高二数学(人教B版)选修2-1全册同步练习2-4-3抛物线习题课

2.4.3抛物线习题课一、选择题1．P(x0，y0)是抛物线y2＝2px(p≠0)上任一点，则P到焦点的距离是()A．|x0－p2|B．|x0＋p2|C．|x0－p|D．|x0＋p|[答案]B[解析]利用P到焦点的距离等于到准线的距离，当p0时，p到准线的距离为d＝x0＋p2；当p0时，p到准线的距离为d＝－p2－x0＝|p2＋x0|.2．已知抛物线的准线方程为x＝－7，则抛物线的标准方程为()A．x2＝－28yB．y2＝28xC．y2＝－28xD．x2＝28y[答案]B[解析]由题意，知抛物线的标准方程为：y2＝2px(p0)，又准线方程为x＝－7，∴p＝14.3．抛物线y2＝－4px(p0)的焦点为F，准线为l，则p表示()A．F到l的距离B．F到y轴的距离C．F点的横坐标D．F到l的距离的14[答案]B[解析]设y2＝－2p′x(p′0)，p′表示焦点到准线的距离，又2p′＝4p，p＝p′2，故P表示焦点到y轴的距离．4．过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝8，那么|AB|等于()A．10B．8C．6D．4[答案]A[解析]设F为抛物线y2＝4x的焦点，则由抛物线的定义知|AF|＝x1＋p2＝x1＋1，|BF|＝x2＋p2＝x2＋1，∴|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋2＝10.5．已知抛物线y2＝2px(p0)的焦点弦AB的两端点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则一定有y1y2x1x2等于()A．4B．－4C．p2D．－p2[答案]B[解析]设过焦点的直线方程为x＋ay－p2＝0(a∈R)，则代入抛物线方程有y2＋2apy－p2＝0，故由根与系数的关系知y1y2＝－p2.又由y21＝2px1，①y22＝2px2，②①②相乘得y21y22＝4p2x1x2，∴x1x2＝p24，∴y1y2x1x2＝－4.6．直线y＝kx－2交抛物线y2＝8x于A、B两点，若AB中点的横坐标为2，则k＝()A．2或－2B．－1C．2D．3[答案]C[解析]由y2＝8xy＝kx－2得k2x2－4(k＋2)x＋4＝0，则4(k＋2)k2＝4，即k＝2.7．(2010·山东文，9)已知抛物线y2＝2px(p0)，过焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为()A．x＝1B．x＝－1C．x＝2D．x＝－2[答案]B[解析]本题考查了抛物线的方程及中点弦问题，属圆锥曲线部分题型，可设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则中点(x1＋x22，y1＋y22)，∴y1＋y22＝2，y21＝2px1①y22＝2px2②①－②得y21－y22＝2p(x1－x2)⇒y1－y2x1－x2＝2py1＋y2＝py1＋y22，∴kAB＝1＝p2⇒p＝2，∴y2＝4x，∴准线方程式为：x＝－1，故选B.8．设O为坐标原点，F为抛物线y2＝4x的焦点，A为抛物线上一点，若OA→·AF→＝－4，则点A的坐标为()A．(2，±22)B．(1，±2)C．(1,2)D．(2,22)[答案]B[解析]依题意F(1,0)设A点坐标为(x，y)，则OA→＝(x，y)，AF→＝(1－x，－y)，OA→·AF→＝x(1－x)＋y(－y)＝x－x2－y2，x－x2－4x，＝－x2－3x＝－4.即x2＋3x－4＝0解之得x＝1或x＝－4又∵x≥0，∴x＝1，y2＝4，y＝±2.∴A(1，±2)．9．一动圆的圆心在抛物线y2＝8x上，且动圆恒与直线x＋2＝0相切，则动圆必过定点()A．(4,0)B．(2,0)C．(0,2)D．(0，－2)[答案]B[解析]由抛物线定义知，抛物线上的点到焦点的距离等于它到准线的距离，又动圆圆心在抛物线上且恒与x＋2＝0相切．∴动圆过定点F(2,0)，故选B.10．(2008·宁夏、海南)已知点P在抛物线y2＝4x上，那么点P到点Q(2，－1)的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为()A.14，－1B.14，1C．(1,2)D．(1，－2)[答案]A[解析]依题意，抛物线的焦点F(1,0)，准线为lx＝－1.过Q点作直线l的垂线交抛物线于P点，交准线l于M点，则|QP|＋|PF|＝|QP|＋|PM|＝|QM|＝3为所求的最小值，此时P14，－1.故选A.二、填空题11．P点是抛物线y2＝4x上任一点，到直线x＝－1的距离为d，A(3,4)，|PA|＋d的最小值为________．