黑龙江省大庆市铁人中学2014-2015学年高二数学上学期期末考试试题理

-1-数学（理）试题试卷说明：1、本试卷满分150分，答题时间120分钟。2、请将答案直接填涂在答题卡上，考试结束只交答题卡。第Ⅰ卷（选择题满分60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1．复数z＝－3＋i2＋i的共轭复数是()A．－1＋iB．－1－iC．2＋iD．2－i2．已知命题p：∃x0∈C，x20＋10，则()A．¬p：∀x∈C，x2＋1≤0B．¬p：∀x∈C，x2＋10C．¬p：∀x∈C，x2＋1≥0D．¬p：∀x∈C，x2＋103．某单位有职工75人，其中青年职工35人，中年职工25人，老年职工15人，为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本，若样本容量为15，则样本中的青年职工人数为()A．7B．15C．25D．354．已知一个家庭有两个小孩，则两个孩子都是女孩的概率为()A．14B．13C．12D．235．双曲线x2－y2m＝1的离心率大于2的充分必要条件是()A．m12B．m≥1C．m1D．m26．下列命题中，假命题．．．是()A．若命题p和q满足p∨q为真，p∧q为假，，则命题p与q必一真一假B．互为逆否命题的两个命题真假相同C．“事件A与B互斥”是“事件A与B对立”的必要不充分条件D．若f(x)=2x，则f′(x)＝x·2x－17．阅读右面的程序框图，若输入的n是100，则输出的变量S的值是()A．5049B．5050C．5051D．50528．用秦九韶算法求多项式f(x)＝7x7＋6x6＋5x5＋4x4＋3x3＋2x2＋x的值，当x＝3时，v3的值为()A．789B．262C．86D．279．椭圆满足这样的光学性质：从椭圆的一个焦点发射光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点。现在设有一个水平放置的椭圆形台球盘，满足方程：x216＋y29＝1，点A、B是-2-它的两个焦点，当静止的小球放在A点处，从点A沿直线出发，经椭圆壁反弹后，再回到点A时，小球经过的路程可能是()A．2(4－7)B．2(4＋7)C．16D．以上均有可能10．函数y＝x3－3x＋k有三个不同的零点，则k的取值范围是()A．(2，＋∞)B．(－2，2)C．(－∞，－,2)D．[－2，2]11．设f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x0时，f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)0，且g(3)＝0，则不等式f(x)g(x)0的解集是()A．(－∞，－3)∪(0,3)B．(－3,0)∪(0,3)C．(－∞，－3)∪(3，＋∞)D．(－3,0)∪(3，＋∞)12．已知函数,)(2xxexfx若对任意12,[2,2]xx，kxfxf)()(21恒成立，则k的取值范围是（）A．2[1,)eB．2[,)eC．2[1,)eD．),1[第Ⅱ卷（非选择题满分90分）二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．在平面几何里，有“若△ABC的三边长分别为a，b，c，内切圆半径为r，则三角形面积S为12(a＋b＋c)r”，拓展到空间，类比上述结论，“若四面体ABCD的四个面的面积分别为S1，S2，S3，S4，内切球的半径为r，则四面体的体积V为________”。14．如图所示，从长方形OABC内任取一个点P(x，y)，则点P取自阴影部分的概率为_______。15．某工厂对某产品的产量与成本的资料分析后有如下数据：产量x(千件)2356成本y(万元)78912由表中数据得到的线性回归方程y^＝b^x＋a^中b^＝1.1，预测当产量为9千件时，成本约为________万元。16．若在抛物线2y＝x2上存在两个不同的点M、N关于直线y＝kx＋3对称，则实数k的取值范围是____________。三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17（本小题满分10分)数列{an}满足112nnaa(n∈N*)，且10a，(I)计算a2、a3、a4，并推测an的表达式；-3-(II)请用数学归纳法证明你在(I)中的猜想。18（本小题满分12分）某校为了了解学生的数学学习情况，以5%的比例随机抽取20位学生,根据他们的期中考试数学成绩作出频率分布直方图如右图所示,其中成绩分组区间是：50,60、60,70、70,80、80,90、90,100，(I)求图中a的值，并根据频率分布直方图估计该校成绩落在[50,60)中的学生人数；(II)从样本中成绩在[50,70)的学生中人任选2人，求这2人的成绩都在[60,70)中的概率。