高二复数的有关概念和复数的代数表示法及几何意义

第1页版权所有不得复制年级高二学科数学内容标题复数的有关概念和复数的代数表示法及几何意义编稿老师李小强一、教学目标：理解数系的扩充是与生活密切相关的，明白复数及其相关概念.二、教学重、难点复数及其相关概念的理解，区分虚数与纯虚数，明白各数系的关系是教学重点；复数及其相关概念的理解是教学难点.三、知识要点分析：（一）数系的扩充和复数的概念1．复数的代数形式：由实数的运算类似地得到新数i可以同实数进行加、减、乘运算，于是得到：形如()abiabR，的数叫做复数，并且把()zabiabR，的这一表现形式叫做复数的代数形式，其中的a叫做复数的实部，b叫复数的虚部．注意复数132i的虚部是3，而不是3i.2．复数相等的充要条件abicdiac且()bdabcdR，，，注意事项：（1）复数abi(0)(0)(0)(0)abbiaabibabia实数纯虚数虚数非纯虚数（2）复数集CRR实数集虚数集（3）两个实数可以比较大小，但两个复数如果不全是实数，则不能比较大小.（二）复数的几何意义1．复数可以用平面直角坐标系的点来唯一表示，于是：复数集abiabCR，|与坐标系中的点集()|ababR，，，可以建立一一对应的关系.即复数集abiabCR，|11对应坐标系中的点集()|ababR，，2．建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面.在复平面内，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴，x轴的单位是１，y轴的单位是i，实轴与虚轴的交点叫做原点，且原点(00)，对应复数0.即：复数biaz11对应复平面内的点)b,a(z.第2页版权所有不得复制3．由于平面向量与坐标平面的点一一对应，于是有：即：复数biaz11对应平面向量Oz．在这些意义下，我们就可以把复数zabi说成点z或向量Oz，这给研究复数运算的几何意义带来了方便.4．复数的模就是这个复数对应的向量的模，复数zabi的模为22zab，复数zabi的模也称为复数的绝对值.【典型例题】考点一：复数的概念及其代数形式的研究：例1.设z＝22a5(215)45aaiaa为实数时，实数a的值是（）A.3B.－5C.3或－5D.－3或5解：复数a+bi为实数，则b=0，所以2a545aa有意义221503aaa且选A例2．实数m取何值时，复数22z=(m+5m+6)+(m-2m-15)i是（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数解：22z=(m+5m+6)+(m-2m-15)i因为m∈R，所以z的实部为2m+5m+6，虚部为2m-2m-15.（1）要使z为实数，则虚部为2mmm=m=-3-2-15=05或所以m=5或m=－3时z为实数（2）要使z为虚数，则2m-2m-15≠0∴m≠5且m≠-3所以m≠5且m≠－3时z为虚数.（3）要使z为纯虚数，则2256022150mmmmm所以m=－2时z为纯虚数.说明：复数的虚部为0是复数为实数的充分必要条件，无论实部是什么；复数虚部不为0是复数为虚数的充分必要条件；复数的实部为0，虚部不为0是复数为纯虚数的充分必要条件，应注意两个条件都成立.复数a+bi（a,b为实数）中实部为a，虚部为b，虚部是一个实数.考点二：复数坐标形式的研究：例3．在复平面内，复数22232aaaiza()表示的点位于第二象限.试求实数a的取值范围.解：根据复数的几何意义，复数22232aaaaiz()表示的点就是P22232aaaa)（，.第3页版权所有不得复制要使P位于第二象限，需使222021320aaaaa,解得：所以21a时z表示的点P位于第二象限.例4.复数2222zaaaai()()对应的点在虚轴上，求实数a的值.解：复数2222zaaaai()()对应的点在虚轴上，所以220aa解得:a=0或者a=2.说明：原点既在实轴上也在虚轴上.所以虚轴上的点可以表示实数，虚轴上的点除了原点以外表示纯虚数.考点三：复数向量形式的研究：例5.复平面内，O为坐标原点，向量OA对应的复数是3－2i.如果点A关于原点的对称点为B，求出B对应的复数.解：由于A，B关于原点对称，A对应的复数为3－2i，所以A的坐标为（3，－2）所以B的坐标是（－3，2），所以B对应的复数为－3+2i.考点四：复数的比较与相等：例6.