高二不等式学生版

不等式第1讲不等关系与不等式知识梳理1．两个实数比较大小的方法(1)作差法a－b＞0⇔a＞b，a－b＝0⇔a＝b，a－b＜0⇔a＜b；(2)作商法ab＞1⇔a＞ba∈R，b＞0，ab＝1⇔a＝ba∈R，b＞0，ab＜1⇔a＜ba∈R，b＞0.2．不等式的性质(1)对称性：a＞b⇔b＜a；(2)传递性：a＞b，b＞c⇔a＞c；(3)可加性：a＞b⇔a＋c＞b＋c，a＞b，c＞d⇒a＋c＞b＋d；(4)可乘性：a＞b，c＞0⇒ac＞bc；a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd；(5)可乘方：a＞b＞0⇒an＞bn(n∈N，n≥1)；(6)可开方：a＞b＞0⇒na＞nb(n∈N，n≥2)．考点一用不等式(组)表示不等关系【例1】某商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元销售，每天可销售100件，现在他采用提高售价，减少进货量的办法增加利润．已知这种商品的单价每提高1元，销售量就相应减少10件．若把提价后商品的单价设为x元，怎样用不等式表示每天的利润不低于300元？考点二比较大小【例2】(1)若a＝ln22，b＝ln33，c＝ln55，则()．A．a＜b＜cB．c＜b＜aC．c＜a＜bD．b＜a＜c(2)已知a≠1且a∈R，试比较11－a与1＋a的大小．【训练2】设a，b为正实数．现有下列命题：①若a2－b2＝1，则a－b＜1；②若1b－1a＝1，则a－b＜1；③若|a－b|＝1，则|a－b|＜1；④若|a3－b3|＝1，则|a－b|＜1.其中的真命题有________(写出所有真命题的编号)．考点三不等式的性质及其应用【例3】(1)若x＞y，a＞b，则在①a－x＞b－y，②a＋x＞b＋y，③ax＞by，④x－b＞y－a，⑤ay＞bx这五个式子中，恒成立的所有不等式的序号是________．(2)设ab1，c0，给出下列三个结论：①cacb；②acbc；③logb(a－c)loga(b－c)．其中所有的正确结论的序号是()．【训练3】若1a＜1b＜0，则下列不等式：①1a＋b＜1ab；②|a|＋b＞0；③a－1a＞b－1b；④lna2＞lnb2中，正确的不等式是()．易错辨析——多次使用同向不等式的可加性而致误【典例】设f(x)＝ax2＋bx，若1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，则f(－2)的取值范围是【自主体验】如果－1＜a＋b＜3,3＜a－b＜5，那么2a－3b的取值范围是()．能力提升题组1．下面四个条件中，使a＞b成立的充分不必要条件是()．A．a＞b＋1B．a＞b－1C．a2＞b2D．a3＞b32．已知实数a，b，c满足b＋c＝6－4a＋3a2，c－b＝4－4a＋a2，则a，b，c的大小关系是()．A．c≥b＞aB．a＞c≥bC．c＞b＞aD．a＞c＞b3．给出下列条件：①1＜a＜b；②0＜a＜b＜1；③0＜a＜1＜b.其中，能推出logb1b＜loga1b＜logab成立的条件的序号是________．4．设0x1，a0且a≠1，比较|loga(1－x)|与|loga(1＋x)|的大小．第2讲一元二次不等式及其解法知识梳理1．一元二次不等式的解法2．三个“二次”间的关系3．对一元二次不等式恒成立问题的认识(5)不等式ax2＋bx＋c≤0在R上恒成立的条件是a＜0且Δ＝b2－4ac≤0.(×)(6)若关于x的不等式ax2＋x－1≤0的解集为R，则a≤－14.(√)(7)若不等式x2＋ax＋1≥0对x∈0，12恒成立，则a的最小值为－52.(√)考点一一元二次不等式的解法【例1】已知函数f(x)＝(ax－1)(x＋b)，如果不等式f(x)＞0的解集是(－1,3)，则不等式f(－2x)＜0的解集是【训练1】已知f(x)是定义在R上的奇函数．当x＞0时，f(x)＝x2－4x，则不等式f(x)＞x的解集用区间表示为________．