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2.1.2由曲线求它的方程、由方程研究曲线的性质一、选择题1.方程y=|x|x2表示的曲线是()[答案]B[解析]y=|x|x2=1|x|,故选B.2.直角坐标系内到x轴的距离与到y轴的距离之差等于1的点的轨迹方程为()A.|x|-|y|=1B.|y|-|x|=1C.||x|-|y||=1D.|x±y|=1[答案]B3.方程xy2+x2y=1所表示的曲线()A.关于直线y=x对称B.关于y轴对称C.关于x轴对称D.关于原点对称[答案]A4.已知A(-1,0)、B(2,4),△ABC的面积为10,则动点C的轨迹方程是()A.4x-3y-16=0或4x-3y+16=0B.4x-3y-16=0或4x-3y+24=0C.4x-3y+16=0或4x-3y+24=0D.4x-3y+16=0或4x-3y-24=0[答案]B[解析]|AB|=5,∴C到AB的距离d=2S5=4,设C(x,y)、AB所在的直线为4x-3y+4=0∴4=|4x-3y+4|42+32∴|4x-3y+4|=20∴4x-3y+4=20或4x-3y+4=-20故4x-3y-16=0或4x-3y+24=0,故选B.5.方程(x+1)·(y-1)=1(x≠0)表示的曲线关于____对称()A.直线y=xB.直线y=x+2C.直线y=-xD.(-1,-1)中心[答案]B[解析]曲线(x+1)(y-1)=1,即y-1=1x+1可看作曲线y=1x沿x轴向左平移1个单位,沿y轴向上平移1个单位得到的,而y=1x关于y=x对称,故曲线y-1=1x+1关于直线y=x+2对称.6.下面所给图形的方程是图中的曲线方程的是()[答案]D[解析]A不是,因为x2+y2=1表示以原点为圆心,半径为1的圆,以方程的解为坐标的点不都是曲线上的点,如(22,-22)的坐标适合方程x2+y2=1,但不在所给曲线上;B不是,理由同上,如点(-1,1)适合x2-y2=0,但不在所给曲线上;C不是,因为曲线上的点的坐标都不是方程的解,如(-1,1)在所给曲线上,但不适合方程lgx+lgy=1.7.已知点P是直线2x-y+3=0上的一个动点,定点M(-1,2),Q是线段PM延长线上的一点,且|PM|=|MQ|,则Q点的轨迹方程()A.2x+y+1=0B.2x-y-5=0C.2x-y-1=0D.2x-y+5=0[答案]D[解析]设Q为(x,y),∵|PM|=|MQ|,∴M为PQ中点.∴P为(-2-x,4-y).∵P在直线2x-y+3=0上,∴y=2x+5,∴选D.8.平行四边形ABCD的顶点A,C的坐标分别为(3,-1),(2,-3),顶点D在直线3x-y+1=0上移动,则顶点B的轨迹方程为()A.3x-y-20=0(x≠13)B.3x-y-10=0(x≠13)C.3x-y-12=0(x≠13)D.3x-y-9=0(x≠13)[答案]A[解析]设AC、BD交于点O,∵A、C分别为(3,-1)(2,-3),∴O为(52,-2),设B为(x,y),∴D为(5-x,-4-y).∵D在3x-y+1=0上,∴15-3x+4+y+1=0,由于A、B、C、D不共线则应除去与直线AC的交点(13,19),故所求轨迹方程为3x-y-20=0(x≠13).9.设动点P是抛物线y=2x2+1上任意一点,点A(0,-1),点M使得PM→=2MA→,则M的轨迹方程是()A.y=6x2-13B.y=3x2+13C.y=-3x2-1D.x=6y2-13[答案]A[解析]设M为(x,y),∵PM→=2MA→,A(0,-1),∴P(3x,3y+2).∵P为y=2x2+1上一点,∴3y+2=2×9x2+1=18x2+1,∴y=6x2-13.故选A.10.动点在曲线x2+y2=1上移动时,它和定点B(3,0)连线的中点P的轨迹方程是()A.(x+3)2+y2=4B.(x-3)2+y2=1C.(2x-3)2+4y2=1D.(x+32)2+y2=1[答案]C[解析]设P点为(x,y),曲线上对应点为(x1,y1),则有x1+32=x,y1+02=y.∴x1=2x-3,y1=2y.