[答案]25[解析]设抛物线焦点为F(1,0)则d＝|PF|，∴|AP|＋d＝|AP|＋|PF|≥|AF|＝(3－1)2＋(4－0)2＝25.12．过点P(－1,2)且与曲线y＝3x2－4x＋2在点M(1,1)处的切线平行的直线方程是________．[答案]2x－y＋4＝0[解析]设y＝3x2－4x＋2在M(1,1)处切线方程为y－1＝k(x－1)，联立得y＝3x2－4x＋2，y－1＝k(x－1)，∴3x2－(k＋4)x＋(k＋1)＝0.∵Δ＝0，∴k＝2.∴过P(－1,2)与切线平行的直线为2x－y＋4＝0.13．已知点P在抛物线y2＝2x上运动，点Q与点P关于(1,1)对称，则点Q的轨迹方程是________．[答案]y2－4y＋2x＝0[解析]设P(x0，y0)，Q(x，y)由已知得x0＋x＝2，y0＋y＝2∴x0＝2－x，y0＝2－y，又P(x0，y0)在y2＝2x上，∴(2－y)2＝2(2－x)即y2－4y＋2x＝0.14．(2010·全国Ⅱ理，15)已知抛物线C：y2＝2px(p0)的准线为l，过M(1,0)且斜率为3的直线与l相交于点A，与C的一个交点为B.若AM→＝MB→，则p＝______.[答案]2[解析]如图，设B(x0，y0)，则MK＝12BH，则x0＋p2＝21＋p2有x0＝p2＋2.可得y0＝p2＋4p，又直线AB方程为y＝3(x－1)，代入有p2＋4p＝3p2＋2－1，解得p＝2.三、解答题15．已知抛物线y2＝4x，直线l过定点P(－2,1)，斜率为k，k为何值时，直线l与抛物线满足下列条件：①只有一个公共点；②有两个公共点；③没有公共点．[解析]由题意得直线l的方程为y－1＝k(x＋2)，由y－1＝k(x＋2)，y2＝4x，消去x得ky2－4y＋4(2k＋1)＝0①，当k＝0时，由方程①得y＝1，把y＝1代入y2＝4x，得x＝14，此时，直线l与抛物线只有一个公共点(14，1)．当k≠0时，方程①的判别式为Δ＝－16(2k2＋k－1)．①当Δ＝0，即2k2＋k－1＝0，解得k＝－1或k＝12，此时方程①只有一解，方程组只有一个解，直线l与抛物线只有一个公共点．②当Δ0，即2k2＋k－10，解得－1k12，所以－1k12且k≠0时，直线l与抛物线有两个公共点．③当Δ0，即2k2＋k－10，解得k12或k－1，此时，直线l与抛物线没有公共点．综上所述可知当k＝0或k＝－1或k＝12时，直线l与抛物线只有一个公共点；当－1k12且k≠0时，直线l与抛物线有两个公共点；当k－1或k12时，直线l与抛物线没有公共点．16．已知抛物线y2＝－x与直线y＝k(x＋1)相交于A，B两点．(1)求证OA⊥OB；(2)当△AOB的面积等于10时，求k的值．[解析](1)证明：如图所示，由方程组y2＝－xy＝k(x＋1)消去x得ky2＋y－k＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)．由根与系数的关系知y1y2＝－1.因为A，B在抛物线y2＝－x上，所以y21＝－x1，y22＝－x2，y21y22＝x1x2，因为kOA·kOB＝y1x1·y2x2＝y1y2x1x2＝1y1y2＝－1，所以OA⊥OB.(2)解：设直线AB与x轴交于点N，显然k≠0，所以点N的坐标为(－1,0)，因为S△OAB＝S△OAN＋S△OBN＝12|ON||y1|＋12|ON||y2|＝12|ON||y1－y2|，所以S△OAB＝12·1·(y1＋y2)2－4y1y2＝12(1k)2＋4，因为S△OAB＝10，所以10＝121k2＋4，解得k＝±16.17．设抛物线y2＝8x的焦点是F，有倾斜角为45°的弦AB，|AB|＝85，求△FAB的面积．[解析]设AB方程为y＝x＋b，由y＝x＋b，y2＝8x.消去y得：x2＋(2b－8)x＋b2＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝8－2b，x1·x2＝b2.∴|AB|＝1＋k2·|x1－x2|＝2×(x1＋x2)2－4x1·x2＝2[(8－2b)2－4b2]＝85，解得：b＝－3.∴直线方程为y＝x－3.即：x－y－3＝0，∴焦点F(2,0)到x－y－3＝0的距离为d＝12＝22.∴S△FAB＝12×85×22＝210.18．已知抛物线y2＝x上存在两点关于直线l：y＝k(x－1)＋1对称，求实数k的取值范围．[解析]设抛物线上的点A(y21，y1)，B(y22，y2)关于直线l对称．则k·y1－y2y21－y22＝－1y1＋y22＝k(y21＋y222－1)＋1得y1＋y2＝－ky1y2＝k22＋1k－12，∴y1、y2是方程t2＋kt＋k22＋1k－12＝0的两个不同根．∴Δ＝k2－4(k22＋1k－12)0得－2k0.