考点二含参数的一元二次不等式的解法【例2】解关于x的不等式：ax2－2≥2x－ax(a∈R)．【训练2】(1)关于x的不等式x2－2ax－8a20(a0)的解集为(x1，x2)，且x2－x1＝15，则a等于()．A.52B.72C.154D.152(2)解关于x的不等式(1－ax)2＜1.考点三一元二次不等式恒成立问题【例3】已知函数f(x)＝mx2－mx－1.(1)若对于x∈R，f(x)＜0恒成立，求实数m的取值范围；(2)若对于x∈[1,3]，f(x)＜5－m恒成立，求实数m的取值范围．【训练3】(1)若关于x的不等式ax2＋2x＋2＞0在R上恒成立，则实数a的取值范围是________．(2)若不等式(a－a2)(x2＋1)＋x≤0对一切x∈(0,2]恒成立，则a的取值范围是()．A.－∞，1－32B.1＋32，＋∞C.－∞，1－32∪1＋32，＋∞D.1－32，1＋32思想方法——数形结合思想在“三个二次”间关系的应用【典例】(2012·福建卷)对于实数a和b，定义运算“*”；a*b＝a2－ab，a≤b，b2－ab，a＞b.设f(x)＝(2x－1)*(x－1)，且关于x的方程f(x)＝m(m∈R)恰有三个互不相等的实数根x1，x2，x3，则x1x2x3的取值范围是________．【自主体验】1．已知函数f(x)＝x2＋1，x≥0，1，x＜0，则满足不等式f(1－x2)＞f(2x)的x的取值范围2．已知函数f(x)＝2x－1，x＞0，－x2－2x，x≤0，若函数g(x)＝f(x)－m有3个零点，则实数m的取值范围是________．1．已知集合P＝{x|x2－x－2≤0}，Q＝{x|log2(x－1)≤1}，则(∁RP)∩Q＝()．A．[2,3]B．(－∞，－1]∪[3，＋∞)C．(2,3]D．(＋∞，－1]∪(3，＋∞)2．不等式x2＋ax＋4＜0的解集不是空集，则实数a的取值范围是()．A．[－4,4]B．(－4,4)C．(－∞，－4]∪[4，＋∞)D．(－∞，－4)∪(4，＋∞)3．已知f(x)＝x2，x≥0，－x2＋3x，x0，则不等式f(x)f(4)的解集为()．A．{x|x≥4}B．{x|x4}C．{x|－3x0}D．{x|x－3}4．已知不等式ax2－bx－1≥0的解集是－12，－13，则不等式x2－bx－a＜0的解集是()．A．(2,3)B．(－∞，2)∪(3，＋∞)C.13，12D.－∞，13∪12，＋∞5．已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c，不等式f(x)＜0的解集为{x|x＜－3，或x＞1}，则函数y＝f(－x)的图象可以为()．6．已知关于x的不等式ax－1x＋1＜0的解集是(－∞，－1)∪－12，＋∞，则a＝________.7．已知f(x)是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f(x)＝x2－4x，那么，不等式f(x＋2)＜5的解集是________．8．若不等式x2－(a＋1)x＋a≤0的解集是[－4,3]的子集，则a的取值范围是________.9．求不等式12x2－ax＞a2(a∈R)的解集．10．已知f(x)＝x2－2ax＋2(a∈R)，当x∈[－1，＋∞)时，f(x)≥a恒成立，求a的取值范围．第3讲二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题知识梳理1．二元一次不等式(组)表示的平面区域2．线性规划的有关概念辨析感悟1．对二元一次不等式(组)表示的平面区域的认识(1)点(x1，y1)，(x2，y2)在直线Ax＋By＋C＝0同侧的充要条件是(Ax1＋By1＋C)(Ax2＋By2＋C)＞0，异侧的充要条件是(Ax1＋By1＋C)(Ax2＋By2＋C)＜0.(√)(2)第二、四象限表示的平面区域可以用不等式xy＜0表示．(√)(3)(教材习题改编)已知变量x，y满足约束条件x－y＋3≥0，－1≤x≤1，y≥1，则其表示的平面区域的面积为4.