高二数学双曲线复习

高二数学双曲线【本讲教育信息】一.教学内容：双曲线二.重点、难点：重点：双曲线的定义、方程、几何性质．掌握双曲线的标准方程的推导及标准方程．难点：理解参数a、b、c、e的关系及渐近线方程．三.主要知识点1、双曲线的定义：平面内到两定点F1、F2的距离之差的绝对值等于常数（小于|F1F2|）的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫做焦距．说明：双曲线的定义用代数式表示为||MF1|－|MF2||＝2a，其中2a＜|F1F2|，这里要注意两点：（1）距离之差的绝对值.（2）2a＜|F1F2|，这两点与椭圆的定义有本质的不同．当|MF1|－|MF2|＝2a时，双曲线仅表示焦点F2所对应的一支；当|MF1|－|MF2|＝－2a时，双曲线仅表示焦点F1所对应的一支；当2a＝|F1F2|时，轨迹是一直线上以F1、F2为端点向外的两条射线；当2a＞|F1F2|时，动点轨迹不存在.2、标准方程的推导（1）建系设点建立坐标系应遵循简单和优化的原则，如使关键点的坐标、关键几何量（距离、直线斜率等）的表达式简单化，注意充分利用图形的对称性，使学生认识到下列选取方法是恰当的.以两定点F1、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系（如图）．设|F1F2|＝2c（c＞0），M（x，y）为双曲线上任意一点，则有F1（－c，0），F2（c，0）．（2）点的集合由定义得出椭圆双曲线集合为：P＝{M||MF1－MF2|＝2a}.（3）代数方程2222()()2xcyxcya（4）化简方程22221xyab（其中c2＝a2+b2）3、两种双曲线性质的比较焦点在x轴上的双曲线焦点在y轴上的双曲线几何条件与两个定点的距离差的绝对值等于常数（小于这两个定点之间的距离）标准方程22ax－22by＝1（a0，b0）22ya－22xb＝1（a0，b0）图形范围|x|≥a|y|≥a对称性x轴，y轴，原点顶点坐标（±a，0）（0，±a）实轴虚轴x轴，实轴长2ay轴，虚轴长2by轴，实轴长2ax轴，虚轴长2b焦点坐标（±c，0）c＝22ba（0，±c）c＝22ba离心率e＝ac，e1渐近线y＝±abxy＝±abx4、方法小结（1）由给定条件求双曲线的方程，常用待定系数法.首先是根据焦点位置设出方程的形式（含有参数），再由题设条件确定参数值，应特别注意：①当焦点位置不确定时，方程可能有两种形式，应防止遗漏；②已知渐近线的方程bx±ay＝0，求双曲线方程，可设双曲线方程为b2x2－a2y2＝λ（λ≠0），根据其他条件确定λ的值.若求得λ＞0，则焦点在x轴上，若求得λ＜0，则焦点在y轴上．（2）由已知双曲线的方程求基本量，注意首先应将方程化为标准形式，再计算，并要特别注意焦点位置，防止将焦点坐标和准线方程写错．（3）双曲线中有一个重要的Rt△OAB（如下图），它的三边长分别是a、b、c．易见c2＝a2+b2，若记∠AOB＝θ，则e＝ac＝cos1．xyOFFabcBA21（4）参数a、b是双曲线的定形条件，两种标准方程中，总有a＞0，b＞0；双曲线焦点位置决定标准方程的类型；a、b、c的关系是c2＝a2+b2；在方程Ax2+By2＝C中，只要AB＜0且C≠0，就是双曲线的方程．（5）给定了双曲线方程，就可求得确定的两条渐近线．但已知渐近线方程，只是限制了双曲线张口的大小，不能直接写出双曲线方程．但若已知渐近线方程是ax±by＝0，则可把双曲线方程表示为22ax－22by＝λ（λ≠0），再根据已知条件确定λ的值，求出双曲线的方程．【典型例题】例1.根据下列条件，求双曲线方程：（1）与双曲线92x－162y＝1有共同的渐近线，且过点（－3，23）；（2）与双曲线162x－42y＝1有公共焦点，且过点（32，2）.（3）求中心在原点，两对称轴为坐标轴，并且经过P（3，154）Q（163，5）．剖析：设双曲线方程为22ax－22by＝1，求双曲线方程，即求a、b，为此需要关于a、b的两个方程，由题意易得关于a、b的两个方程.