∵(x1,y1)在x2+y2=1上,∴x21+y21=1,∴(2x-3)2+(2y)2=1即(2x-3)2+4y2=1.二、填空题11.点P(a,b)是单位圆上的动点,则Q(a+b,ab)的轨迹方程是________.[答案]x2-2y-1=0[解析]∵P(a,b)在单位圆上,∴a2+b2=1,∴(a+b)2-2ab=1,∴x2-2y=1为Q的轨迹方程.12.已知△ABC为圆x2+y2=4的一个内接三角形,且::=1:3:5,则BC中点M的轨迹方程为________.[答案]x2+y2=1[解析]如图建系设BC中点为M(x,y),连接OB、OC、OM,由于∠BOC=120°,所以∠OBC=30°,所以OM=12OB=1.于是M点的轨迹方程为x2+y2=1.13.由动点P向圆x2+y2=1引两条切线PA、PB,切点分别为A、B,∠APB=60°,则动点P的轨迹方程为______.[答案]x2+y2=4[解析]设P(x,y),x2+y2=1的圆心为O,∵∠APB=60°,OB=2,∴x2+y2=4.14.与点(2,-3)的连线的倾斜角为2π3的点M的轨迹方程是________.[答案]3x+y+3-23=0(x≠2)[解析]所求动点M的轨迹为过(2,-3)点,斜率k=tan23π=-3的直线.由点斜式得y+3=-3(x-2)即3x+y+3-23=0(x≠2).三、解答题15.M为直线l:2x-y+3=0上的一动点,A(4,2)为一定点,又点P在直线AM上,且APPM=3,求动点P的轨迹方程.[解析]设点M、P的坐标分别为M(x0,y0),P(x,y),由题设及向量共线条件可得x=4+3x01+3y=2+3y01+3得x0=4x-43y0=4y-23,因为点M(x0,y0)在直线2x-y+3=0上,所以2×4x-43-4y-23+3=0,即8x-4y+3=0,从而点P的轨迹方程为8x-4y+3=016.(2009·邯郸高二检测)已知直角坐标平面上点Q(2,0)和圆O:x2+y2=1,动点M到圆O的切线长与|MQ|的比等于常数2,求动点M的轨迹方程.[解析]如图,设MN切圆于N,则动点M组成的集合是P={M||MN|=2|MQ|},∵圆半径|ON|=1,∴|MN|2=|MO|2-|ON|2=|MO|2-1,设M(x,y),则由|MN|2=|MO|2-1=2|MQ|2得,x2+y2-1=2[(x-2)2+y2],整理得:x2+y2-8x+9=0.17.已知两点M(-1,0),N(1,0)且点P使MP→·MN→,PM→·PN→,NM→·NP→成公差小于0的等差数列.点P的轨迹是什么曲线?[解析]设P(x,y)由M(-1,0),N(1,0)得PM→=-MP→=(-1-x,-y),PN→=-NP→=(1-x,-y),MN→=-NM→=(2,0),∴MP→·MN→=2(1+x),PM→·PN→=x2+y2-1,NM→·NP→=2(1-x)于是MP→·MN→,PM→·PN→,NM→·NP→是公差小于零的等差数列等价于x2+y2-1=12[2(1+x)+2(1-x)]2(1-x)-2(1+x)0,即x2+y2=3x0,∴点P的轨迹是以原点为圆心,3为半径的右半圆(不含端点)18.点P与两顶点A(-4,0)、B(4,0)的连线所成的角∠APB=45°,求动点P的轨迹方程.[解析](1)当kAP或kPB不存在时,动点P为(4,8),(-4,8),(-4,-8),(4,-8).(2)当kAP、kPB存在时,设P(x,y)若y0,有yx-4-yx+41+y2x2-16=1,化简得x2+y2-8y-16=0(y0),检验知(4,8)和(-4,8)均适合上式.若y0,有yx+4-yx-41+y2x2-16=1,化简得x2+y2+8y-16=0(y0),检验知(-4,-8)和(4,-8)均适合上式,综上知所求轨迹方程为x2+y2-8y-16=0(y0)或x2+y2+8y-16=0(y0).
本文标题:高二数学(人教B版)选修2-1全册同步练习2-1-2由曲线求它的方程由方程研究曲线的性质
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