人教版九年级数学下册专题训练-相似三角形的基本模型

专题训练(三)相似三角形的基本模型►模型一“A”字型(1)如图3－ZT－1①，公共角所对应的边平行，则△ADE∽△ABC；(2)如图3－ZT－1②，公共角的对边不平行，且有另一对角相等，则△AED∽△ABC；(3)如图3－ZT－1③，公共角的对边不平行，且有另一对角相等，两个三角形有一条公共边，则△ACD∽△ABC.(又称母子图)图3－ZT－11．如图3－ZT－2所示，D是△ABC的边AB上一点，连接CD，若AD＝2，BD＝4，∠ACD＝∠B，则AC的长为________．图3－ZT－22．如图3－ZT－3所示，在△ABC中，D是BC边上一点，连接AD，EF∥BC，EF分别与AB，AC，AD交于点E，F，G.求证：EGGF＝BDDC.图3－ZT－33．如图3－ZT－4所示，D，E两点分别在△ABC的边AB，AC上，DE与BC不平行．(1)补充一个条件，使△ADE∽△ACB；(2)在(1)的条件下，求证：△ADE∽△ACB.图3－ZT－4►模型二“X”字型(1)如图3－ZT－5①，对顶角的对边平行，则△ABO∽△DCO；(2)如图3－ZT－5②，对顶角的对边不平行，且∠OAB＝∠OCD，则△ABO∽△CDO.图3－ZT－54．如图3－ZT－6所示，已知AC和BD相交于点E，CE·AE＝BE·DE.求证：△ABE∽△DCE.图3－ZT－65．如图3－ZT－7所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC，BD相交于点O，BE∥CD交CA的延长线于点E.求证：OC2＝OA·OE.图3－ZT－7►模型三旋转型如图3－ZT－8，∠1＝∠2，∠B＝∠D，则△ADE∽△ABC.图3－ZT－86．如图3－ZT－9所示，ABAD＝BCDE＝ACAE，点B，D，F，E在同一条直线上，请找出图中的相似三角形，并说明理由．图3－ZT－9►模型四垂直型(1)如图3－ZT－10，直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似，即△ACD∽△ABC∽△CBD.(双垂直图)图3－ZT－10(2)如图3－ZT－11，Rt△ABD与Rt△BCE的斜边互相垂直，且点A，B，C共线，则有△ABD∽△CEB.(M型，也可归入模型五)图3－ZT－117．已知：如图3－ZT－12，AB⊥BD，ED⊥BD，C是线段BD的中点，且AC⊥CE，ED＝1，BD＝4，则AB的长为________．图3－ZT－12►模型五一线三等角型如图3－ZT－13，∠ABC＝∠ACE＝∠CDE，则△ABC∽△CDE，称为“一线三等角型”的相似三角形．图3－ZT－138．如图3－ZT－14，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝16，D是边BC上一动点(不与点B，C重合)，∠ADE＝∠B＝α，DE交AC于点E.给出下列结论：①图中有2对相似三角形；②线段CE长的最大值为6.4；③当AD＝DC时，BD的长为394.其中正确的结论是()图3－ZT－14A．①②B．②③C．①③D．①②③9．如图3－ZT－15所示，△ABC，△DEF均为正三角形，点D，E分别在边AB，BC上，请找出一个与△DBE相似的三角形，并给予证明．图3－ZT－15详解详析1．[答案]23[解析]在△ABC和△ACD中，∵∠ACD＝∠B，∠A＝∠A，∴△ABC∽△ACD，∴ACAD＝ABAC，即AC2＝AD·AB＝AD·(AD＋BD)＝2×6＝12，∴AC＝23.故填23.2．证明：∵EF∥BC，∴EGBD＝AGAD，GFDC＝AGAD，∴EGBD＝GFDC，即EGGF＝BDDC.3．解：(1)∵∠A是公共角，且DE与BC不平行，∴当补充条件①∠ADE＝∠C或②∠AED＝∠B或③ADAC＝AEAB或④AD·AB＝AE·AC时，△ADE∽△ACB.(答案不唯一)(2)证明：①∵∠A是公共角，∠ADE＝∠C，∴△ADE∽△ACB.②∵∠A是公共角，∠AED＝∠B，∴△ADE∽△ACB.③∵∠A是公共角，ADAC＝AEAB，∴△ADE∽△ACB.④∵AD·AB＝AE·AC，∴ADAC＝AEAB.又∵∠A是公共角，∴△ADE∽△ACB.4．证明：∵CE·AE＝BE·DE，∴CEBE＝DEAE.又∵∠AEB＝∠DEC，∴△ABE∽△DCE.5．证明：∵AD∥BC，∴△COB∽△AOD，∴OCOA＝OBOD.又∵BE∥CD，∴△EOB∽△COD，∴OEOC＝OBOD，∴OCOA＝OEOC，即OC2＝OA·OE.6．解：△ABC∽△ADE，△BAD∽△CAE，△ABF∽△ECF，△AEF∽△BCF.理由：∵ABAD＝BCDE＝ACAE，∴△ABC∽△ADE，∴∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC－∠DAC＝∠DAE－∠DAC，即∠BAD＝∠CAE.又∵ABAD＝ACAE，即ABAC＝ADAE，∴△BAD∽△CAE，∴∠ABF＝∠FCE.又∵∠AFB＝∠EFC，∴△ABF∽△ECF.由△ABC∽△ADE，得∠ACB＝∠AEF.又∵∠AFE＝∠BFC，∴△AEF∽△BCF.7．[答案]4[解析]∵AB⊥BD，ED⊥BD，∴∠B＝∠D＝90°，∠ACB＋∠A＝90°.∵AC⊥CE，∴∠ACB＋∠ECD＝90°，∴∠A＝∠ECD，∴△ABC∽△CDE，∴ABCD＝BCED.又∵C是线段BD的中点，BD＝4，∴BC＝CD＝2，∴AB2＝21，∴AB＝4.8．证明：∵CD⊥AB，E为斜边AC的中点，∴DE＝CE＝AE＝12AC，∴∠EDA＝∠A.∵∠EDA＝∠FDB，∴∠A＝∠FDB.∵∠ACB＝∠CDA＝90°，∴∠A＋∠ACD＝∠FCD＋∠ACD＝90°，∴∠A＝∠FCD，∴∠FDB＝∠FCD.又∵∠F＝∠F，∴△FDB∽△FCD，∴BDCD＝DFCF，∴BD·CF＝CD·DF.9．[解析]D由∠ADE＝∠B＝∠C＝α，得∠BAD＋∠ADB＝180°－α＝∠ADB＋∠CDE，得∠BAD＝∠CDE，于是△ABD∽△DCE，又易证△ADE∽△ACD，故①正确；设BD＝x，由△ABD∽△DCE得ABCD＝BDCE，∴CE＝BD·CDAB＝x（16－x）10＝－110(x－8)2＋6.4，故CE长的最大值为6.4，②正确；当AD＝DC时，∠DAC＝∠C＝∠B，易证△ABC∽△DAC，得ACCD＝BCAC，即1016－BD＝1610，解得BD＝394，③正确．10．解：△ECH，△GFH，△GAD均与△DBE相似．如选△DBE∽△GAD证明如下：∵△ABC与△DEF均为等边三角形，∴∠A＝∠EDF＝60°.又∵∠BDG＝∠BDE＋∠EDF，∠BDG＝∠A＋∠AGD，即∠BDE＋60°＝∠AGD＋60°，∴∠BDE＝∠AGD.又∵∠B＝∠A＝60°，∴△DBE∽△GAD.