高二数学(人教B版)选修2-1单元第3章综合素质检测

第三章综合素质检测时间120分钟，满分150分．一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，每小题有4个选项，其中有且仅有一个是正确的，把正确的选项填在答题卡中)1．在以下命题中，不正确的个数为()①|a|－|b|＝|a＋b|是a，b共线的充要条件；②若a∥b，则存在唯一的实数λ，使a＝λb；③对于空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若OP→＝2OA→－2OB→－OC→，则P，A，B，C四点共面；④若{a，b，c}为空间的一个基底，则{a＋b，b＋c，c＋a}构成空间的另一个基底；⑤|(a·b)c|＝|a|·|b|·|c|.A．2个B．3个C．4个D．5个[答案]C[解析]①|a|－|b|＝|a＋b|⇒a与b的夹角为π，故是充分不必要条件，①不正确．②b为非零向量，故不正确．③2－2－1≠1，故不正确．④正确．⑤不正确．2．在正三棱柱ABC—A1B1C1D1中，若AB＝2BB1，则AB1与C1B所成角的大小为()A．60°B．90°C．105°D．75°[答案]B[解析]建立空间直角坐标系，可求AB1→·BC1→＝0，故成90°.3．已知△ABC，AB→＝c，AC→＝b，BC→＝a，用向量a，b，c的数量积的形式表示△ABC为锐角三角形的充要条件是()A．b·c0，a·c0B．a·b0，b·c0，a·c0C．a·b0D．a·b0，b·c0，a·c0[答案]D[解析]由数量积的意义知D成立．4．已知点A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，若存在点D,使得DB∥AC，DC∥AB，则点D的坐标为()A．(－1,1,1)B．(－1,1,1)或(1，－1，－1)C．(－12，12，12)D．(－12，12，12)或(1，－1,1)[答案]A[解析]代入坐标运算得D(－1,1,1)，故选A.5．已知A(2，－5,1)，B(2，－2,4)，C(1，－4,1)，则向量AB→与AC→的夹角为()A．30°B．45°C．60°D．90°[答案]C[解析]∵A(2，－5,1)，B(2，－2,4)，C(1，－4,1)，∴AB→＝(0,3,3)，AC→＝(－1,1,0)．∴cos〈AB→，AC→〉＝AB→·AC→|AB→||AC→|＝12，∴选C.6．在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M和N分别为A1B1和BB1的中点，那么AM与CN所成的角的余弦值是()A.32B.102C.35D.25[答案]D[解析]以D为坐标原点DA→、DC→、DD1→为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则AM→＝(0，12，1)，CN→＝(1,0，12)，∴cosθ＝|AM→·CN→||AM→||CN→|＝25(用基向量表示亦可)．7．下面命题中，正确命题的个数为()①若n1，n2分别是平面α，β的法向量，则n1∥n2⇔α∥β；②若n1，n2分别是平面α，β的法向量，则α⊥β⇔n1·n2＝0；③若n是平面α的法向量且a与α共面，则n·a＝0；④若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面一定不垂直．A．1个B．2个C．3个D．4个[答案]D[解析]①②③④均正确，故选D.8．直线l1的方向向量v1＝(1,0，－1)；直线l2的方向向量v2＝(－2,0,2)，则直线l1与l2的位置关系是()A．平行B．相交C．异面D．平行或重合[答案]D[解析]∵v2＝－2v1，∴l1∥l2或l1与l2重合．9．如图，在棱长为3的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是棱A1B1、A1D1的中点，则点B到平面AMN的距离是()A.92B.3C.655D．2[答案]D[解析]以AB→、AD→、AA1→为x轴，y轴，z轴的正向建立直角坐标系，则M(32，0,3)，N(0，32，3)，A(0,0,0)，∵n＝(2,2，－1)，AB→＝(3,0,0)，∴d＝|AB→·n||n|＝2，故选D.10．