高二数学(人教B版)选修2-1全册同步练习2-2-2椭圆的几何性质

2.2.2椭圆的几何性质一、选择题1．(2010·广东文，7)若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是()A.45B.35C.25D.15[答案]B[解析]本题考查了离心率的求法，这种题目主要是设法把条件转化为含a，b，c的方程式，消去b得到关于e的方程，由题意得：4b＝2(a＋c)⇒4b2＝(a＋c)2⇒3a2－2ac－5c2＝0⇒5e2＋2e－3＝0(两边都除以a2)⇒e＝35或e＝－1(舍)，故选B.2．已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1与椭圆x24＋y28＝1有相同的离心率，则椭圆C的方程可能是()A.x28＋y24＝m2(m≠0)B.x216＋y264＝1C.x28＋y22＝1D．以上都不可能[答案]A[解析]椭圆x24＋y28＝1中，a2＝8，b2＝4，所以c2＝a2－b2＝4，即a＝22，c＝2，离心率e＝ca＝22.容易求出B，C项中的离心率均不为此值，A项中，m≠0，所以m20，有x28m2＋y24m2＝1，所以a2＝8m2，b2＝4m2.所以a＝22|m|，c＝2|m|，即e＝ca＝22.3．将椭圆C1∶2x2＋y2＝4上的每一点的纵坐标变为原来的一半，而横坐标不变，得一新椭圆C2，则C2与C1有()A．相等的短轴长B．相等的焦距C．相等的离心率D．相同的长轴长[答案]C[解析]把C1的方程化为标准方程，即C1：x22＋y24＝1，从而得C2：x22＋y2＝1.因此C1的长轴在y轴上，C2的长轴在x轴上．e1＝22，e2＝12＝e1＝22，故离心率相等，选C.4．若椭圆的短轴为AB，它的一个焦点为F1，则满足△ABF1为等边三角形的椭圆的离心率是()A.14B.12C.22D.32[答案]D[解析]由△ABF1为等边三角形，∴2b＝a，∴c2＝a2－b2＝3b2，∴e＝ca＝c2a2＝3b24b2＝32.5．我们把离心率等于黄金比5－12的椭圆称为“优美椭圆”．设x2a2＋y2b2＝1(ab0)是优美椭圆，F、A分别是它的左焦点和右顶点，B是它的短轴的一个端点，则∠ABF等于()A．60°B．75°C．90°D．120°[答案]C[解析]cos∠ABF＝|AB|2＋|BF|2－|AF|22·|AB|·|BF|＝a2＋b2－(a＋c)22·|AB|·|BF|＝(2＋5－12)a2－(1＋5－12)2a22·|AB|·|BF|＝(5＋32－5＋32)a22·|AB|·|BF|＝0，∴∠ABF＝90°，选C.6．椭圆x2－m＋y2－n＝1(mn0)的焦点坐标分别是()A．(0，－m＋n)，(0－m＋n)B．(n－m，0)，(－n－m，0)C．(0，m－n)，(0，－m－n)D．(m－n，0)，(－m－n，0)[答案]B[解析]因为mn0，所以－m－m0，故焦点在x轴上，所以c＝(－m)－(－n)＝n－m，故焦点坐标为(n－m，0)，(－n－m，0)，故选B.7．(2010·福建文，11)若点O和点F分别为椭圆x24＋y23＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则OP→·FP→的最大值为()A．2B．3C．6D．8[答案]C[解析]本题主要考查椭圆和向量等知识．由题易知F(－1,0)，设P(x，y)，其－2≤x≤2，则OP→·FP→＝(x，y)·(x＋1，y)＝x(x＋1)＋y2＝x2＋x＋3－34x2＝14x2＋x＋3＝14(x＋2)2＋2当x＝2时，(OP→·FP→)max＝6.8．椭圆的一个顶点与两个焦点组成等边三角形，则它的离心率e为()A.12B.13C.14D.22[答案]A[解析]由题意知a＝2c，所以e＝ca＝12.9．设椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的离心率为e＝12，右焦点为F(c,0)，方程ax2＋bx－c＝0的两个实根分别为x1和x2，则点P(x1，x2)的位置()A．必在圆x2＋y2＝2内B．必在圆x2＋y2＝2上C．必在圆x2＋y2＝2外D．以上三种情形都有可能[答案]A[解析]由e＝12知ca＝12，a＝2c.由a2＝b2＋c2得b＝3c，代入ax2＋bx－c＝0，得2cx2＋3cx－c＝0，即2x2＋3x－1＝0，则x1＋x2＝－32，x1x2＝－12，x21＋x22＝(x1＋x2)2－2x1x2＝742.10．已知F1、F2是椭圆的两个焦点，过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，若△ABF2是正三角形，则这个椭圆的离心率是()A.33B.23C.22D.32[答案]A[解析]如图，△ABF2为正三角形，∴|AF2|＝2|AF1|，|AF2|＋|AF1|＝2a，3|AF1|＝|F1F2|.