(√)2．对简单的线性规划问题的理解(4)线性目标函数取得最值的点一定在可行域的顶点或边界上．(√)(5)目标函数z＝ax＋by(b≠0)中，z的几何意义是直线ax＋by－z＝0在y轴上的截距．(×)(6)(2013·湖南卷改编)若变量x，y满足约束条件y≤2xx＋y≤1y≥－1，则x＋2y的最大值是53.(√)考点一二元一次不等式(组)表示的平面区域【例1】(1)(2014·济南模拟)不等式组2x＋y－6≤0，x＋y－3≥0，y≤2表示的平面区域的面积为()．A．4B．1C．5D．无穷大(2)在平面直角坐标系中，O是坐标原点，两定点A，B满足|OA→|＝|OB→|＝OA→·OB→＝2，则点集{P|OP→＝λOA→＋μOB→，|λ|＋|μ|≤1，λ，μ∈R}所表示的区域的面积是()．A．22B．23C．42D．43【训练1】若不等式组x－y≥0，2x＋y≤2，y≥0，x＋y≤a表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是()．A.43，＋∞B．(0,1]C.1，43D．(0,1]∪43，＋∞考点二线性目标函数的最值【例2】(1)(2013·天津卷)设变量x，y满足约束条件3x＋y－6≥0，x－y－2≤0，y－3≤0，则目标函数z＝y－2x的最小值为()．A．－7B．－4C．1D．2(2)(2013·新课标全国Ⅱ卷)已知a＞0，x，y满足约束条件x≥1，x＋y≤3，y≥ax－3.若z＝2x＋y的最小值为1，则a＝()．A.14B.12C．1D．2【训练2】(2013·浙江卷)设z＝kx＋y，其中实数x，y满足x＋y－2≥0，x－2y＋4≥0，2x－y－4≤0.若z的最大值为12，则实数k＝________.考点三线性规划的实际应用思想方法6——利用线性规划思想求解非线性目标函数的最值【典例】已知实数x，y满足x＋y－3≥0，x－y＋1≥0，x≤2.(1)若z＝yx，求z的最大值和最小值；(2)若z＝x2＋y2，求z的最大值和最小值．5．设关于x，y的不等式组2x－y＋1＞0，x＋m＜0，y－m＞0表示的平面区域内存在点P(x0，y0)，满足x0－2y0＝2.求得m的取值范围是()．A.－∞，43B.－∞，13C.－∞，－23D.－∞，－536．若点(x，y)位于曲线y＝|x－1|与y＝2所围成的封闭区域，则2x－y的最小值为________．7．若不等式组x－y＋5≥0，y≥a，0≤x≤2表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是________．9．画出不等式组x－y＋5≥0，x＋y≥0，x≤3表示的平面区域，并回答下列问题：(1)指出x，y的取值范围；(2)平面区域内有多少个整点？1．已知x，y满足条件x≥0，y≤x，2x＋y＋k≤0(k为常数)，若目标函数z＝x＋3y的最大值为8，则k＝()．A．－16B．－6C．－83D．62．已知实数x，y满足不等式组x－y＋2≥0，x＋y－4≥0，2x－y－5≤0，若目标函数z＝y－ax取得最大值时的唯一最优解是(1,3)，则实数a的取值范围为()．A．(－∞，－1)B．(0,1)C．[1，＋∞)D．(1，＋∞)3．抛物线y＝x2在x＝1处的切线与两坐标轴围成的三角形区域为D(包含三角形内部与边界)．若点P(x，y)是区域D内的任意一点，则x＋2y的取值范围是________．4．变量x，y满足x－4y＋3≤0，3x＋5y－25≤0，x≥1.(1)设z＝yx，求z的最小值；(2)设z＝x2＋y2，求z的取值范围；(3)设z＝x2＋y2＋6x－4y＋13，求z的取值范围．第4讲基本不等式知识梳理1．基本不等式：ab≤a＋b2(1)基本不等式成立的条件：a0，b0.(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．(3)其中a＋b2称为正数a，b的算术平均数，ab称为正