解法一：（1）设双曲线的方程为22ax－22by＝1，由题意得222243(3)(23)-=1baab解得a2＝49，b2＝4．所以双曲线的方程为492x－42y＝1．（2）设双曲线方程为22ax－22by＝1.由题意易求c＝25．又双曲线过点（32，2），∴22)23(a－24b＝1.又∵a2+b2＝（25）2，∴a2＝12，b2＝8．故所求双曲线的方程为122x－82y＝1．解法二：（1）设所求双曲线方程为92x－162y＝λ（λ≠0），将点（－3，23）代入得λ＝41，所以双曲线方程为92x－162y＝41．（2）设双曲线方程为kx162－ky42＝1，将点（32，2）代入得k＝4，所以双曲线方程为122x－82y＝1．评述：求双曲线的方程，关键是求a、b，在解题过程中应熟悉各元素（a、b、c、e）之间的关系，并注意方程思想的应用.若已知双曲线的渐近线方程ax±by＝0，可设双曲线方程为a2x2－b2y2＝λ（λ≠0）．与22ax－22by＝1同焦点的可设为22xak－22ybk＝1（3）设双曲线方程为221xymn（mn0）将PQ两点坐标代入求得m＝－16，n＝－9.故所求方程为221916yx说明：若设22ax－22by＝1或22ya－22xb＝1两种情况求解，比较繁琐．例2.△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，B（－1，0），C（1，0），求满足sinC－sinB＝12sinA时，顶点A的轨迹方程，并画出图形．yOx解：根据正弦定理得c－b＝12a＝1即AB－AC＝1，所以点A的轨迹为双曲线又c＝1，a＝12，∴b＝c2－a2＝34故双曲线方程为2211344xy（x12）例3.（2002年全国，19）设点P到点M（－1，0）、N（1，0）距离之差为2m，到x轴、y轴距离之比为2，求m的取值范围．剖析：由|PM|－|PN|＝2m，得||PM|－|PN||＝2|m|．知点P的轨迹是双曲线，由点P到x轴、y轴距离之比为2，知点P的轨迹是直线，由交轨法求得点P的坐标，进而可求得m的取值范围.解：设点P的坐标为（x，y），依题意得|x||y|＝2，即y＝±2x（x≠0）．①因此，点P（x，y）、M（－1，0）、N（1，0）三点不共线，得||PM|－|PN|||MN|＝2．∵||PM|－|PN||＝2|m|0，∴0|m|1．因此，点P在以M、N为焦点，实轴长为2|m|的双曲线上．故22mx－22m1y＝1．②将①代入②，并解得x2＝22251)1(mmm，∵1－m20，∴1－5m20．解得0|m|55，即m的取值范围为（－55，0）∪（0，55）．评述：本题考查了双曲线的定义、标准方程等基本知识，考查了逻辑思维能力及分析问题、解决问题的能力．解决此题的关键是用好双曲线的定义．例4.（2003年春季上海）已知椭圆具有的性质：若M、N是椭圆C上关于原点对称的两个点，点P是椭圆上任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为kPM、kPN时，那么kPM与kPN之积是与点P位置无关的定值．试对双曲线C’：22ax－22by＝1写出具有类似特性的性质，并加以证明．解：类似的性质为若MN是双曲线22ax－22by＝1上关于原点对称的两个点，点P是双曲线上任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为kPM、kPN时，那么kPM与kPN之积是与点P位置无关的定值．设点M的坐标为（m，n），则点N的坐标为（－m，－n），其中22am－22bn＝1．又设点P的坐标为（x，y），由kPM＝mxny，kPN＝mxny，得kPM·kPN＝mxny·mxny＝2222mxny，将y2＝22abx2－b2，n2＝22abm2－b2，代入得kPM·kPN＝22ab．评注：本题主要考查椭圆、双曲线的基本性质，考查类比、归纳、探索问题的能力.