如右图所示，正方体ABCD—A′B′C′D′中，M是AB的中点，则sin〈DB′→，CM→〉的值为()A.12B.21015C.23D.1115[答案]B[解析]以DA，DC，DD′所在直线分别为x，y，z轴建立直角坐标系Oxyz，设正方体棱长为1，则D(0,0,0)，B′(1,1,1)，C(0,1,0)，M(1，12，0)，则DB′→＝(1,1,1)，CM→＝(1，－12，0)，cos〈DB′→，CM→〉＝1515，则sin〈DB′→，CM→〉＝21015.11．在棱长为a的正方体OABC－O′A′B′C′中，E、F分别是棱AB、BC上的动点，且AE＝BF，则异面直线A′F与C′E所成角的大小为()A．锐角B．直角C．钝角D．不确定[答案]B[解析]如图，以O为原点建立空间直角坐标系，设AE＝BF＝x，则A′(a,0，a)、F(a－x，a,0)、C′(0，a，a)、E(a，x,0)，A′F→－(－x，a，－a)，C′E→＝(a，x－a，－a)，∴A′F→·C′E→＝－xa＋a(x－a)＋a2＝0，∴A′F⊥C′E.12．如图，四面体P－ABC中，PC⊥面ABC，AB＝BC＝CA＝PC，那么二面角B－PA－C的余弦值为()A.22B.33C.77D.57[答案]C[解析]如图，作BD⊥AP于D，作CE⊥AP于E，设AB＝1，则易得CE＝22，EP＝22，PA＝PB＝2，AB＝1，可以求得BD＝144，ED＝24.∵BC→＝BD→＋DE→＋EC→，∴BC→2＝BD→2＋DE→2＋2BD→·DE→＋2DE→＋EC→＋2EC→·BD→.∴EC→·BD→＝－14.∴cos〈BD→，EC→〉＝－77.∴cos〈DB→，EC→〉＝77.二、解答题(本大题共4小题，每空4分，共16分，把正确答案填在题中横线上)13．设|m|＝1，|n|＝2,2m＋n与m－3n垂直，a＝4m－n，b＝7m＋2n，则〈a，b〉＝________.[答案]0[解析]由于(2m＋n)·(m－3n)＝0，可得：m·n＝－2，则：a·b＝(4m－n)·(7m＋2n)＝18.|a|＝(4m－n)2＝6，|b|＝(7m＋2n)2＝3，cos〈a，b〉＝186×3＝1，∴〈a，b〉＝0.14．边长为1的等边三角形ABC中，沿BC边高线AD折起，使得折后二面角B－AD－C为60°，点D到平面ABC的距离为________．[答案]1510[解析]如图所示，AD⊥面BCD，AD＝32，BD＝CD＝BC＝12，∴VA－BCD＝13×AD×S△BCD.又∵VA－BCD＝VD－ABC＝13×h×S△ABC，∴由等积法可解得h＝1510.15．如图所示，在三棱锥P—ABC中，PA＝PB＝PC＝BC，且∠BAC＝90°，则PA与底面ABC所成的角为________．[答案]60°[解析]由于PA＝PB＝PC，故P在底面ABC上的射影为△ABC外心，由于△ABC为直角三角形，不妨设OB＝OC，所以OP⊥面ABC，∠PAO为所求角，不妨设BC＝1，则OA＝12，cos∠PAO＝12，所以∠PAO＝60°.16．已知A、B、C三点共线，则对空间任一点O，存在三个不为零的实数λ、m、n使λOA→＋mOB→＋nOC→＝0，那么λ＋m＋n的值等于________．[答案]0[解析]由λOA→＋mOB→＋nOC→＝0，得OA→＝－mλOB→－nλOC→.根据空间直线的向量参数方程有－mλ－nλ＝1⇔－m－n＝λ⇒m＋n＋λ＝0.三、解答题(本大题共6个大题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分12分)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P是DD1的中点，O为底面ABCD的中心，求证：B1O→是平面PAC的法向量．[解析]建立空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为2.则A(2,0,0)，P(0,0,1)，C(0,2,0)，B1(2,2,2)，O(1,1,0)，于是OB1→＝(1,1,2)AC→＝(－2,2,0)，AP→＝(－2，0,1)，由于OB1→·AC→＝－2＋2＝0，及OB1→·AP→＝－2＋2＝0，∴OB1→⊥AC→，OB1→⊥AP→.