19（本小题满分12分）已知抛物线C：y2＝2px(p0)过点A(2，－4)，(I)求抛物线C的方程，并求其准线l的方程；(II)若点B(0,2)，求过点B且与抛物线C有且仅有一个公共点的直线l的方程。20（本小题满分12分）已知函数f(x)＝13x3－ax2＋bx，其中a、b是实数，(I)已知a∈{0,1,2}，b∈{0,1,2}，求事件A：“f(x)是R上的单调增函数”发生的概率；(II)若f(x)是R上的奇函数，且b＝－4,求f(x)的单调区间与极值。21（本小题满分12分）-4-已知椭圆E与双曲线2213xy焦点相同，且过点5(2,)3，(I)求椭圆E的方程；(II)直线AB和直线CD均过原点且互相垂直，若,,,ABCD四点都在椭圆E上，求四边形ACBD面积S的取值范围。22（本小题满分12分）已知函数f(x)=(a＋1)lnx＋x2－x()aR，(I)当1a时，求曲线()yfx在点(1,(1))f处的切线方程；(II)讨论函数)(xf的单调性；(III)设0a,如果对任意),0(,21xx,均有1212()()3fxfxxx，求a的取值范围。-5-17．解(I)a2＝11122a;a3＝21223a;a4＝31324a,由此猜想an＝1nn(n∈N*)…5分(II)证明：①当n＝1时，a1＝0，结论成立，②假设n＝k(k≥1,且k∈N*)时结论成立,即ak＝1kk,当n＝k＋1时,ak＋1＝11(1)11212kkkakk∴当n＝k＋1时结论成立，由①②，对于一切的正整数n∈N*，an＝1nn成立…………10分18．解：(I)由题可知组距为10，(2a＋2a＋3a＋6a＋7a)×10＝1，解得a＝0.005…………3分该校总人数为400，由图,知落在[50,60)的频率为2a×10＝0.1，由此估计该范围内的人数为40…6分(II)记[50,60)范围内的有2人，[60,70)范围内的有3人，从5人选2人共有10种情况，且每种情况等可能出现，其中2人成绩都在[60,70)范围内的有3种情况，因此所求概率为310………12分19．解：(I)由题，抛物线C的方程为y2＝8x，其准线l方程为x＝－2；…………4分(II)由题，①当直线l的斜率不存在时，y轴符合题意，其方程为x＝0；②如果直线l的斜率为0，y＝2符合题意；-6-③如果直线l的斜率存在且不为0，则设直线l的方程为y＝kx＋2，由228ykxyx得ky2－8y＋16＝0，由Δ＝64－64k＝0得k＝1，故直线l的方程为y＝x＋2，即x－y＋2＝0，因此，直线l的方程为x＝0或y＝2或x－y＋2＝0。（用其他方法解答的请酌情给分）…………12分20．解：(I)当a∈{0,1,2}，b∈{0,1,2}时，等可能发生的基本事件(a，b)共有9个，事件A即f′(x)＝x2－2ax＋b≥0恒成立，即a2≤b,包含5个基本事件,即事件A发生的概率为59;……6分(II)f(x)＝13x3－4x，f′(x)＝x2－4，由f′(x)＝0可知x＝±2，列表如下：x(－∞，－2)－2(－2,2)2(2，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)单调递增极大值单调递减极小值单调递增所以f(x)的单调递增区间是(－∞，－2)和(2，＋∞)，单调递减区间是(－2,2)，f(x)在x＝－2处取得极大值163；f(x)在x＝2处取得极小值163。…………12分21．(I)由题可设椭圆E：22221xyab(ab0)，其中22224254,19abab，解得229,5ab，即椭圆E的方程为22195xy；…………4分(II)由题，分两类讨论：①若,,,ABCD为椭圆E的顶点，则S=65，…………6分②112233441(,),(,),(,),(,),(0),AxyBxyCxyDxyABykxkCDyxk设直线:则直线:222222145(1(59)45,||29559xykkxABkykx）由得故有,同-7-理,2245(1||295kCDk），S=2222145(1||||652(95)(59)kABCDkk）242221616651=651(0)45451064545106kkkkkk22454590kk，S90[,657），由①②，四边形ACBD面积S的取值范围是90[,65]7（用其他方法解答的请酌情给分）……12分22．解：(I)由题，1a时，(1)=0'(1)3ff，，故所求切线方程为3x－y－3＝0；………4分(II)f(x)定义域为),0(,21xx，f′(x)＝212121axxaxxx，18(1)87aa，①78a时，f(x)在),0(,21xx上为增函数；②718a时，f(x)增区间为187187(0,),(,)44aa，减区间为1871+87(,)44aa;③1a时，f(x)增区间为187(,)4a，减区间为1+87(0,)4a;…8分(III)由(II)，0a时，f(x)在),0(,21xx上为增函数，不妨设12xx，则有1212()()3()fxfxxx，即1122()3()3fxxfxx恒成立，