若不等式22234310mmmimmi()()成立，求实数m的值.解：复数之所以可以比较大小是因为两个复数都是实数所以要使不等式22234310mmmimmi()()成立.必须使2221030430mmmmm成立解得：m=3考点五：复数的模的考查：例7.已知复数z满足z+|z|=2+8i，求z.解：z为复数，|z|为非负实数.所以z+|z|=2+8i可以化为z=2－|z|+8i2228zz||(||)2222286841728158zzzzzzzii||(||)||||||||本节涉及的思想方法：1.方程的思想方法.2.不等式的方法.3.一一对应的数学思想.第4页版权所有不得复制【模拟试题】（答题时间：90分钟）一、选择题1．复平面上的正方形的三个顶点表示的复数有三个分别为,21,2,21iii那么第四个顶点对应的复数是（）A.i21B.i2C.i2D.i212．若复数（m2－3m－4）＋（m2－5m－6）i是虚数，则实数m满足（）A.m≠－1B.m≠6C.m≠－1或m≠6D.m≠－1且m≠63．下列命题中，假命题是（）A.两个复数不可以比较大小B.两个实数可以比较大小C.两个虚数不可以比较大小D.一虚数和一实数不可以比较大小4.在复平面内，复数z=sin2＋icos2对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限5.已知02a，复数z的实部为a，虚部为1，则z的取值范围是（）A．(15)，B．(13)，C．(15)，D．(13)，二、填空题6.复数2(2)(11)()aaaiaR不是纯虚数，则有_______.7.已知复数z与（z+2）2－8i均是纯虚数，则z=.三、解答题8.已知复数z1，z2满足212221zz2z5z10，且21z2z为纯虚数，求证：21zz3为实数.9.已知关于实数yx,的方程组iibyxayxiyyix89)4()2(,)3()12(有实数根，求实数,ab的值.10.已知a为实数，问复数2224(22)zaaaai对应的点在第几象限？复数z对应的点的轨迹是什么？11.若复数z满足|z|2－3|z|+2≤0，复数μ=3+4i，复数z，μ在复平面内对应的点分别是P，Q.则|PQ|的最大值是多少？12.已知复数z1=2cosα+1+（4sinβcosβ）i（α，β为锐角），2z23i，若12zz，求α+β.第5页版权所有不得复制【试题答案】一、选择题1.C解析：三个复数对应的三个点分别为A（1，2），B（－2，1），C（－1，－2），若D点使ABCD为正方形，则AC和BD的中点为同一个点，所以D（2，－1）对应的复数为2－i2.D解析：（m2－3m－4）＋（m2－5m－6）i是虚数，则m2－5m－6≠0，所以m≠－1且m≠63.A解析：两个复数都是实数时两个复数可以比较大小4.D解析：sin2＞0，cos2＜0，所以z=sin2＋icos2对应的点位于第四象限.5.C解析：210215zaaz||||二、填空题6.解析：复数2211aaaiaR()(||)()不是纯虚数，则220aa，所以a≠0且a≠27.解析：设z=bi，则（z+2）2－8i=（bi+2）2－8i=4－b2+（4b－8）i也是纯虚数，所以4－b2=0且4b－8≠0，所以b=－2，即z=－2i三、解答题：8.证明：由题意可知kiz2z21（k为实数），则21z2kiz代入212221zz2z5z10得222222z)z2ki(2z5)z2ki(10化简得：22224942kiz100zk21121242141428,98983,3Rkikkikzzzkzz解得：z即9.解：a、b、x、y为实数则解得：即5x2x1231a142921482yyyxaybaxybb10.解：设z=x+yi，由2222xa24(1)33(22)(1)11aayaaa得：z的实部为正数，虚部为负数，所以表示z的点在第四象限内.2222xa24(1)3y2x3(22)(1)1aaxyaaa由得：（）所以复数z对应的点的轨迹是一条射线，其方程是y=2－x（x≥3）11.解：依题意：1≤|z|≤2.点P在以原点为圆心，半径为1和2的两圆围成的圆环上，第6页版权所有不得复制μ=3+4i对应的点Q的坐标是（3，4），|μ|=5，所以|PQ|的最大值是5+2=7.12.解：因为12zz，所以,得：1cos2cos1224sincos33sin22由α，β为锐角，所以且或363，所以或223.