它是一道综合椭圆和双曲线基本知识的综合性题目，对思维能力有较高的要求．【模拟试题】（完成时间60分钟，满分100分）一、选择题（每小题4分，共40分）1.到两定点0,31F、0,32F的距离之差的绝对值等于6的点M的轨迹是（）A.椭圆B.线段C.双曲线D.两条射线2.方程1k1yk1x22表示双曲线，则k的取值范围是（）A.1k1B.0kC.0kD.1k或1k3.双曲线1m4y12mx2222的焦距是（）A.4B.22C.8D.与m有关4.（2004年天津，4）设P是双曲线22ax－9y2＝1上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x－2y＝0，F1、F2分别是双曲线的左、右焦点.若|PF1|＝3，则|PF2|等于A.1或5B.6C.7D.95.（2005年春季北京，5）“ab0”是“曲线ax2+by2＝1为双曲线”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件6.焦点为6,0，且与双曲线1y2x22有相同的渐近线的双曲线方程是（）A.124y12x22B.124x12y22C.112x24y22D.112y24x227.若ak0，双曲线1kbykax2222与双曲线1byax2222有（）A.相同的虚轴B.相同的实轴C.相同的渐近线D.相同的焦点8.过双曲线19y16x22左焦点F1的弦AB长为6，则2ABF（F2为右焦点）的周长是（）A.28B.22C.14D.129.已知双曲线方程为14yx22，过P（1，0）的直线L与双曲线只有一个公共点，则L的条数共有（）A.4条B.3条C.2条D.1条10.给出下列曲线：①4x+2y－1＝0；②x2+y2＝3；③1y2x22④1y2x22，其中与直线y＝－2x－3有交点的所有曲线是（）A.①③B.②④C.①②③D.②③④二、填空题（每小题5分，共20分）11.（2003年上海）给出问题：F1、F2是双曲线162x－202y＝1的焦点，点P在双曲线上.若点P到焦点F1的距离等于9，求点P到焦点F2的距离．某学生的解答如下：双曲线的实轴长为8，由||PF1|－|PF2||＝8，即|9－|PF2||＝8，得|PF2|＝1或17．该学生的解答是否正确？若正确，请将他的解题依据填在下面横线上；若不正确，将正确结果填在下面横线上．______________________________________________________．12.过点A（0，2）可以作_________条直线与双曲线x2－4y2＝1有且只有一个公共点．13.直线1xy与双曲线13y2x22相交于BA,两点，则AB＝__________________．14.过点)1,3(M且被点M平分的双曲线1y4x22的弦所在直线的方程为．三、解答题（40分）15.（本题满分14分）、已知双曲线的方程是16x2－9y2＝144．（1）求这双曲线的焦点坐标、离心率和渐近线方程；（2）设F1和F2是双曲线的左、右焦点，点P在双曲线上，且|PF1|·|PF2|＝32，求∠F1PF2的大小．16.（本题满分14分）、已知双曲线x2－2y2＝1与点P（1，2），过点P作直线l与双曲线交于A、B两点，若P为AB中点.（1）求直线AB的方程；（2）若Q（1，1），证明不存在以Q为中点的弦.17.（本题满分12分）、某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其他两观测点晚4s．已知各观测点到该中心的距离都是1020m．试确定该巨响发生的位置．（假定当时声音传播的速度为340m/s：相关各点均在同一平面上）．【试题答案】一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）题号12345678910答案DDCCCBDABD二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）11.|PF2|