∴|AF1|＝23a，又|F1F2|＝2c，∴23a2c＝13.∴ca＝33.故选A.二、填空题11．在平面直角坐标系xOy中，设椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的焦距为2c，以点O为圆心，a为半径的圆过点Pa2c，0过P作圆的两切线又互相垂直，则离心率e＝________.[答案]22[解析]如图，切线PA、PB互相垂直，又半径OA垂直于PA，所以△OAP是等腰直角三角形，故a2c＝2a，解得e＝ca＝22.12．过椭圆x25＋y24＝1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为__________．[答案]53[解析]易知直线AB的方程为y＝2(x－1)，与椭圆方程联立解得A(0，－2)，B53，43，故S△ABC＝S△AOF＋S△BOF＝12×1×2＋12×1×43＝53.13．已知F1，F2为椭圆x225＋y29＝1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A、B两点，若|F2A|＋|F2B|＝12，则|AB|＝________.[答案]8[解析]由椭圆的第一定义得|AF1|＋|AF2|＝2a，|BF1|＋|BF2|＝2a，两式相加，得|AB|＋|BF2|＋|AF2|＝4a＝20⇒|AB|＝20－12＝8.14．在△ABC中，∠A＝90°，tanB＝34.若以A、B为焦点的椭圆经过点C，则该椭圆的离心率e＝________.[答案]12[解析]设|AC|＝3x，|AB|＝4x，又∵∠A＝90°，∴|BC|＝5x，由椭圆定义：|AC|＋|BC|＝2a＝8x，那么2c＝|AB|＝4x，∴e＝ca＝4x8x＝12.三、解答题15．已知点P在以坐标轴为对称轴，长轴在x轴的椭圆上，点P到两焦点的距离分别为43和23，且点P与两焦点连线所张角的平分线交x轴于点Q(1,0)，求椭圆的方程．[解析]根据题意，设所求椭圆方程为x2a2＋y2b2＝1(ab0)，∵|PF1|＝43，|PF2|＝23，∴2a＝63，即a＝33，又根据三角形内角平分线的性质，得|PF1PF2|＝|F1QQF2|＝，即c＋1＝2(c－1)，∴c＝3，∴b2＝a2－c2＝18，故所求椭圆方程为x227＋y218＝1.16.设P是椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)上的一点，F1、F2是椭圆的焦点，且∠F1PF2＝90°，求证：椭圆的圆心率e≥22.[证明]证法一：∵P是椭圆上的点，F1、F2是焦点，由椭圆的定义，得|PF1|＋|PF2|＝2a，①在Rt△F1PF2中，|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝(2c)2＝4c2，由①2，得|PF1|2＋2|PF1||PF2|＋|PF2|2＝4a2，∴|PF1|·|PF2|＝2(a2－c2)，②由①和②，知|PF1|，|PF2|是方程z2－2az＋2(a2－c2)＝0的两根，且两根均在(a－c，a＋c)之间．令f(z)＝z2－2az＋2(a2－c2)则Δ≥0f(a－c)0f(a＋c)0可得(ca)2≥12，即e≥22.证法二：由题意知c≥b，∴c2≥b2＝a2－c2∴c2a2≥12，故e≥22.17．椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的离心率为32，椭圆与直线x＋2y＋8＝0相交于P、Q，且|PQ|＝10，求椭圆方程．[解析]∵e＝32，∴b2＝14a2.∴椭圆方程为x2＋4y2＝a2.与x＋2y＋8＝0联立消去y得2x2＋16x＋64－a2＝0，由Δ0得a232，由弦长公式得10＝54[64－2(64－a2)]．∴a2＝36，b2＝9.∴椭圆方程为x236＋y29＝1.18．过椭圆x216＋y24＝1内一点M(2,1)的一条直线与椭圆交于A，B两点，如果弦AB被M点平分，那么这样的直线是否存在？若存在，求其方程；若不存在，说明理由．[解析]设所求直线存在，方程y－1＝k(x－2)，代入椭圆方程并整理，得(4k2＋1)x2－8(2k2－k)x＋4(2k2－1)2－16＝0①.设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1，x2是方程①的两根，所以x1＋x2＝8(2k2－k)4k2＋1.又M为AB的中点，所以x1＋x22＝4(2k2－k)4k2＋1＝2，解得k＝－12.又k＝－12时，使得①式Δ0，故这样的直线存在，直线方程为x＋2y－4＝0.