高二数学(人教B版)选修2-1全册同步练习3-2-4二面角及其度量

3.2.4二面角及其度量一、选择题1．如果一个二面角的两个半平面分别平行于另一个二面角的两个半平面，则这两个二面角的大小关系是()A．相等B．互补C．相等或互补D．不能确定[答案]C[解析]二面角的两个面对应平行，当方向相同时，两个二面角大小相等，当方向不同时，两个二面角大小互补．2．已知平面α内有一个以AB为直径的圆，PA⊥α，点C在圆周上(异于点A，B)，点D、E分别是点A在PC、PB上的射影，则()A．∠ADE是二面角A—PC—B的平面角B．∠AED是二面角A—PB—C的平面角C．∠DAE是二面角B—PA—C的平面角D．∠ACB是二面角A—PC—B的平面角[答案]B[解析]由二面角定义及三垂线定理知选B.3．如图所示，M，N是直角梯形ABCD两腰的中点，DE⊥AB于E，现将△ADE沿DE折起，使二面角A—DE—B为45°，此时点A在平面BCDE内的射影恰为点B，则M，N的连线与AE所成的角的大小为()A．45°B．90°C．135°D．180°[答案]B[解析]建系如图所示，由题意知△ABE为等腰直角三角形，设CD＝1，则BE＝1，AB＝1，AE＝2，设BC＝DE＝2a，则E(0,0,0)，A(1,0,1)，N(1，a,0)，D(0,2a,0)，M(12，a，12)，所以MN→＝(12，0，－12)，AE→＝(－1,0，－1)，所以MN→·AE→＝(12，0，－12)·(－1,0，－1)＝0.故AE→⊥MN→，从而MN与AE所成的角为90°.4．如图所示，在边长为a的正△ABC中，AD⊥BC，沿AD将△ABC折起，若折起后B、C两点间距离为12a，则二面角B－AD－C的大小为()A．30°B．45°C．60°D．90°[答案]C5．将正方形ABCD沿对角线折成直二面角，则二面角A—BC—D的平面角的余弦值是()A.12B.22C.33D.55[答案]C6．正四棱锥P—ABCD的两相对侧面PAB与PCD互相垂直，则相邻两个侧面所成二面角的大小为()A.π4B.π3C.π2D.2π3[答案]D7．在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，PA⊥平面ABCD，PA＝435，那么二面角A—BD—P的度数是()A．30°B．45°C．60°D．75°[答案]A8．如图所示，已知点P为菱形ABCD外一点，且PA⊥面ABCD，PA＝AD＝AC，点F为PC中点，则二面角C—BF—D的正切值为()A.36B.34C.33D.233[答案]D[解析]如右图所示，连接AC，AC∩BD＝O，连接OF，以O为原点，OB，OC，OF所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系O—xyz，设PA＝AD＝AC＝1，则BD＝3，∴B32，0，0，F0，0，12，C0，12，0，D(－32，0,0)，结合图形可知，OC→＝0，12，0且OC→为面BOF的一个法向量，由BC→＝－32，12，0，FB→＝(32，0，－12)，可求得面BCF的一个法向量n＝(1，3，3)．∴cos〈n，OC→〉＝217，sin〈n，OC→〉＝277，∴tan〈n，OC→〉＝233.9．已知ABCD是正方形，E是AB的中点，将△DAE和△CBE分别沿DE、CE折起，使AE与BE重合，A、B两点重合后记为点P，那么二面角P－CD－E的大小为()A．30°B．45°C．60°D．90°[答案]A[解析]取CD中点F，由二面角定义知∠PFE为其平面角，设PE＝a，则EF＝2a，∴sinθ＝a2a＝12，∴二面角P—CD—E为30°.10．二面角的棱上有A、B两点，直线AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB.已知AB＝4，AC＝6，BD＝8，CD＝217，则该二面角的大小为()A．150°B．45°C．60°D．120°[答案]C[解析]由条件，知CA→·AB→＝0，AB→·BD→＝0，CD→＝CA→＋AB→＋BD→.∴|CD→|2＝|CA→|2＋|AB→|2＋|BD→|2＋2CA→·AB→＋2AB→·BD→＋2CA→·BD→＝62＋42＋82＋2×6×8cos〈CA→，BD→〉＝(217)2，∴cos〈CA→，BD→〉＝－12，即〈CA→，BD→〉＝120°，∴二面角的大小为60°，故选C.二、填空题11．如图所示，将边长为a的正三角形ABC，沿BC边上的高线AD将△ABC折起，若折起后B、C间距离为a2，则二面角B—AD—C的大小为________．