∴AC∩AP＝A，∴OB1→⊥平面PAC，即OB1→是平面PAC的法向量．18．(本小题满分12分)(2009·陕西)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝1，AC＝AA1＝3，∠ABC＝60°.(1)证明：AB⊥A1C；(2)求二面角A－A1C－B的大小．[解析](1)证明：∵三棱柱ABC－A1B1C1为直三棱柱，∴AA1⊥AB，AA1⊥AC.在△ABC中，AB＝1，AC＝3，∠ABC＝60°，由正弦定理得∠ACB＝30°，∴∠BAC＝90°，即AB⊥AC.如图，建立空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(0，3，0)，A1(0,0，3)，∴AB→＝(1,0,0)，A1C→＝(0，3，－3)，∵AB→·A1C→＝1×0＋0×3＋0×(－3)＝0，∴AB⊥A1C.(2)解：如图，可取m＝AB→＝(1,0,0)为平面AA1C的法向量，设平面A1BC的法向量为n＝(l，m，n)，则BC→·n＝0，A1C→·n＝0，又BC→＝(－1，3，0)，∴－l＋3m＝0，3m－3n＝0，∴l＝3m，n＝m.不妨取m＝1，则n＝(3，1,1)．cos〈m，n〉＝m·n|m||n|＝3×1＋1×0＋1×0(3)2＋12＋1212＋02＋02＝155，∴二面角A－A1C－B的大小为arccos155.19．(本小题满分12分)如图的多面体是底面为平行四边形的直四棱柱ABCD－A1B1C1D1，经平面AEFG所截后得到的图形，其中∠BAE＝∠GAD＝45°，AB＝2AD＝2，∠BAD＝60°.(1)求证：BD⊥平面ADG；(2)求平面AEFG与平面ABCD所成锐二面角的余弦值．[解析](1)证明：在△BAD中，AB＝2AD＝2，∠BAD＝60°，由余弦定理得，BD＝3，∴AB2＝AD2＋BD2，∴AD⊥BD，又GD⊥平面ABCD，∴GD⊥BD，GD∩AD＝D，∴BD⊥平面ADG，(2)以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系D－xyz，则有A(1,0,0)，B(0，3，0)，G(0,0,1)，E(0，3，2)，AG→＝(－1,0,1)，AE→＝(－1，3，2)，设平面AEFG法向量为m＝(x，y，z)，则m·AG→＝－x＋z＝0m·AE→＝－x＋3y＋2z＝0，取m＝(1，－33，1)，平面ABCD的一个法向量n＝DG→＝(0,0,1)，设平面AEFG与面ABCD所成锐二面角为θ，则cosθ＝|m·n||m||n|＝217.20．(本小题满分12分)(2008·江苏)如图，设动点P在棱长为1正方体ABCD－A1B1C1D1的对角线BD1上，记D1PD1B＝λ.当∠APC为钝角时，求λ的取值范围．[解析]由题设可知，以DA→、DC→、DD1→为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系D－xyz，则有A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，D1(0,0,1)．由D1B→＝(1,1，－1)得D1P→＝λD1B→＝(λ，λ，－λ)，所以PA→＝PD1→＋D1A→＝(－λ，－λ，λ)＋(1,0，－1)＝(1－λ，－λ，λ－1)，PC→＝PD1→＋D1C→＝(－λ，－λ，λ)＋(0,1，－1)＝(－λ，1－λ，λ－1)．显然∠APC不是平角，所以∠APC为钝角等价于cos∠APC＝cosPA→，PC→＝PA→·PC→|PA→|·|PC→|0，这等价于PA→·PC→0，即(1－λ)(－λ)＋(－λ)(1－λ)＋(λ－1)2＝(λ－1)(3λ－1)0，得13λ1.因此，λ的取值范围为13，1.21．(本小题满分12分)(2009·山东)如图，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB＝4，BC＝CD＝2，AA1＝2，E，E1，F分别是棱AD，AA1，AB的中点．(1)证明：直线EE1∥平面FCC1；(2)求二面角B－FC1－C的余弦值．[解析](1)因