242＋(83)2－2×24×83cos30°＝192.即CD＝83≈14(nmile)．因此A处与D处的距离为24nmile，灯塔C与D处的距离约为14nmile.11.如图，港口B在港口O正东方120海里处，小岛C在港口O北偏东60°方向、港口B北偏西30°方向上．一艘科学考察船从港口O出发，沿北偏东30°的OA方向以20海里/时的速度驶离港口O.一艘快船从港口B出发，以60海里/时的速度驶向小岛C，在C岛装运补给物资后给考察船送去，现两船同时出发，补给物资的装船时间要1小时，问快艇驶离港口B后最少要经过多少时间才能和考察船相遇？解析设快艇驶离港口B后，最少要经过x小时，在OA上点D处与考察船相遇，连结CD，则快艇沿线段BC、CD航行．在△OBC中，∠BOC＝30°，∠CBO＝60°，∴∠BCO＝90°.又BO＝120，∴BC＝60，OC＝603.∴快艇从港口B到小岛C需要1小时．在△OCD中，∠COD＝30°，OD＝20x，CD＝60(x－2)．由余弦定理，得CD2＝OD2＋OC2－2OD·OC·cos∠COD.∴602(x－2)2＝(20x)2＋(603)2－2·20x·603·cos30°.解得x＝3或x＝38.∵x1，∴x＝3.答：快艇驶离港口B后最少要经过3小时才能和考察船相遇．12.(2012·沧州七校联考)某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度：A、B、C三地位于同一水平面上，在C处进行该仪器的垂直弹射，观测点A、B两地相距100米，∠BAC＝60°，在A地听到弹射声音的时间比B地晚217秒．在A地测得该仪器至最高点H时的仰角为30°，求该仪器的垂直弹射高度CH.(声音的传播速度为340米/秒)．答案1403米解由题意，设|AC|＝x，则|BC|＝x－217×340＝x－40，在△ABC内，由余弦定理得：|BC|2＝|BA|2＋|CA|2－2|BA|·|CA|·cos∠BAC，即(x－40)2＝x2＋10000－100x，解之得x＝420.在△ACH中，|AC|＝420，∠CAH＝30°，∠ACH＝90°，所以|CH|＝|AC|·tan∠CAH＝1403.答：该仪器的垂直弹射高度CH为1403米．1.(2011·《高考调研》原创题)如图，在2011年6月“舟曲特大泥石流”灾区的搜救现场，一条搜救狗从A处沿正北方向行进xm到达B处发现一个生命迹象，然后向右转105°，行进10m到达O处发现另一生命迹象，这时它向右转135°后继续前进可回到出发点，那么x＝________.答案1063解析∵∠BOA＝45°，∠A＝180°－75°－45°＝60°.∴xsin45°＝10sin60°，∴x＝1063.2.(南京第一次调研)如图，海岸线上有相距5海里的两座灯塔A，B，灯塔B位于灯塔A的正南方向．海上停泊着两艘轮船，甲船位于灯塔A的北偏西75°方向，与A相距32海里的D处；乙船位于灯塔B的北偏西60°方向，与B相距5海里的C处．则两艘轮船之间的距离为________海里．答案13解析连接AC，∵AB＝BC，∠ABC＝60°，∴AC＝5；在△ACD中，AD＝32，AC＝5，∠DAC＝45°，由余弦定理得CD＝13.3．甲船在A处观察乙船在它的北偏东60°的B处，此时两船相距a海里，乙船正向北行驶，若甲船的速度是乙船的3倍，则甲船以什么方向前进才能追赶上乙船？此时乙船行驶了多少海里？解析如图所示，AC为甲船的航行路线，BC为乙船的航行路线，设甲船取北偏东θ的方向去追赶乙船，在C点处追上，若乙船行驶的速度是v，则甲船行驶的速度是3v，由于甲、乙两船到达C点的时间相等，都为t，则BC＝vt，AC＝3vt.∠ABC＝120°.由余弦定理可知AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos120°，即3v2t2＝a2＋v2t2＋avt.所以2v2t2－avt－a2＝0.解得t1＝av，t2＝－a2v(舍去)．所以BC＝a，∠CAB＝30°，θ＝30°.即甲船应取北偏东30°的方向去追赶乙船，此时乙船已行驶a海里．1．在某点B处测得建筑物AE的顶端A的仰角为θ，沿BE方向前进30m至点C处测得顶端A的仰角为2θ，再继续前进103m至D点，测得顶端A的仰角为4θ.则θ的值为()A．15°B．10°C．5°D．20°答案A解析如图所示，由已知AE＝30·sin2θ，AE＝103·sin4θ，所以30·sin2θ＝103·sin4θ，所以cos2θ＝32，因为2θ∈(0°，90°)，所以2θ＝30°，所以θ＝15°.