[答案]60°12．若P是△ABC所在平面外一点，且△PBC和△ABC都是边长为2的正三角形，PA＝6，那么二面角P—BC—A的大小为________．[答案]90°13．正方体ABCD－A1B1C1D1中，截面A1BD和截面C1BD所成的二面角大小的余弦值为________．[答案]1314．在正方体AC1中，E、F分别是B1C1、C1D1的中点，若截面EFDB与侧面BCC1B1所成的锐二面角为θ，则cosθ＝________.[答案]23三、解答题15．如图，四棱锥P—ABCD中，PB⊥底面ABCD，CD⊥PD，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，AB＝AD＝PB＝3.点E在棱PA上，且PE＝2EA.求二面角A—BE—D的大小．[解析]以B为原点，以BC、BA、BP分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系．设平面EBD的一个法向量为n1＝(x，y,1)，因为BE→＝(0,2,1)，BD→＝(3,3,0)，由n1·BE→＝0n1·BD→＝0得2y＋1＝0，3x＋3y＝0.所以x＝12，y＝－12.于是n1＝12，－12，1.又因为平面ABE的一个法向量为n2＝(1,0,0)，所以，cos〈n1，n2〉＝16＝66.所以，二面角A—BE—D的大小为arccos66.16．如图所示，在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，P是棱CC1上的一点，CP＝m，试确定m，使直线AP与平面BDD1B1所成角的正弦值为33819.[解析]如图，以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系D—xyz，则A(1,0,0)，P(0,1，m)，C(0,1,0)，D(0,0,0)．∴AP→＝(－1,1，m)，AC→＝(－1,1,0)，又AC→·BD→＝0，AC→·BB1→＝0，∴AC→是平面BDD1B1的一个法向量．设AP与平面BDD1B1所成的角为θ，则sinθ＝cosπ2－θ＝|AP→·AC→||AP→||AC→|＝22×2＋m2＝33819，∴m＝13.17．(2009·上海)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1＝BC＝AB＝2，AB⊥BC，求二面角B1－A1C－C1的大小．[解析]如图，建立空间直角坐标系．则A(2,0,0)，C(0,2,0)，A1(2,0,2)，B1(0,0,2)，C1(0,2,2)，设AC的中点为M，∵BM⊥AC，BM⊥CC1，∴BM⊥平面A1C1C，即BM→＝(1,1,0)是平面A1C1C的一个法向量．设平面A1B1C的一个法向量是n＝(x，y，z)，A1C→＝(－2,2，－2)，A1B1→＝(－2,0,0)，∴n·A1B1→＝－2x＝0，n·A1C→＝－2x＋2y－2z＝0，令z＝1，解得x＝0，y＝1.∴n＝(0,1,1)，设法向量n与BM→的夹角为φ，二面角B1－A1C－C1的大小为θ，显然θ为锐角．∵cosθ＝|cosφ|＝|n·BM→||n|·|BM→|＝12，解得θ＝π3，∴二面角B1－A1C－C1的大小为π3.18．(2007·陕西)如图，在底面为直角梯形的四棱锥P—ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，PA⊥平面ABCD，PA＝4，AD＝2，AB＝23，BC＝6.(1)求证：BD⊥平面PAC；(2)求二面角A—PC—D的大小．[解析](1)如图，建立坐标系，则A(0,0,0)，B(23，0,0)，C(23，6,0)，D(0,2,0)，P(0,0,4)，∴AP→＝(0,0,4)，AC→＝(23，6,0)，BD→＝(－23，2,0)，∴BD→·AP→＝0，BD→·AC→＝0.∴BD⊥AP，BD⊥AC，又PA∩AC＝A，∴BD⊥平面PAC.(2)设平面PCD的法向量为n＝(x，y,1)，则CD→·n＝0，PD→·n＝0，又CD→＝(－23，－4,0)，PD→＝(0,2，－4)，∴－23x－4y＝0，2y－4＝0，解得x＝－433，y＝2，∴n＝－433，2，1平面PAC的法向量取为m＝BD→＝(－23，2,0)，则cos〈m，n〉＝m·n|m||n|＝39331.∴二面角A—PC—D的大小为arccos39331.